2019年高考数学全国卷三(理科)详细解析

绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理1)1．已知集合2
{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1
C ．{}1,1-
D ．{}0,1,2
【命题意图】本题考查了一元二次不等式的解法及集合的交运算，是基础题。

【答案】A
【基本解法】因为{}
11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-
【方法总结与拓展】
集合运算是高考常考的，甚至必考的考点，属于基础题，也可以把其它知识渗透到集合中来，例如方
程、不等式、向量、三角函数等，解决这类题目主要是直接法，或特值法。

集合问题主要要考虑元素的属性、运算等。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理2)2．若(1)2z i i +=，则z = A ． 1i --
B ． 1i -+
C ． 1i -
D ． 1i +
【命题意图】本题考查了复数代数形式的四则运算， 【答案】D
【基本解法】()212112
i i i z i i -===++ 【方法总结与拓展】
复数运算是高考常考的，甚至必考的考点，属于基础题。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理3)3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并
称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8
【命题意图】本题考查概率与统计基本知识，考查学生对推理与计算能力，属于基础题。

【答案】C
【基本解法】某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生， 其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位， 阅读过《红楼梦》的学生共有80位，
阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位， 所以，该校阅读过《西游记》的学生人数为70人，
则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为：
7.0100
70
=。

故选C (2018·新课标全国Ⅲ卷理4)4.24
(12)(1)x x ++的展开式中x 3
的系数为（ ）
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
【命题意图】本题考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查学生对推理与计算能力，属于基础题。

【答案】A
【基本解法】法一：系数配对，()4
1x +的通项公式为k k n k k x C T -+=141，利用通项公式求出x x C T 413
1411==+，
33
1341341x x C T ==+，24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数：12424=+⨯，故选A
法二：利用组合的性质，()
()4
2
121x x ++展开式中x 3的系数为1211211133311411334=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯C C C C
【方法总结与拓展】对于二项式定理，可利用通项公式或组合的性质来解答。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理5)5. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ）
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和等基本概念，重点考查学生的运算求解能力。

【答案】C
【基本解法】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值。

设等比数列{a n }的公比为q ，易知0q >，
由已知得23111142
111
15,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2
314a a q ∴==，故选C ． 【解法2】易知0q >，若公比1q =，则53134a a a =+不成立，从而1421
11415,134(1)
a q a q a q a
q -⎧=⎪
-⎨⎪=+⎩
同样解得11,2
a q =⎧⎨=⎩，2
314a a q ∴==。

此法明显不如解法1好。

【方法总结与拓展】应用等比数列前n 项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理6)6.已知曲线x x ae y x
ln +=在点(1)ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（ ）
A.e a =,1-=b
B.e a =,1=b
C.1-=e a ,1=b
D.1-=e a ,1-=b 【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义等基本知识。

【答案】D
【基本解法】易知点(1)ae ，在已知曲线上，令x x ae x f x
ln )(+=，则1ln )(++='x ae x f x
，易知
21)1(=+='ae f ，得11
-==
e e
a 。

又
b ae f +==2)1(，可得1-=b 。

故选D 。

【方法总结与拓展】利用导数的几何意义解决与切线有关的问题时，准确求导是保障，还要注意所给的点是否在已知的曲线上，以防出错。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理21)7.函数3
222
x x
x y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ． B ．
C ．
D ．
【命题意图】函数图像 【答案】B
【基本解法】解：由3
2()22x x
x y f x -==+在[]6,6-，知 33
2()2()()2222
x x x x
x x f x f x ----==-=-++， ∴f （x ）是[]6,6-上的奇函数，因此排除C
又11
8
2(4)721
f =>+，因此排除A ，D ． 故选：B ．
【方法总结与拓展】本题考查了函数的图像与性质，解题关键是奇偶性和特殊性，属于基础题。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理8)8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，
M 是线段ED 的中点，则
A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线
B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线
C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线
D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【命题意图】点、线、面的位置关系 【答案】B
【基本解法】解：∵点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，
∴BM ⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，
∵BM 是△BDE 中DE 边上的中线，EN 是△BDE 中BD 边上的中线， ∴直线BM ，EN 是相交直线，
设DE ＝a ，则2BD a =，22
35244
BE a a a =
+= ∴6
2BM a =
，22
3144
EN a a a =+= ∴BM ≠EN ， 故选：B ．
【方法总结与拓展】本题考查直线与直线的位置关系及其判定，考查了空间中点、线、面之间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
(2018·新课标全国Ⅲ卷理9)9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于
A.4
122-
B. 5122-
C. 6
122-
D. 7
122-
【命题意图】本题考查程序框图的循环结构的基本知识，考查学生对程序框图的基本逻辑及循环条件的掌握情况。

