湍流模型

第六章湍流模型
湍流模型
湍流运动中动量与能量交换主要受大尺度涡的影响
湍流的基本方程
无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和Navier-stokes 方程对于瞬时运动仍然是使用的。

对不可压流动：
=0
1+=-+(grad )
1+=-+(grad )
1+=-+(grad )
u p u v u t x v p v v t y w p w v w t z
ρρρ∇∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂u u u u ()(v )()
一、“雷诺平均”模式（RANS)
根据湍流统计平均理论，湍流的速度、压强都可以分解为平均量和脉动量
'i i i
u u u
=+p p p '
=+其中，,i u p 为系综统计平均量，任意变量ф的时间平均值定义为:
1()t t
t
t dt t φφ+∆=∆⎰,
i u p ''为脉动量
一、“雷诺平均”模式（RANS)
对N-S 方程做系综平均
()0i i
u x ∂
=∂遵循求导和系综平均可交换的原则，上式的线性
项可直接写出:
i i
u u t t
∂∂=∂∂2
1()i i i j i j i j j
u u p
u u f t x x x x νρ∂∂∂∂+=-
++∂∂∂∂∂
一、“雷诺平均”模式（RANS)
对非线性对流项
()()(()())()()i j i j j i i j i j i j i j i j j j j j i j i j j
u u u u u u u u u u u u u u u u x x x x u u u u x ∂∂∂∂''''''==++=+++∂∂∂∂∂''=+∂将以上方程代入N-S 方程的系综平均中:
'2''''
'''2'''''''2=0
1+=-+(grad )+[---]
1+=-+(grad )[---]
1+=-+(grad )[---]
u p u u v u w u v u t x x y z v p u v v v w v v v t y x y z w p u w v w w w v w t z
x y z ρρρ∇∂∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂u u u u ()()()
()
0i i
u x ∂
=∂2
1()()i i i j i j i
j
i j j i u p u u u v u u f t x x x x x ρ∂∂∂∂∂''
+=-+-+∂∂∂∂∂∂()
ij i j R u u ρ''=-为雷诺应力项
一、“雷诺平均”模式（RANS)
()0i i
u t x ρρ∂∂
+=∂∂()1()[()]i i i j i j i j
i j j u p u u u u u s t x x x x ρρμρρ∂∂∂∂∂
''+=-
+-+∂∂∂∂∂()()[()]j i j j i j
u u s t x x x φ
ρφρφρφ∂∂∂∂''+=Γ-+∂∂∂∂
RANS方程和原N-S方程在形式上很相似，只是多了雷诺应力项（6个）。

这样，方程只有4个，而变量有10个。

为封闭这个方程组，人们提出了各种湍流模化方法将与时均量u，p等联系起来。

湍流的数值模拟方法简介
湍流数值模拟方法直接数值模
拟（DNS）
非直接数值
模拟
大涡模拟
方法（LES）
Reynolds平均
法（RANS）
统计平均法
Reynolds
应力模型
涡粘模型
ASM
RSM
零方程模型
一方程模型
两方程模型
两方程模型：标准k-e模型，RNG k-e模型，Realizable k-e模型等
一、“雷诺平均”模式（RANS)
——涡粘模型
涡粘模型的一般形式（布辛涅斯克假设）（类比于物理粘性）
其中，
为湍动粘度，k 为湍动能。

当i=j ，
当i ≠1时，'
'2
()()3
j i i j
t ij
j i u u u u k x x ρμρδ∂∂-=+-∂∂'''2'2'2
1()
22
i j
u u
K u v w ==++t μ1,ij δ=0ij δ=
涡粘模型
依据确定的微分方程数目的多少，涡粘模型包括：零方程模型一方程模型两方程模型
t
一、“雷诺平均”模式（RANS)
——涡粘模型
⏹混合长度模型
⏹混合长度l m由经验公式或实验确定；
⏹直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动有效，对于复杂流动则很难确定l m，且不能用于带有分离及回流的流动。

