高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.1第1课时对数讲义教案新人教A版必修1

2.2 对数函数2.2.1对数与对数运算
第1课时对数
学习
目标核心素养
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对
数计算．(重点、难点)
2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)
3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，提升数学运算素养.
1.对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
2．常用对数与自然对数,
3.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)log a1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：a x＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝log a N时，不存在N≤0的情况．
1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有()
A．log2M＝a B．log a M＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
B[∵a2＝M，∴log a M＝2，故选B.]
2．若log3x＝3，则x＝()
A．1B．3
C．9 D．27
D[∵log3x＝3，∴x＝33＝27.]
3．若log2x＝3，则x＝________.
8[∵log2x＝3.∴x＝23＝8.]
4．ln 1＝________，lg 10＝________.
01[∵log a1＝0，∴ln 1＝0，又log a a＝1，∴lg 10＝
1.]
对数的概念
(a－1)
A.
3
2≤a＜2 B.
5
4＜a＜2 C.
3
2＜a＜2或a＞2 D．2≤a≤3
(2)将下列指数式化为对数式或将对数式化为指数式．
①2－7＝
1
128；②N＝a
5(a＞0，且a≠1)；
③ln x＝2；④log a10＝2(a＞0，且a≠1)．
(1)C[由对数的定义可知
⎩⎪
⎨
⎪⎧2a－3＞0，
a－1＞0，
a－1≠1，
解得a＞
3
2且a≠2，故选C.]
(2)解：①由2－7＝
1
128得log2
1
128＝－7.
②由N＝a5得log a N＝5.
③由ln x＝2得e2＝x.
④由log a10＝2得a2＝10.
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式
.
[跟进训练]
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－
2＝19； (2)
⎝⎛⎭⎫14-2＝16； (3)log 13
27＝－3; (4)log
x 64＝－6.
[解] (1)log 31
9＝－2；(2)log 1
4
16＝－2；
(3)⎝⎛⎭⎫13-3＝27；(4)(x )－6＝64.
利用指数式与对数式的关系求值
(1)log 64x ＝－2
3； (2)log x 8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e 2＝x .
[解] (1)x ＝(64)－23＝(43
) －23＝4－2＝116.
(2)x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23)1
6＝21
2
＝ 2. (3)10x ＝100＝102，所以x ＝2.
(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2， 所以x ＝－2.
求对数式log a N (a >0，且a ≠1，N >0)的值的步骤 (1)设log a N ＝m ；
(2)将log a N ＝m 写成指数式a m ＝N ；
(3)将N 写成以a 为底的指数幂N ＝a b ，则m ＝b ，即log a N ＝b .
[跟进训练]
[解] (1)设x ＝log 9 27，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝3
2
.
利用对数的性质及对数恒等式求值
1．你能推出对数恒等式a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)吗？ 提示：因为a x ＝N ，所以x ＝log a N ，代入a x ＝N 可得a log a N ＝N .
2．若方程log a f (x )＝0，则f (x )等于多少？若方程log a f (x )＝1呢？(其中a >0且a ≠1) 提示：若log a f (x )＝0，则f (x )＝1；若log a f (x )＝1，则f (x )＝a . 【例3】 (1)设5log 5(2x －1)＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．13 C ．100
D ．±100
(2)若log 3(lg x )＝0，则x 的值等于________． 思路点拨：(1)利用对数恒等式a log a N ＝N 求解； (2)利用log a a ＝1，log a 1＝0求解．
(1)B (2)10 [(1)由5log 5(2x －1)
＝25得2x －1＝25，所以x ＝13，故选B. (2)由log 3(lg x )＝0得lg x ＝1，∴x ＝10.]
1．若本例(2)的条件改为“ln(log 3x )＝1”，则x 的值为________． 3e [由ln(log 3x )＝1得log 3x ＝e ，∴x ＝3e .] 2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x －1
2
的值． [解] ∵x ＝10，∴x －12＝10－12＝10
10
.
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a (log b c )的值，先求log b c 的值，再求log a (log b c )的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 2．性质a log a N ＝N 与log a a b ＝b 的作用
(1)a log a N ＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式． (2)log a a b ＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数．
1．核心要点：
(1)对数的概念：a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0且a ≠1)是解决指数、对数问题的有利工具． (2)对数恒等式a log a N ＝N ，其成立的条件是a >0，a ≠1，N >0.
2．数学思想：指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a N 是log a 与N 的乘积．
( )
(2)(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3. ( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．
( ) (4)在b ＝log 3(m －1)中，实数m 的取值范围是(1，＋∞)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg 1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－1
3
C ．log 39＝2与91
2
＝3 D ．log 55＝1与51＝5
C [C 不正确，由log 39＝2可得32＝9.] 3．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.
3 [由log 2(log x 9)＝1可知log x 9＝2，即x 2＝9，∴x ＝3(x ＝－3舍去)．] 4．求下列各式中的x 值： (1)log x 27＝3
2；
(2)log 2 x ＝－2
3；
(3)x ＝log 271
9
；
(4)x ＝log 12
16.
[解] (1)由log x 27＝3
2，可得x 32＝27，
∴x ＝2723＝(33)23
＝32＝9.
(2)由log 2x ＝－2
3，可得x ＝2－23，
∴x ＝⎝⎛⎭⎫122
3＝314＝3
22.
(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝1
9，
∴33x ＝3－2，∴x ＝－2
3
.
(4)由x ＝log 1
216，可得⎝⎛⎭⎫12x
＝16， ∴2－x ＝24，∴x ＝－4.。