【答案】C
【基本解法】由1,0,,2x x s s s x x ===+=
可知，可以看作首相为1，公比为1
2
的等比数列求前n -1项和，则等比数列的通项公式为112n x -=，前1n -项和为1122n s -=-，即11
0.012
n x ε-=<=，求得7n =，带
入1122n s -=-=61
22
-，故选C
【方法总结与拓展】程序框图是高考常考内容，甚至是必考的，难度较低，重点是考查对程序框图的理解，
注意给出的条件和判断框什么时候输出，常常会考虑不全导致错误，在解题时利用其他知识点内容是快速得出答案的捷径。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理10)10.双曲线C ：22
42
x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐
标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为
A ．
32
4
B ．
32
2
C ．22
D ．32
【命题意图】本题考查双曲线的基本知识，考查学生对双曲线方程基本知识的掌握情况。

【答案】A
【基本解法】一条渐近线方程为2y x =
，则设(,)2
P x x ，双曲线的方程得焦点坐标F ，则
PO PF ==，由PO PF =得一个坐标P ，即
11
2224
PFO OF y ∆=
== 【方法总结与拓展】双曲线是高考常考内容，甚至是必考的，难度较高，重点是考查对双曲线定义的理解，
注意一般在求解双曲线问题中，由双曲线方程可以快速得出焦点坐标和渐近线方程，继而根据题目所求问题找出需要的值能快速得出答案。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理11) 设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则
A ．f （log 314）＞f （3
22-）＞f （2
32-） B ．f （log 31
4
）＞f （2
32-）＞f （3
22-）
C ．f （32
2-
）＞f （23
2-
）＞f （log 314） D ．f （2
3
2-）＞f （3
22-）＞f （log 314
）
【命题意图】本题考查函数的基本性质：奇偶性 单调性，与指，对数函数的大小比较 【答案】C
【基本解法】因为()f x 是偶函数，所以3
31
(log )(log 4)4
f f = 因为23
3
2
322
1log 4--<<<，且()f x 在(0,)+∞递减，
所以233
2
3(2)(2)(log 4)f f f -->>，选C
【方法总结与拓展】要善于利用中间量对数值大小进行比较，并熟练运用函数基本性质解题 (2018·新课标全国Ⅲ卷理12) 设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,
10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510
，) 其中所有正确结论的编号是
A ． ①④
B ． ②③
C ． ①②③
D ． ①③④
【命题意图】本题考查三角函数的基本性质及整体思想，其中对数形结合的能力的考查也更进一步
【答案】D
【基本解法】令05
wx π
+
=，得05x w
π
=-
<，令5
2
wx π
π
+
=
，得3010x w
π
=
>， 设()f x 的正零点从小到大一次为()i x i Z +
∈
由图可知（1）正确； 极小值个数 可能是2个或3个，故（2）错误 令555
wx π
π+
=，解得5245x π
ω
=
令665
wx π
π+
=，解得6295x π
ω
=
， 解不等式562x x π≤<，得
1229
510
ω≤<
，（4）正确 010
x π
<<
时，(,)55105w wx π
πππ+
∈+29(,)(0,)5101052
ππππ⊆⨯+⊆ 故()f x 在(0,
)10
π
单调递增 ，故（3）正确。