涡粘模型
⏹
单方程模型
瞬态项
对流项
扩散项
产生项
耗散项
考虑到湍动的对流输运和扩散输运，比零方程模型更为合理；
——涡粘模型:标准k-ε模型
标准的k-ε双方程
令ε
ρμμ
2k C t =该式依据的是脉动动量输运的物理机制（涡粘系数应当正比于脉动速度和混合长度之积（类比：分子粘性系数正比于分子自由程和分子热运动速度之积））湍动耗散率（turbulent dissipation rate ）
ε
''()()
i i
k k
u u
x x μερ∂∂=∂∂
——涡粘模型:标准k-ε模型
标准的k-ε双方程
其中，k-ε分别通过他们的输运方程求出
湍动能的生成项
湍动能的扩散项
湍动能的耗散项
2()()()1()11,22
i k i i k i k k k k k k k
k k i j i j
u u p u u k k k k u u u u t x x x x x x x x k u u k u u ννρ⎛⎫⎛⎫''''''∂∂∂∂∂∂∂∂' ⎪
⎪'+=---+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
'''''==
——标准k-ε模型
湍动能的生成项：由于平均速度梯度引起的湍动能k 的产生项
)
(21i
j
j i ij x u x u S ∂∂+∂∂=''j
k i j
i
u G u u
x ρ∂=-∂2i
k t ij
j
u G S x μ∂=∂
——标准k-ε模型
湍动能的扩散项
[()]t i k i
k x x μμσ∂
∂+∂∂2()1()
k k k k k u p k k u x x x x νρ⎛⎫''''∂∂∂ ⎪-+
⎪∂∂∂∂⎝⎭
——涡粘模型:标准k-ε模型
由湍流脉动方程可以导出湍动能耗散方程如下
湍动能耗散的
生成项
湍动能耗散的扩
散项
湍动能的耗
散项
''
2''''''''''2222''22j j i i k i i i i i k
k k k k j j
k i k k j j k m m i i k k k m m k m m u u u u u u u u u u u u u t x x x x x x x x x x x x x u u u p u x x x x x x εε
ννννννν⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ⎪+=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2''22i i
m k m k u u x x x x νε⎛⎫∂∂-∇
⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:标准k-ε模型
标准的k-ε双方程其中，分别通过他们的输运方程求出
()()[()]i t k b M k i j k j
ku k k G G Y S t x x x ρμρμρεσ∂∂∂
∂+=+++--+∂∂∂∂,k ε2
132()()[()]()i t k b i j j
u C G C G C S t x x x k k εεεε
ερεμρεεεεμρσ∂∂∂∂+=+++-+∂∂∂∂
——涡粘模型:标准k-ε模型
标准k-ε模型模式常数
120.09
1.0
1.3
1.44
1.92
k c c c μεεεσσ=====
——涡粘模型:标准k-ε模型
标准k-ε模型的控制方程组
注意：针对高Re数的湍流计算模型；计算各向异性大湍流有误差。

一、“雷诺平均”模式（RANS)
——涡粘模型:改进的k-ε模型
⏹RNG k-ε模型
⏹（1）通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋
流流动情况。

⏹（2）在ε方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变
率E ij，这样，模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在同一问题中也还是空间坐标的函数。

从而，RNG k-ε模型可以更好地处理高应变率及流线弯曲程度较大的流动。

⏹需要注意的是，该模型仍是针对充分发展的湍流有效的，
即是高Re数的湍流计算模型。

RNG k-ε模型
一、“雷诺平均”模式（RANS)
——涡粘模型:改进的k-ε模型
⏹Realizable k-ε模型
⏹（1）湍动粘度计算公式发生了变化，引入了与旋转和曲率有关
的内容。

⏹（2）ε方程发生了很大变化，方程中的产生项不再包含有k方
程中的产生项C k项，这样，更好的表示了光谱的能量转换。

⏹（3）ε方程的倒数第二项不具有任何奇异性，即使k值很小，
分母也不会为零，这与标准k-ε模型和RNG k-ε模型有很大的区别。

已被有效应用于各种不同类型的流动模拟，包括旋转均匀剪切流、包含有射流和混合流的自由流动、管道内流动、边界层，以及带有分离的流动等。

Realizable k-ε模型
——涡粘模型:非线性k-ε模型
将雷诺应力用以下代数式近似()3'
'12333
235222213313i j ij ij ik jk mn mm ij ij ij ik jk mn mm ij ik jk jk ik k k k k u u k c S a S S S S S S k k k a a S S a u t x μδδεεωωωωδωωεεε⎛⎫-=-++- ⎪⎝⎭
⎛⎫∂∂⎛⎫---+++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭式中的k-ε通过解相应的输运方程获得。

