人教版高中数学高二必修5习题 第1章 解三角形 综合检测

章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( )
A ．135°
B ．90°
C ．45°
D ．30° 解析：选C.由正弦定理
a sin A ＝
b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23
sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.
2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75° 解析：选C.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12
，因为0°<A <180°，所以A ＝60°，故选C.
3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
解析：选B.由△ABC 的面积为33，且BC ＝4，CA ＝3可知12
BC ·CA sin C ＝33，所以sin C ＝32
， 又△ABC 为锐角三角形，所以C ＝60°.
4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b
，则B 的值为( ) A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选B.由已知及正弦定理知sin A sin A ＝cos B sin B
， 所以tan B ＝1，又B 为△ABC 的内角，所以B ＝45°.
5．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.
53 B.54 C.55 D.56
解析：选B.由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，所以a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52
. 又A ＝2B ，所以sin 2B sin B ＝52，所以cos B ＝54
. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＋C ＝2B ，a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )
A. 2
B. 3
C.32 D ．2
解析：选C.由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3
，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32
. 7．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A ．北偏东40°
B ．北偏西10°
C ．南偏东10°
D ．南偏西10°
解析：选B.如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，
∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，
因为AC ＝BC ，
所以∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2
＝50°. 所以∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.
8．在△ABC 中，sin A ＝34
，a ＝10，则边长c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞
B ．(10，＋∞)
C ．(0，10)
D.⎝
⎛⎦⎤0，403 解析：选D.因为c sin C ＝a sin A ＝403
，
所以c ＝403
sin C . 所以0<c ≤403
. 9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解
B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解
C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解
D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解
解析：选D.A 中，因为a sin A ＝b sin B
， 所以sin B ＝16×sin 30°8
＝1， 所以B ＝90°，即只有一解；
B 中，因为sin
C ＝20sin 60°18＝539
，且c >b ， 所以C >B ，故有两解；
C 中，因为A ＝90°，a ＝5，c ＝2，
所以b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，
即有解，故A 、B 、C 都不正确，用排除法应选D.
10．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ＋sin C cos B ＋cos C
，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰或直角三角形
解析：选C.由已知得cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C sin A
， 由正、余弦定理得
a 2＋c 2－
b 22a
c ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c a
， 即a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c )⇒a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形．
11．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( )
A ．12
B.212 C ．28 D ．6 3
解析：选D.由题意得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12
，所以A ＝60°， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 12．将村庄甲、乙、丙看成A 、B 、C 三点，正好构成△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别
为a ，b ，c ，tan C ＝37.若CB →·CA →＝52
，且甲到丙的距离与乙到丙的距离之和为9，则甲、乙之间的距离为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选C.因为tan C ＝37，所以sin C cos C ＝37.又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，得cos C ＝±18
.因为tan C ＞0，所以C 是锐角．
所以cos C ＝18.因为CB →·CA →＝52，所以ab cos C ＝52
， 所以ab ＝20.又因为a ＋b ＝9，
所以a 2＋2ab ＋b 2＝81，
所以a 2＋b 2＝41，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36，
所以c ＝6，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35
，a ＝20，则b 的值为________． 解析：由题意，得sin A ＝1213
， 所以b ＝a sin A ·sin B ＝201213×35
＝13. 答案：13
14．(2016·黄冈高级中学检测)已知△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．
解析：因为cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
，且C 为钝角， 所以cos C <0，
所以a 2＋b 2－c 2<0.
故a 2＋b 2<c 2.
答案：a 2＋b 2<c 2
15．若△ABC 的面积为3，BC ＝1，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．
解析：在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×1×AC ×sin 60°＝34
AC ＝3，所以AC ＝4.
由余弦定理得：AB 2＝BC 2＋AC 2－2AC ·BC ·cos C
＝12＋42－2×1×4×12
＝13，所以AB ＝13. 答案：13
16．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为5 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50 s ，升旗手应以________ m/s 的速度匀速升旗．
解析：在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝56，
由正弦定理，得BC ＝CD sin 45°sin 30°
＝103； 在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 60°＝103×
32
＝15(m)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝1550
＝0.3(m/s)． 答案：0.3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(本小题满分10分)(2016·广州检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝5，c ＝61.
(1)求C 的大小；
(2)求△ABC 的面积．
解：(1)依题意，由余弦定理得cos C ＝42＋52－（61）22×4×5
＝－12， 因为0°<C <180°，所以C ＝120°.
(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×sin 120°＝12×4×5×32
＝5 3. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43
，求a 、b . 解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，所以cos A cos B ＝sin B sin A
. 即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B . 又因为a ≠b ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2
. 所以△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，
得a ＝6，b ＝8. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝4，且sin 2B ＝sin A sin C .
(1)求ac 的值；
(2)若△ABC 的周长为12，试判断△ABC 的形状．
解：(1)由已知根据正弦定理得b 2＝ac ，
所以ac ＝16.
(2)因为△ABC 的周长为12，
所以a ＋c ＝8，
即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝8，ac ＝16，
解得a ＝4，c ＝4.因为a ＝b ＝c ，
所以△ABC 为等边三角形．
20．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35
. (1)若b ＝4，求sin A 的值；
(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．
解：(1)因为cos B ＝35
>0，且0<B <π. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝45
. 由正弦定理得a sin A ＝b sin B
， sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25
. (2)因为S △ABC ＝12
ac sin B ＝4， 所以12×2×c ×45
＝4，所以c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35
＝17，所以b ＝17. 21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝(3a －c )cos B.
(1)求cos B 的值；
(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值．
解：(1)由正弦定理得，
sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ，
所以sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，
可得sin A ＝3sin A cos B.
又sin A ≠0，
所以cos B＝1
3.
→·BC→＝2，可得ac cos B＝2.
(2)由BA
，
又cos B＝1
3
所以ac＝6.
由b2＝a2＋c2－2ac cos B及b＝22，
可得a2＋c2＝12，所以(a－c)2＝0，即a＝c.
所以a＝c＝ 6.
22.(本小题满分12分)(2016·南通检测)如图，港口A在港口O的正东120
海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的
方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海
里/小时的速度驶离港口O，一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶
向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船，已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．
(1)求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；
(2)给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？
解：(1)由题意知，在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°.于是AB＝60，而快艇的速度为60海里/小时，所以给养快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时．
(2)由(1)知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇，在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°，所以OB＝603，而在△OCB中，BC＝60t，OC＝20(2＋t)，∠BOC＝30°，由余弦定理，得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC，
，即8t2＋5t－13＝0，解得t＝1或t 即(60t)2＝(603)2＋[20(2＋t)]2－2×603×20(2＋t)×3
2
＝－13
8(舍去)．故t＋2＝3，即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇．。