综上，正确答案为D 选项. 【方法总结与拓展】以后要对五点法画图及三角函数图像了然于心 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理13)13．已知a ，b 为单位向量，且0a b =，若25=-c a b ，则
cos ,<>=a c ___________.
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角的运算． 【答案】
23
【基本解法1】因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以2
25a c a a b ⋅=-⋅2=，
2
2
2
||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以22
cos ,133
a c a c a c ⋅<>=
==⨯⋅．
【基本解法2】建立直角坐标系，因为0a b =，在坐标轴上取单位向量a ，b
，以及2=-c a ，利用三角函数定义直接求得cos ,<>=
a c 23。

【方法总结与拓展】根据2||c 结合向量夹角公式求出||c ，进一步求出结果. 渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．向量问题的解决主要考虑两个方向，线性运算和坐标运算，而坐标运算加上平面直角坐标系，线性运算抓住三角形法则加上几何图形，利用数形结合可以快速得到答案
(2018·新课标全国Ⅲ卷理14)14. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，35a =，若10a ≠，213a a =，则
10
5
S S =______. 【命题意图】本题考查等差数列的性质、基本量的计算． 【答案】4
【基本解法】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，
所以
105S S =1111109
1010024542552
a d a a a d ⨯+
==⨯+ 【方法总结与拓展】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
(2018·新课标全国Ⅲ卷理15)15.设12F F ，为椭圆C :22
+13620
x y =的两个焦点，
M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.
【命题意图】本题考查椭圆的基本知识，考查学生对椭圆方程的基本知识的掌握情况。

【答案】
【基本解法】设点(,)M x y ，由椭圆的方程得焦点坐标12(4,0),(4,0)F F =-=，则
1128F M F F ==
,18F M ==，因为点M 在第一象限，联立椭圆方程即
2222
(4)8
13620
x y x y ⎧++=⎪⎨+
=⎪⎩，解为315x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，故(3,15)M 【方法总结与拓展】椭圆是高考常考内容，甚至是必考的，难度较高，重点是考查对椭圆定义的理解，注意一般在求解椭圆问题中，由椭圆方程可以快速得出焦点坐标，联立方程求解未知数是常用方法。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理16)16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为
所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3
，不考虑打印损耗，
制作该模型所需原料的质量为___________g.
【命题意图】本题考查立体几何的基本知识，考查学生对立体几何求体积的掌握情况。

【答案】118.8
【基本解法】长方体的体积为：3664144cm ⨯⨯=四棱锥的底面积为：2
6432212cm ⨯-⨯⨯=，高
132AB cm =
=，则四棱锥的体积为：13⨯底面积⨯高=31
123123
cm ⨯⨯=，故模型所需要的质量为：(14412)0.9118.8-⨯=
【方法总结与拓展】立体几何求体积时，重点在于找出底面积和高，转而求解题目中的问题。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理17) 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。

经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5．5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【命题意图】本题考查条形图信息的筛选整合能力，同时也考查了一些计算能力 【答案】见基本解法
【基本解法】（1）由已知得0．70=a +0．20+0．15，故a =0．35．
b =1–0．05–0．15–0．70=0．10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0．15+3×0．20+4×0．30+5×0．20+6×0．10+7×0．05=4．05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0．05+4×0．10+5×0．15+6×0．35+7×0．20+8×0．15=6．00．
【方法总结与拓展】以后要对条形图的信息体现有所重视，对各种数的计算做到心中有数 (2018·新课标全国Ⅲ卷理18)18．（12分）
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2
A C
a b A +=． （1）求B ；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．
【命题意图】本题考查解三角形的相关问题，突出了边角互化的解题技巧，重点考查学生的运算求解能力。

