着色

c (G)≤Δ(G)+1
顶点着色
定理:设G是连通图。假定G既不是完全图又不是
奇圈，则 c ≤Δ
一个着色算法:Welsh-Powell算法
（1）将图G的节点按度数递减排列；
（2）对第一个节点及其不邻接的节点着第 一个颜色；
（3）对常未着色的第一个及其不邻接的节 点着第二个颜色；续行此法， 直到全部节 点着色完为止。
常 k-边着色的最小 k 值称为 G 的边色数，记为
c ’(G), 简记为c ’。
若图 G 存在一个正常 k-边着色，则称 G 是 k-边可 着色的。
若φ为图G 的边着色，e为G的边，我们也称φ(e)为边 e 的着色或边 e 着φ(e) 色。
边着色
下图中的 (a), (b) 表达了一个图的两个 3-边着色。图中 边上的数字为该边的着色，其中 (b) 为正常 3-边着色，
独立集
定义： 设图G=(V, E)， I 是V的一个子集， 若I中的任意两点都不相邻，称I是G的独立 集。 如I以外的任意点加入I中， 都使得I不 是独立集， 则称I是极大独立集。
点染色的问题就是把V中的点分成若干个点 不交的独立集。
点覆盖集：设G=(V,E)， V‘是V的一个子集. 若E中的任何一条边都和V’中的某个顶点相 关联， 我们称V’是G的点覆盖集。若V’中 的任何真子集都不是G的点覆盖， 则V’是G 的极小点覆盖
边着色
映射
设A, B是两个集合，φ是A到B的一个映射，记为
φ：A→B，对 A' A, B' B
记 ( A') {(a) | a A'} 1(B') { x | ( x) B'}
特别地当 B’＝{b} 时，φ-1(B’)也记为φ -1(b)。
边着色
定义：给定图G =(V,E),称映射φ：E → {1,2,…, k} 为 G 的一个k-边着色，简称边着色，称 {1,2,…, k} 为 色集。若φ为G 的边着色且"e’,e’’ ∈E当e’ 与e’’相邻 时，φ(e’) ≠ φ(e’’) ，则称该着色是正常的。图 G 的正
G是有边的两分图的充要条件是χ=2
，所以χ（G）>= 存在χ（G）=2，
G是无边图的充要条件是χ=1
充分性：将颜色分
G)| 邻
G是完全图的充要条件是χ=|V(G)|
了
，这两类为全点点 割。且类中的点不 所以为……
全 1
Χ(轮）=3 （轮的顶点数是奇数）； 4（否
，
则）
顶点着色
定理:对任意的图G 均有 c ≤Δ+1 即：对任意的G，一定可以Δ+1正常
数为4，这对应一个四课时 y1
的课表。
x2
y2
y3
因偶图 G 的边色数为△(G)，所以排课表问题可
归纳为：对给定的偶图 G =(V1, V2, E)，如何对 G 用 △(G) 种色进行正常边着色？
着色、匹配
求解方法如下：
(1) 假定| V1|≥ | V2| , 加点扩充 V2 为 V2* , 使 | V1|= |
边着色
任取Km,n中两条邻边 xi yj 和 xi yk, j≠k 。若φ(xi yj) = φ(xi
yk), 则 i＋n j = i＋n k, 从而 j＝k，矛盾。所以φ(xi yj)
≠φ(xi yk)。同理，对邻边 xi yj 和 xk yj,也有φ(xi yj) ≠φ(xk yj)。
以上表明φ是正常边着色。从而
设 dG(u) = k, G 中与 u 相邻的点为 v1,v2,…,vk。因
| {φ(v1), …, φ(vk)} | ≤k ＜ Δ(G)+1, 所以存在 j ∈ {1,2,…,Δ(G)+1} 满足 j not∈ {φ(v1), …, φ(vk)}, 令φ (u)=j, 则 φ 被扩充为 G 的一个(Δ(G)+1)-着色，所以
边着色
四色问题 1840年数学家麦比乌斯（Möbius）提出一个猜想： 任何平面地图，总可以把它的一个国家用四种颜色 的一种着染，使相邻国家着不同色。这就是著名的 四色猜想。
