湘教版初中数学知识点总复习资料

教材知识梳理·系统复习第一单元数与式
第1讲实数
第2讲整式与因式分解
第3讲分式
第4讲二次根式
第二单元方程(组)与不等式(组)
第6讲一元二次方程
第7讲分式方程
第8讲一元一次不等式(组)
3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，
左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230
m
mx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.
4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.
失分点警示
系数化为1时，注意系数的正负
性，若系数是负数，则不等式改
变方向.
（2）解集在数轴上表示:
x≥a x＞a x≤a x＜a
知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法
5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元
一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”
表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．
（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.
6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分
7.不等式
组解集
的类型假设a＜b解集数轴表示口诀
x a
x b
≥
⎧
⎨
≥
⎩
x≥b大大取大
x a
x b
≤
⎧
⎨
≤
⎩
x≤a小小取小
x a
x b
≥
⎧
⎨
≤
⎩
a≤x≤b大小，小大中间找x a
x b
≤
⎧
⎨
≥
⎩
无解大大，小小取不了
知识点四：列不等式解决简单的实际问题
8.列不等
式解应
用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不
等式；验检是否有意义.
（2）应用不等式解决问题的情况：
a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不
高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；
b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般
还需根据整数解，得出最佳方案
注意：
列不等式解决实际问题中，设未
知数时，不应带“至少”、“最多”
等字眼，与方程中设未知数一
致.
第三单元函数
第9讲平面直角坐标系与函数
知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例
1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．
（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).
2.点的坐标
特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：
点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；
点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；
点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；
点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.
（2）坐标轴上点的坐标特征：
①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.
（3）各象限角平分线上点的坐标
①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；
②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数
（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：
①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；
③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．
（5）点M（x,y）平移的坐标特征：
（1）坐标轴上的点不属于任
何象限.
（2）平面直角坐标系中图形
的平移，图形上所有点的
坐标变化情况相同.
（3）平面直角坐标系中求图
形面积时，先观察所求图形
是否为规则图形，若是，再
进一步寻找求这个图形面积
的因素，若找不到，就要借
助割补法，割补法的主要秘
诀是过点向x轴、y轴作垂
线，从而将其割补成可以直
接计算面积的图形来解决.
x
y
第四象限
(＋，－)
第三象限
(－，－)
第二象限
(－，＋)
第一象限
(＋，＋)
–1
–2
–3123
–1
–2
–3
1
2
3
O
M （x,y）M1(x+a,y) M2(x+a,y+b)
3.坐标点的
距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．
（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：
点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；
点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．
平行于x轴的直线上的点纵
坐标相等；平行于y轴的直
线上的点的横坐标相等.
知识点二：函数
4.函数的相关
概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量
叫做变量．
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确
定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、
图像法、解析法.
（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次
根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．
失分点警示
函数解析式，同时有几个代
数式，函数自变量的取值范
围应是各个代数式中自变量
的公共部分. 例：函数
y=3
5
x
x
+
-
中自变量的取值范
围是x≥-3且x≠5.
5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的
式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
读取函数图象增减性的技
巧：①当函数图象从左到右
呈“上升”（“下降”）状态时，
函数y随x的增大而增大（减
小）；②函数值变化越大，图
象越陡峭；③当函数y值始
终是同一个常数，那么在这
个区间上的函数图象是一条
平行于x轴的线段.
第10讲一次函数
知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例
1.一次函数的
相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0
时，称为正比例函数．
（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，
正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.
例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－
1是正比例函数,
2.一次函数
的性质k，b
符号
K＞0，
b＞0
K＞0，
b＜0
K＞0，b=0 k<0，
b>0
k<0，
b<0
k<0，
b＝0
（1）一次函数y=kx+b中，k确
定了倾斜方向和倾斜程度，b确定
了与y轴交点的位置.
（2）比较两个一次函数函数值的
大小：性质法，借助函数的图象，
也可以运用数值代入法.
例：已知函数y=－2x＋b，函数值
y随x的增大而减小(填“增大”或
“减小”)．
大致
图象
经过
象限
一、二、三一、三、
四
一、三一、二、
四
二、三、
四
二、四
图象
性质
y随x的增大而增大y随x的增大而减小
3.一次函数与
坐标轴交
点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，
只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是
()
－
b
k，0，与y轴的交点是(0，b)；
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
例：
一次函数y＝x＋2与x轴交点的
坐标是（-2,0），与y轴交点的坐
标是（0,2）.
知识点二：确定一次函数的表达式
4.确定一次函
数表达式
的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：
①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；
②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；
③解：求出k与b的值，得到函数表达式．
（2）常见类型：
①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；
③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要
求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.