【基本解法】解：（1）由题设及正弦定理得sin sin
sin sin 2
A C
A B A +=． 因为sin A ≠0，所以sin
sin 2
A C
B +=． 由180A B
C ︒
++=，可得sin
cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222
B B B
=．
因为cos
02B ≠，故1
sin 22
B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC
的面积4
ABC S a =
△． 由正弦定理得(
)sin 120sin 1
sin sin 2
C c A a C C ︒
-===．
由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故
122
a <<
，从而82ABC S <<△．
因此，△ABC
面积的取值范围是⎝⎭
． 【解法2】解：（1）由题有sin
sin 2
A C
a b A += 所以，由正弦定理得：sin sin
sin sin 2
A C
A B A += 因为sin 0A ≠，所以sin
sin 2
A C
B += 即，有得sin
sin 2
B
B π-=，所以cos
sin 2sin cos 222
B B B B == 又因为(0,)B π∈，所以
(0,)22B π∈，cos 02
B
≠ 所以1sin
,2226B B π==，所以3
B π
= （2）由余弦定理得：2
2
2
2
2cos 1b a c ac B a a =+-=+-
所以22
1b a a -=-
所以222212cos 222b c a c a a
A bc bc b
+-+--===
因为ABC ∆为锐角三角形，所以
202a
b
->，即2a < 又22222cos 22a b c a a
C ab ab +--==且C 为锐角
所以
2202a a ab ->，得0a <（舍）或12
a > 综上：
1
22
a <<
所以1sin (2482
ABC S ac B ∆=
=∈ 【方法总结与拓展】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及面积公式的运用，考查三角函数的
恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理19)19.（12分）
图1是由矩形ABED ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，
60FBC ∠=.将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合.连结DG ，如图2.
（1）证明：图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B CG A --的大小.
D
G
E (
F )
B C
A
图1 图2
【命题意图】本题考查
【基本解法】解：（1）由已知得//AD BE ，//CG BE ，所以//AD CG ， 故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．
由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．
（2）【基本解法1】作EH BC ⊥，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ， 平面ABC ⊥平面BCGE ，所以EH ⊥平面ABC ．
由已知，菱形BCGE 的边长为2，60BEC ∠=︒，可求得1BH =，3EH =
．
以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，
则–110A （，，），100C （，，），203)G （，，103)CG =，，2,10AC =-（，）
． 设平面ACGD 的法向量为x y z =n （，，），则
0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n 即30,20,x z x y ⎧
+=⎪⎨-=⎪
⎩ 所以可取36,3=n （，）
． 又平面BCGE 的法向量可取为010=m （，，）
，所以3
cos ,||||2
⋅〈〉==
n m n m n m ． 因此二面角B CG A --的大小为30︒．
【基本解法2】取CG 的中点M ，连结EM ，EC ，DM . 因为//AB DE ，且AB ⊥平面BCGE ， 所以DE ⊥平面BCGE ，故DE CG ⊥. 又因为四边形BCGE 是菱形，且60BEC ∠=︒
得EM CG ⊥，故CG ⊥平面DEM .
因此DM CG ⊥.则DME ∠就是二面角B CG A --所成的平面角，
cos DME ∠=
，因此二面角B CG A --的大小为30︒． 【方法总结与拓展】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2)在图中找到B CG A --对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B 关于GC 的垂线，发现此垂足与A 的连线也垂直于CG .按照此思路即证.
很新颖的立体几何考题。

首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。

再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。

最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理20)20.（12分）
已知函数3
2
()2f x x ax b =-+. （1）讨论f (x )的单调性；
（2）是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由.
【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论法、等价转化法，考查学生对推理与计算能力，属于难题。

