《中学数学研究》课程教学大纲

中学数学研究课程教学大纲
一、课程概况
所属专业: 中学数学研究开课单位：数学计算机科学学院
课程类型: 专业教育课程课程代码: 07411180
开课学期: 6 学分： 3
学时：51 核心课程: 否
拟使用教材：
郭要红，戴普庆. 中学数学研究. 安徽大学出版社，1998年.
国内(外)现有教材：
葛军，涂荣豹. 初等数学研究教程. 江苏教育出版社，1999年.
学习参考资料
1.专著教材类
梁绍鸿. 初等数学复习及研究. 人民教育出版社，1951年.
2.报纸期刊类
数学通报. 中国数学会，北京师范大学.
American Mathematics Monthly. 美国数学会
3.网络资源类
Crux Mathematicorum.http://cms.math.ca/crux/
二、课程描述
初等数学是既古老又充满生机与活力的数学，是现代数学的生长点与渗透窗. 任何复杂深奥的数学新领域都是在某些相对简单和基本的旧理论的基础上发展起来的，在旧理论中可以找到新理论的生长点. 初等数学是整个数学中最基本最简单最贴近生活受实践考验最多的部分，在初等数学中集聚了很多生长点，并呈日益增多之趋势. 生长点往往同时又是渗透窗. 初等数学可以从这里往现代数学方向生长，现代数学可以从这里向中学教育渗透. 中学数学研究课程主要内容包括三个方面：一、用现代数学、古典高等数学考察传统的中学数学，理解“中学
数学”的理论基础；二、学习处理中学数学问题与现代数学问题在思想方法上所共同遵循的基本规律；三、探讨与延伸一些中学数学问题.
三、课程目标
掌握中学数学研究的基础知识、分析方法.
提高发现和提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力，形成中学数学研究的基本能力.
提高中学数学研究的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

具有广阔的数学视野，对数学的科学价值、应用价值和文化价值有较高的认识，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

四、教学要求
以问题为导向，以案例为载体，采用探究式、讨论式、辩论式、小组合作学习等丰富多彩的教学形式，使学生具有广阔的数学视野，提高对数学的科学价值、应用价值和文化价值的认识，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观；掌握中学数学研究的基础知识、分析方法；提高发现和提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力，形成中学数学研究的基本能力；提高中学数学研究的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

五、考核方式及要求
为实现课程教学目标，本门课程考核方式及要求为：出勤率占10%，点到不少于3次，其中缺席1次，按无成绩计算；随堂测验1次，测验成绩按20%折算后计入总成绩；课程作业1次，按批改成绩20%折算后计入总成绩；教师随堂检查学生课堂笔记记录情况并打分，按10%计入总成绩；期末考试分卷面考试占总成绩的40%.
注：授课教师应紧扣课程目标，把课程考核贯穿于教学的全过程，选择能够
全面衡量学生学习效果的考核方式，对学生的学习效果进行有效评价.
六、课程内容
第一章：解析式
（授课时间：第六学期第二周）
教学目标：掌握解析式、多项式、分式、根式、指数式与代数式等知识；能对多项式的因式分解作出判断、分解；掌握多项式的有理根的求法；能化
分式为部分分式；能对含有根式的代数式进行恒等变形；能探索指数
式与代数式的各种定义的逻辑过程；理解解析式研究的一些方法与最
新研究进展.
教学重点：多项式的因式分解，多项式的有理根求法。

教学难点：有理系数多项式的因式分解.
学时：课堂教学4学时，课外自主学习时间不少于3学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）解析式
（2）多项式
（3）分式
（4）根式
（5）指数式与代数式
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第51页4（1）、（2）、（3）、（4），5（1）、（2），6（1）、（3），12，19（1）、（2）；第94页5，6. 并在下周课前提交.
第二章：方程与方程组
（授课时间：第六学期第三周）
教学目标：掌握方程及其同解性、代数方程、超越方程、不定方程、函数方程等知识；能利用根与系数的关系、根的变换、根的性质、特殊形式的高
次方程、分式方程的基本解法、无理方程的基本解法解决相关问题；
掌握超越方程的解法；掌握不定方程的基本解法；掌握函数方程及其
解法；理解方程与方程组研究的方法与一些最新研究.
教学重点：特殊形式的高次方程、不定方程的基本解法、函数方程及其解法。

