专题23 三角函数(基础测评卷)高一数学单元复习(人教A版2019必修第一册)含答案

章末检测（五) 三角函数 基础卷
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2020·四川成都外国语学校高一开学考试（理））若1sin 44
p a æ
ö
+
=ç÷è
ø，则sin 2a =（ ）A ．
78
B ．78
-
C ．
34
D ．34
-
【答案】B
【解析】设4
b p
a =+
，则1sin 4b =
，4
p
a b =-，故27sin 2sin 2cos 22sin 148p a b b b æ
ö=-=-=-=-ç÷è
ø.故选：B
2．（2020·浙江绍兴一中高三）若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2p éù
êúëû
上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值（ ）．A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关
【答案】B
【解析】由题意22()cos sin sin sin 1f x x a x b x a x b =++=-+++，
因为0,
2x p éù
Îêúëû
，令sin [0,1]t x =Î，则()()2
2
2
11[0,1]24a a
h t t at b t b t æö=-+++=--+++Îç÷èø
，
【答案】C
【解析】q 是第二象限角，即22,2
k k k Z p
p q p p +<<+Î，4
2
2
k k p
q
p
p p +
<
<+
，
2
q
在第一、
三象限，
又1cos
022q
=-<，∴2q 是第三象限角，∴23sin 1cos 222
q q =--=-，
∴
22
2
sin cos 2sin cos
1sin 22222cos
1cos 2cos 2sin 2
22
q
q q q
q q
q q q
+--=
+-+cos sin
12
22
22
2cos
2sin
2
2
q q
q
q
-=
=
=-．故选：C ．
5．（2020·山西高一期中）函数()cos 26f x x p æ
ö
=+
ç÷è
ø
在区间[0,]p 上的零点个数为（ ）A ．0B ．3C ．1
D ．2
【答案】D
【解析】令()cos 206f x x p æö=+
=ç÷
è
ø
，解得2()6
2
x k k Z p p p +=+Î，即()6
2
k x k Z p p =+Î.∵[0,]x p Î，∴0k =，6
x p
=
；1k =，2
3
x p =
.故选D.6．（2020·全国高一课时练习）如果1|cos |5
q =
，
532p q p <<，那么sin 2q
的值为（ ）A ．10
5
-
B ．
105C ．155
-
D ．
155
【答案】C
【解析】由
532p
q p <<可知q 是第二象限角，1cos 5
q \=-，
53422p q p <<Q
，2q \为第三象限角，1cos 15sin 225
q q -\=-=-.故选：C 7．（2020·湖南高二期末（理））已知函数()()2sin 210()6f x x p w w =-->在区间,124p p éù
êúëû
内单调
递增，则w 的最大值是（ ）
A ．
1
2
B ．
32
C ．
23
D ．
43
【答案】D
【解析】令22,2,622x k k k Z p
p p w p p éù-
Î-++Îêúëû，又函数在,124x p p éù
Îêúëû
单增，故有2662622
2k k k Z p p
p p w pw p p p -+ïì-³ïïÎí
ï-£î
+，，解得212,443k k Z k w w ³-+ìïÎí£+ïî，又0>w ，当0k =时w 取到最大值4
3
故选：D
8．（2020·重庆市育才中学高一月考）已知tan 2tan A B =，()1
sin 4A B +=
，则()sin A B -=（ ）A ．
13
B ．
14
C ．
112
D ．112
-
【答案】C
【解析】因为tan 2tan A B =，即
sin sin 2cos cos A B
A B
=，所以sin cos 2sin cos A B B A =，因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=
，即1
3cos sin 4
A B =，解得11
cos sin ,sin cos 126
A B A B =
=，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -，
所以()111
sin 61212
A B -=
-=.故选：C 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．（2020·海南临高二中高二期末）下列结论正确的是（ ）A ．76
p
-
是第三象限角B ．若圆心角为
3
p
的扇形的弧长为p ，则该扇形面积为
32
p C ．若角a 的终边过点()3,4P -，则3cos 5
a =-D ．若角a 为锐角，则角2a 为钝角【答案】BC 【解析】选项A ：76
p -
终边与56p
相同，为第二象限角，所以A 不正确；
选项B ：设扇形的半径为,
,33
r r r p
p =\=，
扇形面积为
13322
p
p ´´=，所以B 正确；选项C ：角a 的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，3
cos 5
a =-
，所以C 正确； 选项D ：角a 为锐角时，0<<
,02
p
a a p <<，所以D 不正确，故选:BC
2．（2020·山东高三其他）若将函数()cos 212f x x p æ
ö
=+
ç÷è
ø
的图象向左平移
8
p
个单位长度，得到函数
()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．()g x 的最小正周期为p
B ．()g x 在区间0,
2p éù
êúëû
上单调递减