【答案】（1）0=a ，函数()x f 在R 上单调递增；0>a ，函数()x f 在()0,∞-，⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,3a 上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛
3,
0a 上单调递减；0<a ，函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ，()+∞,0上单调递增，在⎪⎭
⎫
⎝⎛0,3a 上单调递减.（2）
存在，且1,0-==b a 或1,4==b a .
【基本解法】（1）()()a x x ax x x f -=-='32262
，令()0='x f 得0=x ，3
a
x =
当
03
=a
，即0=a 时，()062≥='x x f 恒成立，所以函数()x f 在R 上单调递增； 当
03>a ，即0>a 时，函数()x f 在()0,∞-，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,3a 上单调递增，在⎪⎭⎫
⎝⎛3,0a 上单调递减； 当
03<a ，即0<a 时，函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ，()+∞,0上单调递增，在⎪⎭
⎫
⎝⎛0,3a 上单调递减.
（2）由（1）可得：
当0≤a 时，f (x )在区间[0,1]上单调递增，则()10-==b f ，()121=+-=b a f ，所以1,0-==b a 满足题意.
当0>a 时，f (x )在⎪⎭
⎫
⎝⎛3,
0a 上单调递减， 若
13
≥a
，即3≥a 时，f (x )在区间[0,1]上单调递减.则()10==b f ，()121-=+-=b a f ，所以1,4==b a ；
若130<<
a ，即30<<a 时，f (x )在⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,0a 上单调递减，在⎥⎦
⎤
⎝⎛1,3a 上单调递增，则最小值为127332332
3
-=+-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a a a a f ，而()b f =0，()b a f +-=21
所以()x f 的最大值为b 或b a +-2
由⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+-11273
b b a ，得3233>=a ，矛盾，故舍去
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+--=+-121273
b a b a ，得33±=a 或0=a ，矛盾，故舍去 综上可得：存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1，b a ,的所有值为1,0-==b a 或
1,4==b a
【方法总结与拓展】利用导数解决函数的单调性时，先求到，再解不等式；含参的一元二次不等式的解法，应对参数进行分类讨论：一、比较两个的大小；二利用判别式∆进行讨论. (2018·新课标全国Ⅲ卷理21)21．（12分）
已知曲线C ：22x y =，D 为直线1
2
y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．
（1）证明：直线AB 过定点；
（2）若以5(0,)2
E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积． 【命题意图】本题以抛物线为载体，考察切线、直线过定点、直线与圆的位置关系及中点弦，四边形面积
定值问题，对学生思维能力与逻辑推理能力要求高，以圆锥曲线为压轴题是第一次。

【答案】见详解
【基本解法】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-
⎪⎝⎭
，则2112x y =．
由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故1111
2y x x t
+
=- ． 整理得112 2 +1=0. tx y -
设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．
故直线AB 的方程为2210tx y -+=．
所以直线AB 过定点1(0,)2
． （2）
【解法一】由（1）得直线AB 的方程为12
y tx =+
． 由2
122
y tx x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()2121212122,
1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，
()
2
12
||21
AB x t
=-==+．
设
12
,d d分别为点,D E到直线
AB
的距离，则
12
d d
==．因此，四边形ADBE的面积()
(2
12
1
||3
2
S AB d d t
=+=+
设M为线段AB的中点，则2
1
,
2
M t t
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
．
由于EM AB
⊥，而()
2
,2
EM t t
=-，
AB与向量(1, )t平行，所以()
220
t t t
+-=．
解得0
t=或1
t=±．
当0
t=时，3
S=；当1
t
=±时，S=
因此，四边形ADBE的面积为
3或
【解法二】由（1）得直线AB的方程为
1
2
y kx
=+．
由
2
1
2
2
y kx
x
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，可得2210
x kx
--=．
于是()2
12121212
2,1,121
x x k x x y y k x x k
+==-+=++=+
所以AB的中点为2
1
,
2
H k k
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
由H为切点可得E到直线AB的距离即为EH|
=
解得0k =或1k =±， 即有直线AB 的方程为12y =
或12
y x =±+， 由12y =
可得2AB =，四边形ADBE 的面积为()1
21232
ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯+=； 由1
2
y x =±+
，可得4AB ==， 此时11,2D ⎛⎫
±-
⎪⎝⎭
到直线AB
= 50,2E ⎛⎫
⎪⎝⎭
到直线AB
= 则四边形ADBE
的面积为
1
42
ABE ABD S S ∆∆+=
⨯⨯=因此，四边形ADBE 的面积为3
或 【方法总结与拓展】
本题的背景是“阿基米德三角形”
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，阿基米德三角形有很多非常重要的性质，本题的结论是如下性质的一个特例：
如图，抛物线上以,A B 为切点的切线,PA PB 相交于点P ，若点P 在抛物线的准线上，则切点弦AB 经过抛物线的焦点。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理22)22.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π
，(2,)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π
，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲
线3M 是弧CD .
（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =P 的极坐标.
【命题意图】本题主要考查曲线的极坐标方程以及极坐标方程的应用。

