2019-2020年高中数学直线与椭圆的位置关系教案(高二)

2019-2020年高中数学直线与椭圆的位置关系教案（高二）
知识点归纳
1、椭圆参数的几何意义，如下图所示： （1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=，==e ； （2）,；
（3）焦半径：， . 2、直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题：
可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与椭圆的相交问题要用好化归思想和等价转化思想 3、涉及直线与椭圆相交弦的问题：
主要有这样几个方面：有弦长,弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决） 4、涉及到椭圆焦点弦的问题：
可以利用椭圆的焦半径公式（即椭圆的第二定义） 5、韦达定理的运用：
由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用 6、弦长公式：
若直线与椭圆交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(x x k AB -+=； 若直线与椭圆交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(y y m AB -+=
7、椭圆的参数方程 的参数方程为：，的参数方程为： 典型示例：
【例1】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标． 解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，，为参数．
由2
2
22222
1⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得，即． 设椭圆上的点到点的距离为，则
2
2222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d 49sin 3sin 34222+--=θθb b b
3421sin 32
2
2
++⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=b b b θ
如果，即，则当时，（从而）有最大值．
由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立． 于是当时（从而）有最大值． 由题设知，∴，．∴所求椭圆的参数方程是． 由，，可得椭圆上的是，．
【变式】求椭圆上的点到直线的距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为
2
63sin 226sin cos 3+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
+-=
θπθθd ．当时，． 【例2】已知椭圆，①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；②过引椭
圆的割线，求截得的弦的中点轨迹方程；③求过点且被平分的弦所在的直线方程．
解：设弦的两端分别为、，的中点为，则，，两式相减并除以得：0)(21
21
21212=--⋅+++x x y y y y x x
而， （*）
①将代入（*）式，得所求的轨迹方程为（椭圆内部分） ②将代入（*）式，得所求的轨迹方程为（椭圆内部分） ③将，代入（*）式，得：，故所求的直线方程为 【变式】求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程. 解：（法一）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为， 它与椭圆的交点分别为，，
则221(2)185
y k x x y +=-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，消去得222(85)16(21)8[(21)5]0k x k k x k +-+++-=，
∴，
又∵为弦的中点，∴，即， ∴，从而直线方程为．
（法二）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为， 它与椭圆的交点分别为，， 则，
得：2
2
2
2
21215()8()0x x y y -+-=， ∵为中点，∴，， ∴，即，
所以，直线方程为．
（2）AB 中点
【例4】已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在，设，由已知条件得 ，，∴，．∵左准线的方程是，∴． 又由焦半径公式知： ，．
∵，∴()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
=+112
12122124x x x ． 整理得．
解之得或． ①
另一方面． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在 【变式】已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |＋|F 2B |＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；
（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4 所以b ==3.故椭圆方程为=1.
（Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=. 因为椭圆右准线方程为x =，离心率为 根据椭圆定义，有|F 2A |=（－x 1），|F 2C |=（－x 2）
由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得（－x 1）+（－x 2）=2× 由此得出x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）则x 0==4. 【例5】（xx 天津文数）（21）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为。

若，求直线的倾斜角；
（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由题意可知，即ab=2. 解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A 的坐标是（-2,0）.设点B 的坐标为，直线l 的斜率为k.则直线l 的方
程为y=k（x+2）.
于是A 、B 两点的坐标满足方程组22
(2),1.4
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.
由，得.从而.
所以2
||14AB k ==+. 由，得.
整理得，即，解得k=. 所以直线l 的倾斜角为或.
【变式】(xx 辽宁文数）（20）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距； （Ⅱ）如果,求椭圆的方程. 解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l 的距离 所以椭圆的焦距为4.
（Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,A x y B x y y y <>由题意知直线的方程为
联立2222422
222),
(3)30.1
y x a b y y b x y a
b ⎧=-⎪
++-=⎨+=⎪⎩得
解得22122222
(22)(22)
,.33a a y y a b a b +-==++
因为22122,2.AF F B y y =-=所以
即222222
(22)(22)
2.33a a a b a b +-=⋅++
得223.4,a a b b =-==而所以
故椭圆的方程为
【例6】（07浙江)如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ．
(I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；
（Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程． (I)解：设点A 的坐标为(，点B 的坐标为， 由，解得
所以22121
||2112
S b x x b b =
-=≤+-= 当且仅当时，．S 取到最大值1
．
（Ⅱ）解：由22
14
y kx b x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得
222(41)8440k x kbx b +++-=
① ｜AB
12|2x x -== ②
又因为O 到AB 的距离 所以 ③ ③代入②并整理，得 解得，，代入①式检验，△＞0 故直线AB 的方程是
或或或．
【变式】（07陕西）已知椭圆C :=1(a ＞b ＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为，求△AOB 面积的最大值.
解：
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意3c a a ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，所求椭圆方程为． （Ⅱ）设，． （1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时， 设直线的方程为． 由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， ，．
2
2
2
21(1)()AB k x x ∴=+-2222
222
3612(1)(1)(31)
31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 222222222
12(1)(31)3(1)(91)(31)(31)
k k m k k k k ++-++==++ 2422
2121212
33(0)34196123696
k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤．
当且仅当，即时等号成立．当时，， 综上所述．
当最大时，面积取最大值max 1222
S AB =⨯⨯=
． 练习：
1、已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，5） C ［1，5）∪（5，+∞） D ［1，5） 答案：C 解析：直线y －kx －1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点所以，≤1且m ＞0，得m ≥1
2、椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是 （ ）A B C D
答案:A 解析:设则，两式相减得，
1212
121212121212
,1,2y y x x y y x x
m x x n y y x x y y -+-+=•=-=--+-+，所以
3、直线y =x +1与椭圆4x 2+y 2=λ(λ≠0)只有一个公共点，则λ等于（A ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
4、椭圆上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是M F 1的中点，则|ON |等于（B ） （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）
5、已知椭圆，以及椭圆内一点P (4, 2)，则以P 为中点的弦所在的直线的斜率是（B ） （A ） （B ）－
（C ）2 （D ）－2
6、直线，以椭圆的焦点为焦点作另一椭圆与直线有公共点且使所作椭圆长轴最短时，公共点坐标是（－5，4）
答案:解析:设椭圆与直线的公共点为，其长轴长欲使的值最小，需在直线上找一点使其到两定点的距离和最小
7、若直线与椭圆相交于两点，当变化时，的最大值是 答案: 解析:
8、已知椭圆的方程为，、分别为它的焦点，CD 为过的弦，则△ 的周长为16 ． 9、在椭圆内通过点且被这点所平分的弦所在的直线方程是______ __．
10、动直线（）（为参数），被椭圆所截得线段中点的轨迹方程是_________．
129
)1(2529)21
(162
2=++-y x
11、已知椭圆的两个焦点分别为，离心率
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 中点的横坐标为–，求直线l 倾斜角的取值范围
解：（Ⅰ）设椭圆方程为，由已知，，由解得a =3， ∴为所求
(Ⅱ)（点差法）设的中点为在椭圆内，且直线l 不与坐标轴平行，因此，， ∵， ∴两式相减得
121212129()9
2y y x x x x y y t
-+==--+
即 9
(,(3,)2MN k t
=-
∈-∞+∞ ∴ .。