教学难点：不定方程的基本解法.
学时：课堂教学8学时，课外自主学习时间不少于5学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）方程及其同解性：方程，方程组，方程的同解性（失解、增解与同解，方程两边作恒等变换、方程两边加上同一解析式、将一个方程
化为几个方程、方程两边乘以同一解析式、方程两边同此乘方等同解
方程基本定理）.
（2）代数方程. 整式方程有关知识（整式方程的定义、根与系数的
关系、倍根变换、负根变换、根的平移变换、根的倒数变换等根的变
换、实系数一元n此代数方程根的性质、有理系数一元n次方程根的
性质等根的性质、倒数方程、二项方程、三次方程等特殊形式的高次
方程），分式方程，无理方程.
（3）超越方程. 指数方程，对数方程，三角方程，
（4）不定方程. 不定方程（组），一次不定方程，其他不定方程.
（5）函数方程. 函数方程，函数方程的解法，函数方程与举办初等
函数.
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第175页1、2、8、11；第199页2（1）、（3）、（5），5（2）、（4）、（6），第241页5、7、10. 并在下周课前提交.
第三章：不等式
（授课时间：第六学期第四、五周）
教学目标：掌握不等式证明的常用方法；掌握算术——几何平均不等式及其他均值不等式（推广）；掌握著名代数不等式；理解不等式研究的一些进展. 教学重点：不等式著名的常用证明方法，算术——几何不等式，著名代数不等式.教学难点：著名不等式的推广.
学时：课堂教学8学时，课外自主学习时间不少于5学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）不等式及其证明. 不等式，证明不等式的常用方法（比较法、分析法与综合法、反证法、数学归纳法、增量方法、函数方法）.
（2）算术——几何平均不等式.
（3）其他平均值不等式. 海伦平均、对数平均与指数、算术平均与
几何平均的差与商，加权平均例说.
（4）著名代数不等式. 柯西不等式，赫尔德不等式，康托洛夫不等
式，契比雪夫不等式，明可夫斯基不等式，排序不等式，贝努利不等
式，Mitrinovic-Djokovic不等式.
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第254页1、3、5、7；第288页10、12、14、16. 并在下周课前提交.
第四章：排列、组合与二项式定理
（授课时间：第六学期第六周）
教学目标：掌握两个计数的基本原理、排列、组合与二项式定理等知识；；理解排列、组合与二项式定理研究的方法与一些最新进展.
教学重点：圆形排列、可重复的排列、二项式定理.
教学难点：二项式定理的若干推广.
学时：课堂教学4学时，课外自主学习时间不少于3学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）两个计数的基本原理. 乘法原理与加法原理.
（2）排列. 相异元素的不重复排列，相异元素的环形排列（有向环
形排列、无向环形排列、相异元素的重复排列），不尽相异元素的排列
（不仅相异元素的全排列、不仅相异元素的选排列）.
（3）组合. 相异元素的组合（相异元素不重复的组合、相异元素允
许重复的组合），不仅相异元素的组合.
（4）二项式定理.
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第301页13、15、17；第317页14、16、18、20. 并在下周课前提交.
第五章：数列
（授课时间：第六学期第七周）
教学目标：掌握数列、高阶等差数列、线性递推数列、数列的母函数等知识；理解数列、高阶等差数列、线性递推数列、数列的母函数研究的方法与
一些最新进展.
教学重点：数列、高阶等差数列、线性递推数列、数列的母函数.
教学难点：数列的母函数.
学时：课堂教学4学时，课外自主学习时间不少于3学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）数列. 序列、数列、等差数列与等比数列、调和数列、周期数列.
（2）高阶等差数列. 数列的差分，高阶等差数列，混合数列.
（3）线性递推数列. 有关概念，通项公式，前n项和公式.
（4）数列的母函数.
