勾股定理提高题

勾股定理
知识概要
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222
a b c
+=．
2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足222
a b c
+=，那么这个三角形是直角三角形3、勾股定理的作用
（1）已知直角三角形的两边求第三边.
（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.
（3）用于证明平方关系的问题.
4、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如c）.
（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.
若2c=2a+2b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形；
若2c≠2a+2b，则△ABC不是直角三角形.
【注意】当2c≠2a+2b时有两种情况.
（1）当2a+2b<2c时，此三角形为钝角三角形；（2）当2a+2b>2c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.
5、勾股找规律
常用勾股数组：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)……
例题精讲
【例1】如图，证明勾股定理．
【巩固练习】
美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法。

如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．
【例2】填空题:
在△ABC中,∠C为直角.
(1)若BC =2, AC=3则AB = ；若BC =5, AB=13.则AC = ；若AB=61, AC=11.则BC = .
(2)若BC∶AB =3∶5且AB =20则AC= .
(3)若∠A=60°且AC=2cm则AB= cm，BC= cm.
【巩固练习】
1、Rt△ABC中，C
∠是直角，
（1）已知6
BC=，8
AC=，求AB之长；
（2）已知25
AB=，14
BC=，求AC之长；
板块一勾股定理
a
a
a
a
b
b
b
b
（3）已知13AC =，19AB =，求BC 之长．
2、已知等边三角形的边长为a ，求等边三角形一边上的高和这等边三角形的面积．
【例 3】已知60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 和AD 的长．
【巩固练习】
已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.
【例 4】如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝
15,BC AD ⊥于D ，求AD 的长.
C
B
A
D
【例 5】如图，已知：
︒
=∠90C ，
CM AM =，AB
MP ⊥于P ． 求
证
：
222BC AP BP += ．
【例 6】如图，已知在Rt ABC △中，
Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直
径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．
【巩固练习】
1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分
别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图
中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
P M
B
C
A
A B C
D
C B
A D
C A
B
S 1
S 2
2、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都
是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是 A ．13 B ．26 C ．47 D ．94
3、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、
4S ，则1S +2S +3S +4S =____
【例7】在△ABC 中，如果a ∶b ∶c =1∶3∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °
如果a ∶b ∶c =1∶1∶2,
那么∠A= °,∠B= °∠C= °
【例 8】判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）15a =，8b =，17c =； （2）13a =，14b =，15c =； （3）7a =，24b =，25c =
【例 9】已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边
分别是a 、b 、c ，满足a 2
+b 2
+c 2
+338=10a+24b+26c ， 试判断△ABC 的形状
【例 10】如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．
【例 11】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点即3CE ＝EB
求证：AF ⊥FE ．
【例 12】如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD
的面积.
板块二 勾股定理逆定理
S 1 1
S 2
S 3
S 4
2
3
1
C B
A
【巩固练习】
1.若一个三角形的周长为123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
2.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小
正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
3.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.
4.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，
AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A 的度数。

课后作业
1、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，
（1）5a =，12b =，则c =_______； （2）9a =，40b =，则c =_______； （3）8a =，15b =，则c =_______； （4）7a =，24b =，则c =_______．
2、三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为
（ ）
A ．6
B ．36
C ．64
D ．8
3、在Rt△ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第
三边的长（ ） A 、5
B 、7
C 、5或7
D 、5或11
4、（1）等腰三角形的腰长是20厘米，底长是32
厘米，求它的面积．
（2）已知一等边三角形的高是43，求面积．
（3）直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.
5.寻求某些勾股数的规律：
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的
正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：2
22543=+，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086=+和2
2215129=+，……若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大n 倍，就得到 ．
(2)对于任意一个大于1的奇数，存在着下列
勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为2
2
2
453-=，则有
5432+=；
若勾股数为5，12，13，则有131252
+=； 若勾股数为7，24，25，则有 ；…… (3)对于大于4的偶数：
A
B
D C
A 100
64
若勾股数为6，8，10，因为2
2
2
8106-=，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表
示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．
6、如图，点C 是以为AB 直径的半圆上的一点，
90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，则图中阴影部分的面积是
勾股定理（二）
勾股问题的应用
模型1. 折叠翻转问题：注意对称中的线段的相等与转移，结合全等三角形性质
模型2. 最短距离问题：把立体图形的展开，构造平面图形，利用勾股定理计算证明
模型3. 其他实际问题：学会把实际问题抽象成几何图形，利用勾股定理求解
例题精讲
【例1】如图，将三边长分别为3、4、5的△ABC ，
沿最长边AB 翻转180︒成△ABC '，则'
CC 长为（ ）
【例2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边
,6cm AC =cm BC 8=，将△ABC 折叠，使点B 与
点A 重合，折痕为DE ，求CD 的长
E
D
C
B
A。

【例3】如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.
【巩固练习】
1.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．
2.如图，在矩形ABCD
中，AB=6，将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C'处，若AE:BE=1:2，则折痕EF 的长为多少？
板块一 折叠翻转问题
C
B
A 'C
3.如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的
点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB
上，则CD ∶CE ＝_________．
【拓展】如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD 边与BD 重合,得到折痕DG,若AB=8. BC=6,求AG 的长
【例4】如图，在长、宽都是3，高是8的长方体外部，若蚂蚁要从顶点A 爬到顶点B ，那么它爬行
的最短距离为 ．A B
【巩固练习】
如图，正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，•一只蚂蚁从M 点沿正方体的表面爬行到1D 点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A ．13
B ．3
C ．17
D ．2+5
【拓展】1.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ， 那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个 侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所 用细线最短需要 cm ．
2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？
【例5】如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设
水管的费用最节省，
并求出总费用是多少？
【巩固练习】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.
板块二 最短距离问题
B A 6cm 3cm
1cm
A B
C
D
L
D
C
A
G B
A
·
· B
3
2
20
E
D
C
B A F
他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【例6】如图,一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩
余1米,若将绳子拉直, 则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米.求旗杆的高度.
【例7】如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .
【例8】 如图，是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的
底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅
拌棒(直线型)最长可以是多
长?
【巩固练习】如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
【例9】长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．
【巩固练习】 如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
C
A 1
B 1
A B
板块三 其他实际问题
60
120
140 B 60
A A
B 小河
东
北
牧童 小屋
【例10】如图所示，秋千OA 在平衡位置时，下端 A 距地面0.6 米，当秋千荡到 OA 1 的位置时，下端A 1距平衡位置的水平距离 A 1B 为 2.4 米，距地面1.4米，求秋千OA 的长．
【例11】如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤
离才可脱离危险？
课后作业
1.有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢， 至少飞了 米．
2.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于
门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.
3.木工周师傅加工一个长方形桌面，测量得到桌面的长为40cm ，宽为50cm ，对角线为60cm ， 这个桌面 (填“合格”或“不合格”)。

4.如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3
米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是____________米.
5.如图,为测得到池塘两岸点A 和点B 间的距离,
一个观测者在C 点设桩,使90ABC ∠=
,并测得AC 长20米、BC 长16米,则A 、B 两
点间距离是 米｡
6.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．
7.如图，某会展中心在会展期间准备将高BC=5m ，长AB=13m ，宽2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道
至少需要多少元钱？
A
B
C
D。