数学选修-3学案：计数原理含答案

第一章计数原理

1.1基本计数原理

课时目标1.通过实例，理解掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会利用两个原理解决一些简单的实际问题．

1．分类加法计数原理

做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________________种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________________种不同的方法．

3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是________问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是________问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事．

一、选择题

1．从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有()

A．12种B．19种C．32种D．60种

2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、可亮绿灯、可不亮灯，则共可以出的不同信号有()

A．25种B．52种C．35种D．53种

3．二年级(1)班有学生56人，其中男生38人，从中选取1名男生和1名女生作代表参加学校组织的社会调查团，则选取代表的方法种数为()

A．94 B．2 128 C．684 D．56

4．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，…，9}且P Q，把满足上述条件的一对有序整数(x，y)作为一个点，则这样的点的个数是()

A．9 B．14 C．15 D．21

5．有4名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则这4名高中毕业生报名的方案数为()

A．12 B．7 C．34D．43

6．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为() A．14 B．16 C．20 D．48

二、填空题

7．在由0,1,3,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数共有________个．8．将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为________．

9．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有

4人，从中选3人每人做一道工序，则选法共有________种．

三、解答题

10．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，现要从中选出会英语和日语的各一人，共有多少种不同的选法？

11．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数？

能力提升

12．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是( )

A ．56

B ．65

C.5×6×5×4×3×22

D ．6×5×4×3×2 13．书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有6本不同的语文书，第三层有5本不同的英语书．

(1)从这些书中任取1本，有多少种不同的取法？

(2)从这些书中任取1本数学书，1本语文书，1本英语书共3本书的不同的取法有多少种？

(3)从这些书中任取3本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？

用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重、不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，可以“先分类后分步”或“先分步后分类”．

第一章计数原理

1．1基本计数原理

答案

知识梳理

1．m1＋m2＋…＋m n

2．m1×m2×…×m n

3．分类分步

作业设计

1．B[从甲地到乙地有两类方案：甲地直达乙地，甲地经丙地到乙地，共有4＋3×5＝19(种)方法．]

2．C[一个窗有3种可能情况(红、绿、不亮)，每个窗出现一种情况的方法种数为3×3×3×3×3＝35(种)，即为表示的不同信号．]

3．C[男生为38人，女生为18人，第1步从男生38人中任选1人，有38种不同的选法；第二步从女生18人中任选1人，有18种不同的选法．只有上述两步完成后，才能完成从男生中和女生中各选1名代表这件事，根据分步乘法计数原理共有38×18＝684(种)选取代表的方法．]

4．B[当x＝2时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共7个点；

当x＝y时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共7个点．

∴这样的点共有7＋7＝14(个)．]

5．C[4名高中毕业生报考3所大学，可分4步，每步有3种选择，则这4名高中毕业生报名的方案数为3×3×3×3＝34.]

6．B[按题意分成两类：

第一类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人出自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理知有2×6＝12(种)情况；

第二类：3人全来自其余4家企业，有4种情况．

综上可知，共有N＝12＋4＝16(种)情况．]

7．10

解析先考虑个位和千位上的数，个位数字是0的有3×2×1＝6(个)，个位数字是5的有2×2×1＝4(个)，所以共有10个．

8．120

解析如右图，若先染A有5种色可选，B有4种色可选，C有3种色可选，D有2种色可选，则不同染色方法共有5×4×3×2＝120(种)．

9．120