【基本解法】
题(1) 以O 为原点，O x 为横轴建立直角坐标系，将三个过原点的圆的直角坐标方程列出，再化为极坐标方程，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围. 【详解】(1)由题意知，这三个圆的半径都是1，并且都过原点。

曲线1M 的直角坐标方程为22
(1)1x y -+=，其极坐标方程为2cos ([0,
])4π
ρθθ=∈ 曲线2M 的直角坐标方程为22
(1)1x y +-=，其极坐标方程为32sin ([,])44ππρθθ=∈, 曲线3M 的直角坐标方程为22
(1)1x y ++=，其极坐标方程为32cos ([,])4
πρθθπ=-∈. 题(2) 根据条件3ρ=P 点的极坐标.
令2cos 3([0,
])4
π
θθ=∈得6
π
θ=
，此时P 的极坐标为(3,
)6
π
；
令32sin [,])44ππ
θθ=∈得3π
=θ或23πθ=，此时P 的极坐标为)3π或2)3
π；
令32cos [
,])4πθθπ-=∈得56
πθ=，此时P 的极坐标为5)6π。

故点P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π。

【方法总结与拓展】求曲线的极坐标方程，可直接求，也可先写出其直角坐标方程，再利用公式222x y ρ=+及cos x ρθ=，sin y ρθ=化为极坐标方程，但需注意方程中θ的取值范围。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理23)23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设,,x y z R ∈，且1x y z ++=，
（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
（2）若2221(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【命题意图】本题考查了不等式的最值及证明，对学生推理能力要求较高。

【答案】见详解
【基本解法】
解：（1）【解法一】
由于2
[(1)(1)(1)]x y z -++++ 222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-
2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦， 故由已知得2224(1)(1)(1)3
x y z -++++≥， 当且仅当x =53，13
y =-，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为
43
． 【解法二】由柯西不等式，可得
()()()()222222[(1)(1)(1)1111111]3x y x y z z ⎡⎤=--++++++++++⎣
⎦ ()()()()221141*********
x y z x y z ≥-⨯++⨯++⨯=+++=⎡⎤⎣⎦ 当且仅当111x y z -=+=+时，即511,,333
x y z ==-=-时，等号成立， 所以222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为
43． （2）【解法一】
由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+- 222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--
2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦， 故由已知2
222
(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥， 当且仅当43a x -=，13a y -=，223
a z -=时等号成立． 因此2
22(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2
(2)3a +． 由题设知2(2)133
a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-． 【解法二】由()()()22222221111213
[(2)(1)()]x y z x y z a a ⎡⎤⎡⎤=
++-+-+-+--⎣⎦-⎣+⎦ ()()()21211113x y z a ≥-⨯+-⨯+-⨯⎡⎤⎣⎦ ()()221121233
x y z a a ≥-+-+-=-- 当且仅当43a x -=，13a y -=，223
a z -=时等号成立．
故由已知2
222
(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥， 因此222
(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2
(2)3a +． 由题设知2(2)133
a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-． 【方法总结与拓展】本题的背景是柯西不等式 设n a a a ,,,21⋅⋅⋅,n
b b b ,,,21⋅⋅⋅为两组实数，则
))(()(222222212221121n b b b a a a b a b a b a n n n +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++，① 当且仅当n
n b a b a b a =⋅⋅⋅==2211时取等号．（约定n i a i ⋅⋅⋅=≠,2,1,0） 推论1 设R a i ∈，0>i b ),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，则n
n n n b b b a a a b a b a b a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++212212222121)(， 当且仅当i i a b λ=时等号成立，
推论2 设i a ，i b 不同时为零),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，则n
n b a b a b a +⋅⋅⋅++2211 n
n n b a b a b a a a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≥22112
21)(,等号成立当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21时成立．。