2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练22含解析

随堂巩固训练(22)

1. 做一个容积为27 cm 3的方底有盖水箱，高为__3__cm 时材料最省．解析：当这个水箱是正方体时，材料最省，即高为＝3(cm)．

327 2. 在Rt △ABC 中，斜边BC 的长为定值a ，绕直角边AC 旋转一周，得到一个圆锥，

当圆锥的体积最大时，tanB ＝____．22

解析：设AB ＝r ，AC ＝h ，则r 2＝a 2－h 2，所以V ＝πr 2h ＝π(a 2－h 2)h ，V ′(h)＝π(a 2－131313

3h 2)，令V′(h)＝0，得h ＝，所以当h ＝时，圆锥的体积取最大值，此时r ＝a ，所以tanB ＝a 3a 3

23＝.h r 22

3. 在半径为R 的圆内作内接等腰三角形，当底边上的高为__R__时三角形的面积最32

大．

解析：如图，设∠OBC ＝θ，则0<θ<，OD ＝Rsinθ，BD ＝Rcosθ，所以△ABC π

2

的面积为S ＝Rcosθ(R ＋Rsinθ)＝R 2cosθ＋R 2sinθcosθ，所以S′＝－R 2sinθ＋R 2(cos 2θ－

sin 2θ)＝－R 2(sin θ＋1)·(2sin θ－1)．令S′＝0，得sin θ＝－1或sin θ＝.因为θ∈，12(0，π2

)

所以θ＝.当0<θ<时，S′>0；当<θ<时，S′<0，所以当θ＝时，△ABC 的面积最大，此时底边π6π6π6π2π6

上的高OA ＋OD ＝R ＋＝R.R 232 4. 将一根长为16的绳子分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为__8__．

解析：设将绳子分成的两段长分别为x 和16－x ，面积和为y ，则y ＝

＋＝(x －(x 4)2 (16－x 4)

2 188)2＋8.因为0<x<16，所以它们的面积和的最小值为8.

5. 从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为__144__cm 3.

解析：设盒子的容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则y ＝(10－2x)(16－2x)x ＝4x 3－52x 2＋

160x(0<x<5)，所以y′＝12x 2－104x ＋160.令y′＝0，得x ＝2或x ＝(舍去)，所以y max ＝203

6×12×2＝144(cm 3)．

6. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为

2∶1，则该长方体的最大体积是__3__cm 3.

解析：设长方体的宽为x(x>0)，则长为2x ，高为＝，所以长18－4×（2x ）－4x 4

9－6x 2方体的体积为V ＝2x ×x ×＝－6x 3＋9x 2，所以V′＝－18x 2＋18x(x>0)．令9－6x 2(0<x <32

)V′>0，得函数V 的增区间为(0，1)；令V′<0，得函数V 的减区间为，所以V max ＝V(1)＝－6(1，32

)

＋9＝3. 7. 已知水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波形成的圆的面积的变化率是__25__000π__．

解析：圆面积S ＝π(vt)2＝2 500πt 2，所以S′＝5 000πt.当半径为250cm 时，t ＝5，所以S′＝5 000π×5＝25 000π.

8. 甲船以每小时20海里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北方向82海里处以每小时16海里的速度向南行驶，经过__2__小时两船的距离最近．

解析：设行驶x 小时，它们的距离为d ，则d 2＝(20x)2＋(82－16x)2＝656x 2－2 624x ＋6 724，则(d 2)′＝1 312x －2 624，令1 312x －2 624＝0，得x ＝2，所以当x ＝2时，d 2取最小值，即经过2小时甲、乙两船的距离最近．

9. 如图，在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体横梁，

则矩形面的长为__d__．(抗弯强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形63

的宽)

解析：设比例系数为k ，则抗弯强度y ＝kbh 2＝kb(d 2－b 2)＝kbd 2－kb 3，则y′＝kd 2－3kb 2，

令y′＝0，得b 2＝d 2，此时，y 取最大值，所以h 2＝d 2－b 2＝d 2－d 2＝d 2，故h ＝ d.13132363

10. 做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高应该为____cm.2033

11. 如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中OC ＝2，OA ＝3(单位：百米)．已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的笔直的路l(宽度不计)，交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N.现以O 为坐

标原点，线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF 满足

函数y ＝－x 2＋2(0<x<)，点M 到y 轴的距离记为t.

2(1) 当t ＝时，求l 所在的直线方程；23

(2) 当t 为何值时，地块OABC 在路l 不含泳池一侧的面积取到最大？

并求出最大值．

解析：(1) 由题意得M .(23，149)

因为y′＝－2x ，所以直线l 的斜率k ＝－，43

所以直线l 的方程为y －＝－，即y ＝－x ＋.14943(x －23)

43229(2) 由(1)易知直线l 的方程为y －(2－t 2)＝－2t(x －t)，即y ＝－2tx ＋t 2＋2.

令y ＝0，得x ＝；令x ＝0，得y ＝t 2＋2.12(t ＋2t )

由题意得解得2－≤t ≤1，{

12(t ＋2t

)≤2，t 2＋2≤3，)2所以S △ODN ＝×(t 2＋2)＝(t 3＋4t ＋)．1212(t ＋2t )

144t 令g(t)＝，14(t 3＋4t ＋4t

)则g′(t)＝(3t 2＋4－)＝.144t 2（t 2＋2）（3t 2－2）4t 2

令g′(t)＝0，则t ＝，63

当t ∈时，g′(t)<0；(2－2，

63

)当t ∈时，g′(t)>0，(63，1)所以当t ＝百米时，g(t)min ＝g ＝，63(63)

869所以所求面积的最大值为万平方米．(6－869)

12. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知

AB ＝AC ＝6 km ，现计划在边BC 的高AO 上一点P 处建造一个变电站．记点P 到三个村庄的距离之和为y.

(1) 设∠PBO ＝α，把y 表示成α的函数关系式；

(2) 当变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小？