C ．12
x p
=
不是函数()g x 图象的对称轴
D ．()g x 在,66p p éù
-
êúëû
上的最小值为12-【答案】ACD
【解析】()cos 2cos 28123g x x x p p p éùæ
öæö=+
+=+ç÷ç÷êú
è
øè
ø
ëû
．()g x 的最小正周期为p ，选项A 正确；当0,2x p éùÎêúëû
时，42,333x p p p éù+Îêúëû 时，故()g x 在0,2p éù
êúëû上有增有减，选项B 错误；012g p æö=ç÷èø，故12
x p
=
不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；
当,66x p p éù
Î-
êúëû
时，220,33x p p éù+Îêúëû，且当2233x p p +=，即6x p =时，()g x 取最小值12-，D
正确．故选：ACD
3．（2020·江苏海安高级中学高二期末）关于函数()sin cos f x x x =+()x R Î，如下结论中正确
的是（ ）．
A ．函数()f x 的周期是
2
p
B ．函数()f x 的值域是0,2éùëû
C ．函数()f x 的图象关于直线x p =对称
D ．函数()f x 在3,24p p æö
ç
֏
ø
上递增【答案】ACD
【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+，
∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x p p p æö
æöæ
ö+
=+++=+-=+=ç÷ç÷ç÷è
øèøè
ø，
【解析】由函数图像可知：
22362T p p
p =-=，则222T p p w p
===，所以不选A,当2536212
x p
p p +
==时，1y =-\()5322122k k Z p p j p ´+=+Î，解得：()223k k j p p =+ÎZ ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x p p p p p p æ
öæöæöæö=+
+=++=+=-ç÷ç÷ç÷ç÷è
øèøèøèø
.而5cos 2cos(2)66
x x p p
æ
ö
+
=--ç÷è
ø，故选：BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2016·上海市控江中学高三开学考试）函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是p ，则实数
a =________
【答案】±1
【解析】1()sin cos =sin 22
f x ax ax ax =，周期
22T a p p ==，解得1a =±.故答案为：±1
14．（2020·广东高二期中）已知角a 的终边与单位圆交于点(34
55，-)，则3cos(2)2
p
a +
=__________.【答案】2425
-
【解析】因为角a 的终边与单位圆交于点(3455
，-)，所以43sin ,cos 55
a a =
=-，所以4324sin 22sin cos 25525
a a a æö=×=´
´-=-ç÷èø，所以324
cos(2)sin 2225p a a +==-，
故答案为：24
25
-
15．（2016·湖南高一学业考试）若sin 5cos a a =，则tan a =____________.
【答案】5
【解析】由已知得sin tan 5cos a
a a
=
=.故答案为：5.16．（2020·浙江高一期末）已知a 为锐角，3
cos(),65
p
a +
=则cos()3p a -=_______.
【答案】
4
5
【解析】∵3
cos(),65p
a +
=且2663p p p a <+<，∴)in(4s 65
p a +=；
∵(
)()3
26p
p
p a a -=
-+，∴4cos()cos[()]sin()32665
p p p p a a a -=-+=+=.故答案为：4
5.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（2020·天津静海一中高一期末）
（1）已知sin(2)cos 2()cos tan()2f p p a a a p a p a æö
-+ç÷
èø
=æö
-++ç÷èø
，求
3f p æö
ç÷èø
；（2）若tan 2a =，求224sin 3sin cos 5cos a a a a --的值；（3）求(
)sin 5013tan10
°
°
+的值；
（4）已知3cos 65p a æö-=ç
÷èø，求2sin 3p a æ
ö-ç÷èø
．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最
应该注意什么问题？
【解析】（1）用诱导公式化简等式可得
sin (sin )
()cos sin tan f a a a a a a -´-=
=，代入3
p a =可得
1cos 332f p p æö
==ç÷èø
.
故答案为
12
.（2）原式可化为：
222
2
224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos a a a a
a a a a a a
----=
+224tan 3tan 5
tan 1
a a a --=
+，把tan 2a =代入，则原式44325141
´-´-==+.
故答案为1．
（3）()
()sin 1030cos103sin10sin5013tan10sin50sin50cos10cos10°°°°°°°°°°
+++=×=×
cos 40sin 40sin801cos102cos102
°°°°°===
故答案为
1
2
.（4）令6
x p
a =
-，则6
x
p
a =
-22sin sin sin 3632x x p p
p p a æ
öæöæö
-=--=--ç÷ç
÷ç÷èøèøèø
3sin cos 25x x p æö
=-+=-=-ç÷èø
.解题中应注意角与角之间的关系.
