小学奥数第05讲 拆分法计算分数式

第五讲 拆分法计算分数式
一、课程引入
什么是拆分？
拆分就是把一个分数写成几个分数的和或差的形式。

例如：
16115110=+ 161213
=- 学会了拆分，有时就可以不通分，也能较简便地解决复杂的分数式计算问题。

二、基本理论
理论点1
“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1
a b
⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有
1111
()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1
(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++
1111
[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

理论点2
“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11
a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ （2）
2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、例题精析
【例题1】 【题干】11111
123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】
2160
119
【解析】11111
113123234234345
7898910⎛⎫
=⨯-+-+
+
- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭119
2160
=
【例题2】 【题干】57
19
123234
8910
++
+
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．
【答案】
15
23 【解析】原式3234316
1232348910+++=
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111
28321232348910123234
8910⎛⎫⎛⎫
=⨯++++⨯+++
⎪
⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪
⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7114605=--23
15=
【例题3】
【题干】222212350133557
99101
+++
+=⨯⨯⨯⨯ ．
【答案】101
6312
【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别
变为2
2
1-，241-，261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，
所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
原式222
22
222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭
222211111111142141611001⎛⎫
=⨯++++++++
⎪----⎝⎭
11111504133557
99101⎛⎫
=
⨯+++++
⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭
1111111115014233557
99101⎡⎤
⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++
- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
11150142101⎡⎤⎛⎫=
⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯63
12101
=
【例题4】
【题干】11
1
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)
223231999
++
+
++⨯++⨯+⨯⨯+ 【答案】
1000
999
【解析】
11
211112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312
n n n n n n n n ++===⨯-++++++⨯+⨯⨯++ 原式＝11111111()()()()223344519992000⎡⎤-+-+-++-⨯⎢⎥⎣⎦＝1000999100011=-
四、随堂练习
【基础】
1.113135157
1199319951
19951997⨯+⨯+⨯++⨯+
⨯… 【答案】113135157
1199319951
19951997⨯+⨯+⨯++⨯+
⨯…
=
-+-+11131315 (1199311995119951)
1997-+-
=
-
1111997
=
19961997
2.333
(12342345)
17181920+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】原式
1111111
3[(...)]
3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 113192011139
1231819201819206840⨯⨯-=
-==
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 1.
57
1719
1155234345
891091011⨯++
+
+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（
）
【答案】
本题的重点在于计算括号内的算式：
57
1719
234345891091011++
+
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算
式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719
234345891091011++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯
111111342445351011911=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1
111113445
10112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 1111
11111111111113445
10112243546810911⎛⎫⎛⎫
=-+-++-+⨯-+-+-+
+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155=
所以原式31
1155651
55=⨯=．
2.
345
12
12452356346710111314+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【答案】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
原式222
2
345121234523456345671011121314=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称
性，可以用平方差公式：23154=⨯+，24264=⨯+，2
5374=⨯+……
原式
222
2
345121234523456345671011121314=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374
10144123452345634567
1011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=
+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1111234345456
1112134444123452345634567
1011121314⎛⎫=++++ ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫
+++++ ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 1111111223343445111212131111111234234523453456
1011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
⎛⎫+-+-++- ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111112212132411121314=-+-
⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯1175
8308616=-=
【拔高】 1.
234
50
1(12)(12)(123)(123)(1234)
(12349)(12350)
+++
+
⨯++⨯++++⨯++++++
+⨯+++
+
【答案】原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋50
12251275⨯ ＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-
11275）＝12741275
2.
234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)
++++
⨯++⨯++++⨯++++++⨯++
+ 【答案】2111(12)112=-⨯++，311
(12)(123)12123=-
+⨯+++++，……， 100
11
(1299)(12100)
129912100=
-
++
+⨯+++++++++，
所以原式
1112100=-
+++
15049150505050=-=
五、分层作业
【基础】
1.224466881010
133********⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】
原式
288181832325050(2)()()()()
3355779911=-+-+-+-+- 61014185065210453579111111=+
+++-=-=
2.
111112123122007+
++⋯+++++⋯ 【解析】
原式
11
1
12(21)3(31)
2007(20071)
22
2=+
++
+
⨯+⨯+⨯+
222
2
12233420072008=
++++
⨯⨯⨯⨯
200722008=⨯
20071004=
【巩固】
1.
22
21111112131991⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 原式
2233
98989999
(21)(21)(31)(31)
(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯
⨯
⨯
+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-
223344559898999929949
131425364999710098110050⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2.222222
2399
2131991⨯⨯⨯=---
【解析】 原式
223344
98989999
(21)(21)(31)(31)(41)(41)
(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯
⨯
⨯
+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-
2233445598989999
31425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 29999110050=⨯=
【拔高】
1.2310
1112(12)(123)(1239)(12310)----
⨯++⨯+++++
+⨯+++
+（）
【解析】
原式
23410
1()133********=-+++
+
⨯⨯⨯⨯
11111
1111336610
4555⎛⎫=--+-+-++- ⎪
⎝⎭ 11155⎛
⎫=-- ⎪
⎝⎭ 155= 2.22
22222235715
12
233478++++⨯⨯⨯⨯ 【解析】
原式222222
22
222222222132438712
233478----=+++
+⨯⨯⨯⨯ 2222222111111112233478=-
+-+-++-
2118=-6364=
六、课程小结
本节课主要讲解了分数式的拆分技巧：裂差型运算和裂和型运算，并进行相关练习。