新教材人教B版高中数学必修3精品课件：第八章 8.1.3 向量数量积的坐标运算

������1������2+������1������2 .
������12+������12 ������22+������22
方法技巧：利用数量积的坐标运算求两个向量夹角的步骤：
（1）利用坐标运算求a·b；
（2）利用|a|＝ ������12 + ������12与|b|＝ ������22 + ������22求两个向量的模；
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1.3 向量数量积的坐标运算
学习目标
1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会用数量积 判断两个向量的垂直关系. 3.体验用数量积的坐标运算解决某些简单的几何问题. 重点：向量数量积的坐标运算与度量公式. 难点：灵活运用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关问题.
（3）由cos
<
������, ������
>＝ ������∙������ ＝
|������||������|
������1������2+������1������2 直接求出cos < ������, ������ >；
������12+������12 ������22+������22
（4）在[0,π]内，由cos < ������, ������ >的值求 < ������, ������ >.
������������ ＝ ������2 − ������1 2 + ������2 − ������1 2.
3.向量的夹角的坐标运算
设向量������＝（������1，������1），������＝（������2，������2），则
cos < ������, ������ >＝|������������|∙|������������|＝
注 意：������ ∥ ������ ⇔ ������1 ������2 − ������2 ������1＝0，在 应 用 两 向 量 平 行 于垂直的充要条件时，要特别注意两者的区别，切忌 混淆.
常考题型
一、平面向量数量积的坐标运算
1.已知向量的坐标求数量积 例1 已知向量a＝（1，2），b＝（3，4）， 求a·b，（a-b）·（2a+3b）. 【解】方法一：因为a＝（1，2），b＝（3，4）， 所以a·b＝（1，2）·（3，4）＝1×3+2×4＝11， （a-b）·（2a+3b）＝2a2+a·b-3b2＝2|a|2+a·b-3|b|2 ＝2（12+22）+11-3（32+42）＝-54.
方法二：因为a＝（1，2），b＝（3，4）， 所以a·b＝11， 因为a-b＝（1，2）-（3，4）＝（-2，-2）， 2a+3b＝2（1，2）+3（3，4） ＝（2×1+3×3，2×2+3×4）＝（11，16）， 所以（a-b）·（2a+3b）＝（-2，-2）·（11，16） ＝-2×11+（-2）×16＝-54.
二、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
设 ������＝（������1，������1），������＝（������2，������2）， 因 为 ������ ⊥ ������ 的 充要条件是������ · ������＝0，因此
������1 ������2＝0.
◆数量积运算的途径及注意点 （1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算 法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各 向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用 数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. （2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只 需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.
知识梳理
一、向量的坐标与向量的数量积
1.向量数量积的坐标运算 已知向量������＝（������1，������1），������＝（������2，������2），则 ������ · ������ ＝ ������1������2 + ������1������2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
特别提醒： 公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2+y1y2都是用来求两 向量的数量积的，没有本质区别，可相互推导. 若已知两向量的模与夹角，则用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 求解； 若已知两向量的坐标，则用公式a·b＝x1x2+y1y2求解.
2.向量的长度（模）的坐标运算 若������＝（������，������），则 ������ 2＝������ ∙ ������ = ������2 + ������2，故可得 |������|＝ ������2 + ������2 .
利用向量的数量积，同样可以方便地得出平面直角 坐标系中两点之间的距离公式.
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 如 果 ������（������1，������1） ， ������（������2，������2），则������������＝（������2 − ������1，������2 − ������1），因此
推导：设������＝（������1，������1），������＝（������2，������2），由向量坐标的 定义可知，存在单位正交基底{e1，e2}，使得
������＝������1������1 + ������1������2，������＝������2������1 + ������2������2， 因 此 ������ · ������＝（������1������1 + ������1������2） · （������2������1 + ������2������2）＝������1������2������1 · ������1 + ������1������2������1 · ������2 + ������1������2������2 · ������1 + ������1������2������2 · ������2＝������1������2 + ������1������2.