大学工科数学分析期末考试___26(试题)A

20XX年复习资料

大

学

复

习

资

料

专业：

班级：

科目老师：

日期：

一、 填空题：（每题4分）

1.设向量场2322(32)()(3)x yz i y yz j xyz xz k =-+++-A ，则在点(1,2,2)M -处

div A = ,rot A =

；

2. 设222cos cos cos 1,x y z ++=，

z

是,x y 的函数，则

dz = ；

3. 设2222

:4(2)4,4(2)

L

xdy ydx

L x y x y -+-==+-⎰正向闭路则 ；

4. 21,,y y x y x ===已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则此方程

的通解为 ；

5.

2222,()S

S x y z a x y z dS S ++=++=

∑⎰⎰设为球面则；并设为的内侧，则

xdy dz ydx dz zdx dy ∑

Λ+Λ+Λ=

⎰⎰；

6. 设二元函数(,)u x y 满足2222(,)(2)(2)du x y x xy y dx x xy y dy =+-+--成立，则(,)u x y = .

本题分数 24

得 分

二、计算题（第题8分，共32分）

1．已知函数(sin ,cos ,)x y z f x y e +=，其中f 具有二阶

连续偏导数，求222,z z

x x y

∂∂∂∂∂.

2．求对坐标的曲线积分

()()()C

z y dx x z dy x y dz -+-+-⎰

，其中

2212y x y z x C +=-+=⎧=⎨⎩，从z 轴正向往z 轴负向看C 是顺时针方向.

本题分数 32

得 分

3．设()f u 在(0,)+∞上可微，2222:t y x z ++Ω≤，计算

222

()d f x y z dV dt Ω

++⎰⎰⎰.

4．求锥面22z x y =+在圆柱体222x y x +≤内的面积.

三、可微函数(,)f x y 满足方程(,)(,)f tx ty tf x y =，

0(1,-2,2)P 是曲面(,)z f x y =上一点，(1,-2)4x f =，求曲

面0=(,)z f x y P 在处的切平面方程。

四、设函数()x ϕ连续，且满足0()()()x x

x e t x t dt ϕϕ=+-⎰，求()x ϕ.

本题分数 9

得 分

本题分数 20XXXX 得 分

五、计算333(cos cos )y c s d o z x S αβγ∑

++⎰⎰，其

中∑为曲面222z x y =+在01z -≤≤的部分，

,cos ,o co s s c αβγ为∑上任一点(,,)x y z 的法向量的方向余弦，且cos 0γ<。

本题分数 20XXXX 得 分

六、求幂级数13n n n x n ∞

=∑的和函数，并求级数1

1

(1)n n n ∞

=--∑

的和.

七、设函数(),,(,)u x y v x y 在分段光滑闭曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数，证明：

(())L D

v u u dxdy u v d v v s u ∆-∆∂∂=-∂∂⎰⎰⎰n n ，其中2222x y ∂∂+=∂∆∂，u

∂∂n 为(),u x y 沿L 外法线方向n 的方向导数，L 取曲线正向。.

本题分数 20XXXX 得 分

本题分数 5

得 分

一、 填空题

1.8;10204i j k ++； 2．sin 2sin 22xdx ydy

sin z -+-； 3．2π；

4

．

212((1)1)1

x c x c --++；

5．

3

0;4a π-；

6．3322/3/3x y x y xy C -+-+

二、 1解：13cos x y x z f x f e +=+，……………… (2分)

22()11133313cos 2cos sin x y x y x y xx z f x f e x f e f x f e +++=++-+…………… (5分)

2()121332333sin cos cos sin x y x y x y x y

xy z f y x f e x f ye f e f e ++++=-+-++………

(8分)

2解：曲线参数化cos ,sin ,2cos sin ,20:x t y t z t t t π===-→+ ……….…(2分)

将曲线的参数方程代入则有

2[(2cos )(sin )(2cos 2sin )cos =(cos sin )(sin cos )]t t t t t

t t t t dt

π--+--+-+⎰

原式…. ………….…(6分)

=20

[2(sin cos )2cos 21]t t t dt π

+--⎰

=2π- ………………………… (8分)

3解：Ω的球面坐标为cos ,=sin sin ,=co =sin s y x r r z r ϕθϕθϕ， 其

中

[0,2],[0,],[0,]r t θπϕπ∈∈∈。 …. ………….…(3分)

20

222220

()=()sin t

f x y z dV d d f d r r r π

πθϕϕΩ

++⎰⎰⎰⎰⎰⎰

=220

)4(t

f r r dr π⎰ …. ………….…(6分)