1890年希五德（Heawood） 指出“4换为5”猜想成立。
1976年两位数学家在三台百 万次的电子计算机上花了 1200小时证明了猜想成立。 猜想成为定理。
若d(u)＝5，设与u邻接的结点按逆时针排列为v1、v2、v3 、v4、v5，它们分别着色C1、C2、C3、C4、C5，如图所 示。
令H为G－{u}中所有着C1和C3色的结点集合，F 为G－{u}中所有着C2和C4色的结点集合。
(1)若v1与v3属于集合H所导出子图的两个不同的 连通分支，将v1所在子图中的C1、C3两种颜色 对调，并不影响图G－{u}的正常着色，然后在 u上着C1色，即得图G是可—5着色的。
若图 G 存在一个正常 k-着色，则称 G 是 k-可着色 的。设是 G 的一个着色，u 为 G 中的点，我们也 称 χ(u)为 u的着色或 u 着 χ(u) 色。
顶点着色
(a)
(b)
上图的 (a),(b) 表达了一个图的两个3-着色，其 中(b)为正常的，易知该图有 χ ＝3。
下列命题成立：
必要性：由于两分
-----(Km, n)≤ n
≤ Δ。从而可得
c'(K m,n) = Δ 定理：若G图是偶c图' =，Δ则
着色
定理：若G是简单图，则
c ' = Δ或 c ' = Δ+1
例：
(i) 设图G = (V, E) 是n 阶简单图，证明若 n=2k+1且
边数m>kΔ, 则c’= Δ+1。 (ii) 证明若n是大于1的奇数，则c ’(Kn) =Δ+1。
定理：设图G中无孤立点。V’是G的点覆盖 当且仅当V-V’为G的点独立集。
证明:对图G 的点数υ用归纳法。 当υ＝1 时。 χ =1，Δ≥0，满足 χ ≤Δ+1。 对υ≥2 的图G , 取 u∈V(G), 设 G’＝G-u 。由归纳假设 χ (G’)≤Δ(G’)+1，从而存在 G’ 的 (Δ(G’)+1)-着色φ 。因 Δ(G’)≤Δ(G), 所以 φ 也是 G’ 的(Δ(G)+1)-着色。
V2*| 。
△正
(2) 找出V1中最小度点与V2中最小度点，然后连成
牙利 后去
边。如此直至各点的度均等于△ (G)，记所得之图
为G*。由前面的章节的讨论知 G* 存在完美匹配。
偶数 构造
(3) 用匈牙利算法找出 G* 的一个完美匹配 M1，再
找 G*- M1 的完美匹配 M2，如此继续可求得 G* 的
c ' ≥Δ
其中Δ 是图中度数最大的顶点的度数。
边着色
例：给出K m,n的一个正常Δ-边着色，由此证明
c’(Km,n)= Δ。
证明 ：设 Km,n的互补顶点子集为X = {x0, x1, …, x m-1} 和 Y = { y0, y1, …, y n-1}。假定 m≤n, 此时 Δ＝n。令
φ：E(Km,n) → {0, 2, …, n-1} 使 " xi yj∈E(Km,n)φ(xiyj) = (i+j) (modn)= i＋n j。
顶点着色
Welsh-Powell算法
其余步骤同算法1。
用最大度数优先算法对上例中的图着色，结果
如下图所示。V3
V1
V6
V5
V2
V4
定理：任意平面图G＝<V，E>都是可—5着色的。
（对偶的五色定理）
证明对结点数用归纳法。
当|V|≤5时，结论显然成立。
假设|V|＝k时结论成立。当|V|＝k＋1时，由于连通平面图 中必有一个结点u使得d(u)≤5，在G删去结点u之后，对G－ {u}结论成立。将u加入到G－{u}中，若d(u)＜5，显然对u 可正常着色，得到一个最多是可—5着色的图G。
建模：将教师与班级作为点，若教师 xi 需给 yj 上 kij节课，则在 xi 与 yj 间连 kij 条边，得偶图G。这样， 一个课时一一对应于G中－个匹配，而一个匹配一 一对应于一种正常边着色的着同色的一组边。