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第337页13、15、17；第353页2、4、6. 并在下周课前提交.
第六章：三角形
（授课时间：第六学期第八周）
教学目标：掌握三角形的面积，梅内劳斯定理与塞瓦定理，三角形的巧合点、三角形的伴随三角形，施泰纳——莱默斯定理，莫莱定理等知识；理解
三角形研究的方法与一些最新进展.
教学重点：三角形的面积，梅内劳斯定理与塞瓦定理，三角形的巧合点、三角形的伴随三角形，施泰纳——莱默斯定理，莫莱定理.
教学难点：莫莱定理.
学时：课堂教学4学时，课外自主学习时间不少于3学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）三角形的面积.
（2）梅内劳斯定理与塞瓦定理.
（3）三角形的巧合点、三角形的伴随三角形.
（4）施泰纳——莱默斯定理.
（5）莫莱定理.
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第363页7，第374页3、5，第387页4、6，教材第398页6，第409页3. 并在下周课前提交.
第七章：圆
（授课时间：第六学期第九周）
教学目标：掌握圆幂定理，托勒密定理，蝴蝶定理，双圆四边形问题，与圆有关的共点、共线问题等知识；理解圆的研究方法与一些最新进展.
教学重点：圆幂定理，托勒密定理，蝴蝶定理，双圆四边形问题，与圆有关的共点、共线问题.
教学难点：双圆四边形问题..
学时：课堂教学4学时，课外自主学习时间不少于3学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）圆幂定理.
（2）托勒密定理.
（3）蝴蝶定理.
（4）双圆四边形问题.
（5）与圆有关的共点、共线问题.
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第414页7、8，第421页6、8，第431页5、6，教材第450页3、4. 并在下周课前提交.
第八章：几何中的不等
（授课时间：第六学期第十、十一周）
教学目标：掌握最大、最小问题，厄尔多斯不等式，几类几何三角不等式，Neuberg-pedoe不等式等知识；理解几何不等式的研究方法与一些最新
进展.
教学重点：最大、最小问题，厄尔多斯不等式，几类几何三角不等式，Neuberg-pedoe不等式.
教学难点：Neuberg-pedoe不等式.
学时：课堂教学6学时，课外自主学习时间不少于4学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）最大、最小问题.
（2）厄尔多斯不等式.
（3）几类几何三角不等式.
（4）Neuberg-pedoe不等式
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第469页10，第481页2、3，第524页10，教材第551页
7. 并在下周课前提交.
第九章：几何变换
（授课时间：第六学期第十一、十二周）
教学目标：掌握变换与变换群，合同变换，相似变换、反演变换等知识；理解几何变换的研究方法与一些最新进展.
教学重点：变换与变换群，合同变换，相似变换、反演变换.
教学难点：反演变换.
学时：课堂教学3学时，课外自主学习时间不少于2学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）变换与变换群.
（2）合同变换.
（3）相似变换.
（4）反演变换
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第568页4、7，第578页7、8，第586页7、8. 并在下周课前提交.
第十章：几何变换
（授课时间：第六学期第十二、十三周）
教学目标：掌握纯几何法、代数法、解析法、向量法、三角法等证明几何问题的方法；理解几何研究的一些最新进展.
教学重点：几何法、代数法、解析法、向量法、三角法.
教学难点：代数法.
学时：课堂教学6学时，课外自主学习时间不少于4学时.
教学方法：讲解法、启发探究法.
主要内容：（1）纯几何法.
（2）代数法.
（3）三角法.
（4）解析法.
学习方法：小组讨论、自主学习.
课后作业：完成教材第614页11、19，第635页11、17，第645页11、12，第650页3、9. 并在下周课前提交.
七、课程内容调整说明
课程内容与最新期刊研究文献适度结合，适度调整.。