(1)确定一次函数的表达式需要两
组条件，而确定正比例函数的表
达式，只需一组条件即可.
(2)只要给出一次函数与y轴交点
坐标即可得出b的值,b值为其纵
坐标，可快速解题. 如:已知一次
函数经过点（0,2），则可知b=2.
5.一次函数图
象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们
的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.
例：将一次函数y=-2x+4的图象
向下平移2个单位长度，所得图
象的函数关系式为y=-2x+2．
知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系
6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x
轴交点的横坐标.
例：
（1）已知关于x的方程ax+b=0
的解为x=1,则函数y=ax+b与x
轴的交点坐标为（1,0）.
（2）一次函数y=-3x+12中，当x
＞4时，y的值为负数．
7.一次函数与方程组二元一次方程组的解 两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.
8.一次函数与
不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
知识点四：一次函数的实际应用
9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答. 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.
10.常见题型（1）求一次函数的解析式.
（2）利用一次函数的性质解决方案问题.
第11讲反比例函数的图象和性质
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例
1.反比例函
数的概念（1）定义：形如y＝
k
x(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的
取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝
k
x；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该
函数是反比例函数．
2.反比例函
数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上
的方法：①把点的横、纵坐标代入看是
否满足其解析式；②把点的横、纵坐标
相乘，判断其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首
先要判断自变量的取值是否同号，即是
否在同一个象限内，若不在则不能运用
性质进行比较，可以画出草图，直观地
判断.
k>0 图象经过第
一、三象限
（x、y同号）
每个象限内，函数y的值
随x的增大而减小.
k<0 图象经过第
二、四象限
（x、y异号）
每个象限内，函数y的值
随x的增大而增大.
y=k2x+b
y=k1x+b
3.反比例函
数的图象
特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分
别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
例：若(a，b)在反比例函数
k
y
x
=的图
象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填
“在"、"不在")
4.待定系数
法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数
k即可.
例：已知反比例函数图象过点（－3，
－1），则它的解析式是y=3/x.
知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.系数k的
几何意义（1）意义：从反比例函数y＝
k
x(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线
与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的
面积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：
失分点警示
已知相关面积，求反比例函数的表达
式，注意若函数图象在第二、四象限，
则k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作坐
标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比
例函数解析式为：
3
y
x
=或
3
y
x
=-.
6.与一次函
数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，
可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程
思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函
数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，
可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.
也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方
的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
涉及与面积有关的问题时，①要善于把
点的横、纵坐标转化为图形的边长，对
于不好直接求
的面积往往可
分割转化为较
好求的三角形
面积；②也要注意系数k的几何意义.
例：如图所示，三个阴影部分的面积按
从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE
＞S△BOD.
知识点三：反比例函数的实际应用
7.一般步
骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
第12讲二次函数的图象与性质
知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二
次函数，那么a的取值范围是
a≠0.
2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其
中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为
抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系
数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析
式.
若已知条件是图象上的三个
点或三对对应函数值，可设一
般式；若已知顶点坐标或对称
轴方程与最值，可设顶点式；
若已知抛物线与x轴的两个交
点坐标，可设交点式.
知识点二：二次函数的图象与性质
第13讲二次函数的应用
第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线
知识点四：命题与证明
9.命题与证明（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命
题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，
那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的
过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成
立就可以了.
例：下列命题是假命题的有(③)
①相等的角不一定是对顶角；
②同角的补角相等；
③如果某命题是真命题，那么它的逆命题
也是真命题；
④若某个命题是定理，则该命题一定是真
命题.
第15讲一般三角形及其性质
一、知识清单梳理
知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例
1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类
⎧
⎪
⎧
⎨
⎨
⎪
⎩
⎩
直角三角形
三角形锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
⎧
⎪
⎧
⎨
⎨
⎪
⎩
⎩
不等边三角形
三角形底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
失分点警示：
在运用分类讨论思想计算等腰
三角形周长时，必须考虑三角形
三边关系.
例：等腰三角形两边长分别是3
和6，则该三角形的周长为15.
2.三边关
系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3.角的关系（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
利用三角形的内、外角的性质求
角度时，若所给条件含比例，倍
分关系等，列方程求解会更简
便.有时也会结合平行、折叠、
等腰（边）三角形的性质求解.
4.三角形
中的重
要线段
四线性质
（1）角平分线、高结合求角度
时，注意运用三角形的内角和为
180°这一隐含条件.
（2）当同一个三角形中出现两
条高，求长度时，注意运用面积
这个中间量来列方才能够求解. 角平分线
（1）角平线上的点到角两边的距离相等
（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）
中线
（1）将三角形的面积等分
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高
锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高
相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
5.三角形
中内、外
角与角
平分线
的规律
总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=
1
2
∠BAC-∠CAE=
1
2
(180°-∠B-
∠C）-（90°-∠C）=
1
2
(∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=
1
2
∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=
1
2
∠A，∠O’=
1
2
∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-
1
2
∠A.