着色
例如，取n=2，m=3，并假
x1
定x1需给 y1上两节课；x1,x2 需给 y2,y3各上一节课的偶图 模型如图所示。此图的边色
着色
证明 (i) 因G是简单图，由边着色的定义可知，对G 的任一 正常边着色，着同色的边最多
n 1 2
=
(2k
+ 1) 1
2
=
k条。所以若
c ' = Δ，则G 的边数最多
kΔ，即 m≤kΔ，这与已知 m>kΔ矛盾，故 c >Δ'。再由定理
14可得=Δ+1。
(ii) 因n是奇数，可设n =2k+1。对Kn，Δ= n－1= 2k并且
m= n(n 1) = (2k + 1)2k = k(2k+1)> k (2k) = kΔ
2
2
所以由(i)可知
c
'
(KLeabharlann Baidu)
=Δ+1。
着色
前面定理表明简单图的边色数仅两种情况，或为Δ，或为Δ＋1。
我们将c’ =Δ的简单图称为第一类图，否则为第二类图。易知，
路、树、简单偶图为第一类图；奇图、n为奇数时的Kn为第二 类图。尽管简单图的边色数仅两类，但判断一个什么样的简单 图是第一类图，这个问题还未完全解决。
(2)若v1与v3属于集合H所导出子图的同一连通分 支，那么从v1到v3必有一条路P，P上各个结点都 是C1或C3色，路P与边[u，v1]、[u，v3]一起构成 一回路L，它包围了v2或v4，但不能同时包围v2和 v4，故v2和v4分属F所导出子图的两个不同连通分 支中。因此在包含v2的连通分支中将C2和C4对调 ，不影响G－{u}的正常着色，那样，v2和v4着C4 色，对u着C2色，得到五色图。
一组互不相交的完美匹配 M1，M2，…, 。
(4) 取 M1，M2，…, 中原来图的边即为所求。
着色、匹配
例: 求右图G 的一个颜色数 达到最小的正常边着色。
解 c(G) D(G) =3
扩充 G 为 G*，见图(a)。 G*的一个正常边着色也见(a)。
x1
x2 x3
x4
x1 y1
x1
x2 x3 x4
前面定理是Vizing(1964)和Gupta(1966)各自独立得出的 一个重要定理。实际上Vizing还证明一个比它更一般的 定理。
定理15 （Vizing定理）设无环图G 的最大重数为 µ，
则 c ' ≤Δ+ µ
着色
例3 下图是一个边色数达到Δ+µ的图，其中 Δ=4, µ=2。
着色、匹配、平面图
(a)
(b)
易知该图有 c ' = 3
边着色
设 A 是一个集合。A 的一个子集族 {A1, A2, …, Ak} 若满足当 i ≠j 时，Ai∩Aj = Φ, 并且A1∪A2∪… ∪Ak = A，我们则称 {A1, A2, …, Ak} 为 A 的一个分划。
边着色问题，也是边集的分划问题。 很明显任何正常边着色中和任一顶点关联的各边必 须着不同色，由此推知
边着色的应用—排课表问题
问题：设有 m 位教师 x1, x2,…, xm和 n 个班级 y1, y2,…, yn。已知在一周内 xi 需给 yj 上 kij 节课，若将 上一节课所用的时间称为一个课时。问如何制订一 张课时数尽可能少的课表？假定在同一课时内一位 教师只能上一个班，一个班只能一个教师上。
y2
y3
x2 x3 x4
y1
y2
y3
y4
(a)
y1
y2
y3
G 的着色
顶点着色
顶点着色
定义:给定图G = (V, E)，称映射φ:V→{1,2,…,k}为 G 的一个k –点着色，简称着色，称{1,2,…, k}为色集。 若对 G 中任意两个相邻顶点u和v均满足 φ (u)≠ φ (v), 则称该着色为正常的。图G 的正常 k–着色的最 小 k 值称为G 的色数，记为 χ(G), 简记为 χ 。