——涡粘模型: k-ε模型壁面函数⏹壁面区可分为3个子层
⏹粘性底层
粘性力在动量、热量及质量交换中起主导作用，湍流切应力可以忽略，几乎是层流流动。

⏹过渡层
处于粘性底层的外面，粘性力与湍流切应力的作用相当，流动状态比较复杂。

⏹对数律层
处于最外层，其中粘性力的影响不明显，湍流切应力占主导地位，流动处于充分发展的湍流状态，流速分布接近对数律。

近壁区流动的特点
/w u u u y u y u τ
τ
τρμ
τρ
++=∆==
k-ε模型求解壁面区流动的方法
一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型: k-ε模型壁面函数
对一般工程问题，第一层网格一般不能伸到粘性底层(在该区域，k-ε模型不适用），需要采用壁面函数。

1
ln()
/w
u Ey u u u y u y u ττ
τκ
ρμ
τρ
+
+
+
+
=
=∆=
=
为常数
E
——涡粘模型: k-ε模型壁面函数
——涡粘模型: k-ε模型壁面函数
⏹是FLUENT的默认方法，对各种壁面流动都非常
有效。

⏹壁面函数法无法像低Re数k-ε模型那样得到粘性底
层和过渡层内的“真实”速度分布。

⏹当流动分离过大或近壁面流动处于高压之下时，
该方法很不理想。

——涡粘模型: 低Re数k-ε模型
——涡粘模型: 低Re数k-ε模型⏹为体现分子粘性的影响，控制方程的扩散系数项包括了湍流扩散系数与分子扩散系数两部分。

⏹控制方程的有关系数必须考虑不同流态的影响，即在系数计算中引入湍流雷诺数R e t。

⏹在k方程中壁面附近湍动能的耗散不是各向同性。

⏹据文献建议，当局部湍流的R e t小于150时，就应该用低Re数k-ε模型
——雷诺应力模型（RSM)
雷诺应力模型的关键是对雷诺应力输运方程各项的模化，使方程得以封闭
脉动运动方程
用N-S 方程减去RANS 方程得：
()0i i
u x ∂
'=∂2
1()i i i i j j i j i j i j j i
j i j u u u u p u u u u u u t x x x x x x νρ''''
∂∂∂∂∂∂'''''++=-+-
-∂∂∂∂∂∂∂这即为脉动运动方程，在该方程中，也出现了雷诺应力项，因此，也是不封闭的。

雷诺应力输运方程
从湍流脉动方程出发，在脉动方程上乘
以，再在脉动方程上乘以，两式相加
后做平均运算，得到
2
2
()()1()()()i j i j j
i
k
i k j k j i k
k k i j
j i j k i
j i k k k k k
u u u u u u p p u u u u u u u t
x x x x x u u u u u u u x x x x x ρν''''∂∂∂''∂∂∂''''''+=---+∂∂∂∂∂∂'''''∂∂∂''
++-∂∂∂∂∂i u 'j u 'j u 'i u '
雷诺应力输运方程
()
j j i i j i i j i j j i
u p u u p u p p u u p x x x x x x '''''∂∂'''∂∂∂∂'''+=+-+∂∂∂∂∂∂(
)22()()22j j j i i i j i j i
k k k k k k k k k k i j j
i
k k
k k u u u u u u u u u u x x x x x x x x x x u u u u x x x x ννννν⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''
∂∂∂∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪
'
'''+=+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
''⎛⎫∂''∂∂ ⎪
=- ⎪
∂∂∂∂⎝⎭
雷诺应力输运方程
最后得雷诺应力输运方程
()
()()()()12i j i j j
j
i i k
i k j k k
k k j i i j j i j k j i i i j k k k
k k u u u u u u u u p u u u u u p t
x x x x x u u u p u u u u u p u x x x x x x x ρνν
ρ⎛⎫''''''∂∂∂∂'∂∂'' ⎪'''+=--++ ⎪
∂∂∂∂∂∂⎝⎭
''⎛⎫⎛⎫∂''''''''∂∂∂'∂∂ ⎪ ⎪-+-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
雷诺应力输运方程是不封闭的，由N-S 方程还可推导出更高阶
相关量的输运方程，但方程中必然出现更高阶相关量，因此由N-S 方程导出的湍流统计方程总是不封闭的，湍流模型的任务是研究统计方程的封闭方法
雷诺应力生成
项Pij
雷诺应力扩散项Dij
雷诺应力再分配
项
雷诺应力耗散
项Eij
雷诺应力输运方程
雷诺应力生成项Pij
j
i i k j k k k
u u u u u u x x ∂∂
''''--∂∂是平均运动变形率和雷诺应力联合作用的结果，
因此，没有平均运动变形率就没有雷诺应力的生成。