对于解答选择、填空题，可
以直接通过结论解题，会起
到事半功倍的效果.
知识点二：三角形全等的性质与判定
6.全等三
角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.
7.三角形
全等的判定
一般三角形全等 SSS （三边对应相等）
SAS （两边和它们的夹角对应相等）
ASA （两角和它们的夹角对应相等）
AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）
失分点警示
如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.
8.全等三
角形的运用
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到
两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
例：
如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2
，BE=CD
，AB=5，
AE=2，则
CE=3.
第16讲 等腰、等边及直角三角形
知识点一：等腰和等边三角形
关键点拨与对应举例
1.等腰
三角
形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B ＝∠C ，则△ABC 是等腰三角形.
（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.
失分点警示：当等腰三角形的
腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°. 2.等边
三角形
（1）性质:①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB ＝AC ，且∠B ＝60°，则△ABC 是等边三角形.
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角
60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB. 例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC ，BC=3，则△ABC 的周长为9.
知识点二：角平分线和垂直平分线
3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
例：如图，△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，AB的垂直平分线交AC
于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.
4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
知识点三：直角三角形的判定与性质
5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝
1
2
AB；
(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则
CD＝
1
2
AB.
(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即
a2＋b2＝c2 .
（1）直角三角形的面积
S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角
边，c为斜边，h是斜边上的高)，
可以利用这一公式借助面积这个
中间量解决与高相关的求长度问
题.
（2）已知两边，利用勾股定理求
长度，若斜边不明确，应分类讨
论.
（3）在折叠问题中，求长度，往
往需要结合勾股定理来列方程解
决.
6.直角
三角
形的
判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则
△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角
形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
第17讲相似三角形
知识点一：比例线段关键点拨与对应举例
1.比例
线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
a c
b d
=，
那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小
顺序，防止出现比例混乱.
2.比例
的基
本性
质(1)基本性质：
a c
b d
=⇔ ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：
a c
b d
=⇔
a b
b
±
＝
c d
d
±
；（b、d≠0）
(3)等比性质：
a c
b d
=＝…＝
m
n
＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
...
...
a c m
b d n
+++
+++
＝k.（b、d、···、n≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，
常用引入参数法，将所有的量都统一用含同
一个参数的式子表示，再求代数式的值，也
可以用给出的字母中的一个表示出其他的
字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再
代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b
代入求解.
例：若
3
5
a
b
=，则
a b
b
+
=
8
5
.
3.平行
线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则
AB DE
BC EF
=.
利用平行线所截线段成比例求线段长
或线段比时，注意根据图形列出比例
等式，灵活运用比例基本性质求解.
例：如图，已知D，E分别是△ABC的
边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，
要使DE∥AB，那么BC：CD应等于
5
3
. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边
的延长线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则
OA OB
OD OC
=.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC
AB＝=5－1
2≈0.618，
例：把长为10cm的线段进行黄金分2
1P C
O
B
A
P
C
O B
A
D
A
B
C a
b
c
D
A
B
C a
b
c
F
E
D
C
B
A
l5
l4
l3
l2
l1
O
D
C
B
A
E
D
C
B
A
分割那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割
点，AC与AB的比叫做黄金比．
割，那么较长线段长为5(5－1)cm．知识点二：相似三角形的性质与判定
5.相似
三角
形的
判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△
DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三
角形相似．如图，若∠A＝∠D，
AC AB
DF DE
=，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如
图，若
AB AC BC
DE DF EF
==，则△ABC∽△DEF.
6.相似
三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于
相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长
为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF
的面积之比为9：4.
(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,
已知S△ADE:S△ABC=1:4，
则AF:AG=1：2.
7.相似三
角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图
形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经
常把等积式化为比例式，把比例式的四条
线段分别看做两个三角形的对应边.然后，
通过证明这两个三角形相似，从而得出结
果.
第18讲解直角三角形
知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例
1.锐角三角函数正弦: sin A＝
∠A的对边
斜边
＝
a
c
余弦: cos A＝
∠A的邻边
斜边
＝
b
c
正切: tan A＝
∠A的对边
∠A的邻边
＝
a
b.
根据定义求三角函数值时，一定根据
题目图形来理解，严格按照三角函数
的定义求解，有时需要通过辅助线来
构造直角三角形.
2.特殊角
的三角函数值
度数
三角函数
30°45°60°sinA
1
2
2
2
3
2 cosA
3
2
2
2
1
2 tanA
3
3
1 3
知识点二：解直角三角形
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A。