18．（2020·全国高三期中（理））已知函数()sin (0)f x x w w =>的图象关于直线9
4
x =对称，且()f x 在[0,2]上为单调函数.（1）求w ；
（2）当210,
8x éù
Îêúëû
时，求sin cos x x w w +的取值范围.
【解析】（1）因为函数()sin f x x w =的图像关于直线9
4
x =
对称．
则
9()42k k Z p w p =+Î，所以42()9
k k Z p p w +=Î． 又()f x 在[0]2，
上为单调函数，所以022
p
w <´…，即04
p
w <…
，
当20,9k p w ==
满足题意，当1k -…或1,k w …不满足题意．故29
p
w =．（2）设()sin cos g x x x w w =+，则()2sin 4g x x p w æö=+ç÷èø，由（1）得
2()2sin 9
4g x x p
p æö=+ç÷èø，
因为210,
8x éùÎêúëû，则25,9446x p p p p éù+Îêúëû，所以21sin ,19
42x p p æöéù+Îç÷êúèøëû．故2(),22g x éù
Îêúëû．所以sin cos x x w w +取值范围是2,22éùêúëû
．19．（2020·贵州高一期末）已知函数()()(2sin 03
)x x f p
w w =+>的最小正周期为p ，将()f x 的
图象向右平移
6
p
个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式；
（2）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若24A g æö
=ç÷èø
，且4b c +=，求ABC V 周长l 的取值范围.【解析】（1）周期2T p
p w
=
=，2w =，()2sin(2)3f x x p
=+.
将()f x 的图象向右平移
6
p
个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2sin )]12sin 22)1[3
(6x y x p
p ++=-=+.
所以()2sin 21g x x =+.
（2）2sin
2
2()14A A g =+=，1sin 22A =.
因为022A p <
<，所以26A p
=，3
A p =.
22222cos
()31633
a b c bc b c bc bc p
=+-=+-=-.
因为2
()44
b c bc +£=，所以04bc <£.
所以416316bc £-<，即2416a £<，24a £<.
所以[6,8)l a b c =++Î.
20．（2020·全国高一课时练习）已知函数cos 2(0)6y a b x b p æ
ö
=-+
>ç÷è
ø
的最大值为2，最小值为
12
-.（1）求a ，b 的值；
（2）求函数()4sin 3g x a bx p æö
=--
ç÷è
ø
的最小值，并求出对应的x 的集合.【解析】（1）由题知cos 2[1,1]6x p æ
ö
+
Î-ç÷è
ø
，∵0b >，∴0b -<.
∴max min
3,2
1,2y b a y b a ì
=+=ïïíï=-+=-ïî
∴1,2
1.a b ì=ïíï=î（2）由（1）知()2sin 3g x x p æ
ö
=--
ç÷è
ø
，∵sin [1,1]3x p æö
-
Î-ç÷è
ø
，
（1）求w ，j 及图中0x （2）设()()cos g x f x =-
w p \=；
又()00sin 16f x x p p æö
=+
=-ç÷è
ø
，且07
06x -<<，∴06
2
x p
p
p +
=-
，得02
3
x =-
，综上所述:
w p =，6
π=j ，023
x =-；
（2）()()cos sin cos 6g x f x x x x p p p p æö
=-=+
-ç÷è
ø
sin cos cos sin cos 66x x x p p
p p p =+-31sin cos sin 226x x x p p p p æ
ö=
-=-ç÷èø，∵12,2
x éùÎ--êúë
û
，
∴132663
x p p p
p -
£-£-，
所以当36
2
x p
p
p -
=-
时，()max 1g x =;当26
3x p
p p -
=-
，()min 3
2
g x =-.22．（2020·上海华师大二附中高一期中）已知(),0,a b p Î，并且
()7sin 52cos 2p a p b æö
-=+ç÷èø
，()()3cos 2cos a p b -=-+，求,a b 的值.
【解析】()7sin 52cos sin 2sin 2p a p b a b
æö
-=
+\=ç÷èø
Q ()()3cos 2cos 3cos 2cos a p b a b
-=-+\=Q 平方相加得22212
sin 3cos 2cos ,cos 22
a a a a +=\=
=±
因为()0,a p Î，所以3,44
p p
a =
当4
p
a =
时，3cos (0,)26
p b b p b =
Î\=Q 当34p a =
时，35cos (0,)26
p
b b p b =-Î\=
Q 因此4
p
a =
，6πβ=
或34p
a =，56
p b =。