雷诺应力输运方程
雷诺应力扩散项Dij
()
()
()1()i j j
i j k i i
j k k k i j
j i ik jk i j k k k
u u u p u u u u p x x x x x u u u p u p u u u x x νρδδνρρ''⎛⎫∂''''''∂∂'∂ ⎪-+-+
⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫''∂'''' ⎪∂'''=-+-+
⎪∂∂ ⎪
⎝⎭
具有梯度形式！它在有限体中的总贡献等于边界上的输运量
由脉动速度和脉动压
强的关联产生的扩散
由分子粘性产生的扩
散
由脉动速度uk 携带的雷诺应力的平均
输运
雷诺应力输运方程
雷诺应力耗散项Eij
2j i k k u u x x ν
⎛⎫
''∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭
做张量收缩运算后即为湍动能耗散率，是使湍动能消失的项
i i k k u u x x εν⎛⎫
''∂∂ ⎪= ⎪∂∂⎝⎭
雷诺应力输运方程
雷诺应力再分配项
()j i ij j i u u p x x ρ⎛⎫''∂'∂ ⎪
Φ=+ ⎪∂∂⎝⎭
当对其作张量收缩运算后为0，这说明，它对湍
动能没有贡献。

它使湍动能在湍流脉动速度分量间重新分配。

雷诺应力输运方程
时均连续方程+Reynolds 方程+Reynolds 应力方程
+k 方程和
方程=12个方程！()()1[()]2
i t ii ii i j k j ku k k P G t x x x ρμρμρεσ∂∂∂
∂+=+++-∂∂∂∂（）2
132()()1[()]()2
i t ii ii i j j u C P C G C t x x x k εεεερεμρεεεμρ
σ∂∂∂∂+=+++-∂∂∂∂ε
ρμμ
2
k C t =120.09
0.82 1.0 1.44 1.92
k c c c μεεεσσ=====ε
RSM适用性的讨论
⏹RSM也属于高Re数的湍流计算模型，需用壁面函数法或低Re数的RSM来处理近壁面区的流动计算问题。

⏹RSM虽能考虑一些各向异性效应，但并不一定比其他模型效果好，在计算突扩流动分离区和计算湍流输运各向异性较强的流动时，RSM优于双方程模型，但对于一般的回流流动，RSM计算结果不一定好。

一、“雷诺平均”模式（RANS)
——代数应力模型（ASM)
⏹自学代数应力模型
将RSM中包含Reynolds应力微商的项用不包含微商的表达式去代替。

⏹ASM是将各向异性的影响合并到Reynolds应力中进行计算的经济算法。

⏹可用于k-ε模型不能满足要求的场合以及不同的传输假定对计算精度影响不是十分明显的场合，例如方形管道和三角形管道内的扭曲和二次流的模拟。

二、大涡模拟（LES)
⏹脉动的过滤
⏹谱空间过滤
谱空间的滤波可简单理解为一个低通滤波器的作用，即是高波数的脉动等于0
⏹物理空间的盒式滤波
对复杂的流动，不能在谱空间进行数值模拟，这时需要在物理空间进行过滤
二、大涡模拟（LES)
对一个函数的滤波过程写为
()()()D l G d φφ=-⎰x y x y y
例：各向同性盒式滤波器（平顶帽滤波器）
222
361()()
2l G X x y z l
θπ=-++高斯滤波器()x θ表示阶梯函数：0,0;
1
x x θθ>=<=3/2
2
2
2
22
66()()exp()l x y z G x l l
π++⎛⎫=- ⎪⎝⎭
二、大涡模拟（LES)
对不可压N_S 方程滤波后，获得以下方程
()
0=∂∂+∂∂i i
u x t ρρi
j ij j i
j i j i j i x x u x x p u u x u t ∂∂-∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂τμρρ)()(i j
ij i j u u u u τρρ=-亚格子应力SGS （Subgrid-scale stress ）
2
1
23
()1(),
2,
(2ij kk ij t ij
t s j
i ij ij ij x y z j i
S C S
S S S S x x ττδμμμμ-=-=∆∂∂=+=∆=∆∆∆∂∂）。