☆1下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理条件

习 题 三
1．下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理条件？若满足时，求出定理结论中的ξ值。

（1）432)(2+-=x x x f ，[-1,2]； （2）x x f sin ln )(=，[3π,3
2π
]； （3）|52|)(-=x x f ，[2,3]；（4）⎩
⎨
⎧≤<-≤≤-+=10,20
1,32)(2
x x x x x f ，[-1,1]。

2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理条件？若满足时，求出定理结论中的ξ值。

（1）52)(2++=x x x f ，[-1,3]； （2）x x f 2)(=，[2,3]；
（3）1||)(2
+-=x x x f ，[-3,4]； （4）⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=10,
10
1,)(2x x x x f ，[-1，1]。

3．证明下列恒等式 （1）2
arccos arcsin π
=
+x x ，（11≤≤-x ）；
（2）π=--)43arccos(arccos 33x x x ，（2
121≤≤-x ）； （3）2
cot arctan π
=
+x arc x ，（+∞<<x 0）。

4．利用罗必达法则求下列极限 （1）1
23lim
2331
+--+-→x x x x x x ； （2）1
1lim
1
--→m n x x x ；
（3）x e e x x x sin lim 0-→-； （4）bx ax
x sin sin lim 0→；
（5）22
)2(sin ln lim x x
x -→
ππ； （6）x b a x
x x -+→0lim ； （7）7395lim 22
++-∞→x x x x ； （8）x
arc x x cot )
1
1ln(lim ++∞→； （9）x x
x x 24
tan 1cos sin lim --→
π； （10）x x e x x 2sin 1cos lim 0-→；
（11）2
1
2
lim x x e x →； （12）2
tan
)1(lim 1
x
x x π-→；
（13）)ln 1
1(
lim 1
x
x x x --→； （14）)111(lim 0--→x x e x ；
（15）x
x x sin 0)(tan lim +→； （16）x x x
)11(lim 0+→。

5．确定下列函数的单调区间
（1）362-+=x x y ； （2）1+-=x e y x ； （3）x x y -=； （4）x x y -=arctan ；
（5）x
x y -=12
； （6）x x y ln -=。

6．证明不等式
（1）x e x +≥1，0≥x ； （2）0arctan ≤-x x ，0≥x ； （3）0211cos 2>+
-x x ，0>x ； （4）01arctan )1ln(>+-+x
x x ，0>x 。

7．求下列函数的极值
（1）14123223+--=x x x y ； （2）23)5(-=x x y ； （3）)1ln(x x y +-=； （4）x x y -+=1； （5）x e x y -=； （6）2
12x x y +=
；
（7）3
1
)1(23x y +-=； （8）3
2)1(x x y -= 8．求下列函数在指定区间的最大值与最小值
（1）722+-=x x y ，[-2,3]； （2）x x y --=4，[-5,3]； （3）3
2x x y +-=，[-1,1]； （4）x x y +=12
，[2
1,1]。

9．问函数x
x y 54
2-=（0<x ）在何处取得最小值？ 10．问函数1
2
+=
x x
y （0≥x ）在何处取得最大值？
11．试证明面积为定值的矩形中，正方形的周长为最短。

12．某农场要围建一个面积为512m 2的矩形晒谷场。

一边利用原来的石
条沿，其它三边需新砌石条沿，如图。

问晒谷场的长和宽各为多少时，才能使用料最省。

13．把一直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁（图）。

问矩形截面的高h 和宽b 应如何选取才能使梁的抗弯截面模量2
6
1bh W =
最大？ 14．要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才
能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
15．一鱼雷艇停泊在距海岸9公里的A 处（海岸为直线），派人送信给距鱼雷艇为343公里的司令部B （如图）。

若送信人步行每小时5公里，划船每小时4公里。

问他在何处上岸，到达司令部所用的时间最短？
16．求下列函数图形的凹凸区间和拐点
（1）25323++-=x x x y ； （2）x
x y 12+=； （3）)1ln(2+=x y ； （4）1
-+=x x
x y 。

17．求下列函数的渐近线
（1）11
-=x
e y ； （2）52
1
+-=
x y ； （3）x e x y -+=； （4）)2
ln(x
e y +=。

18．作下列函数的图形
（1）33x x y -=； （2）2
1x
x y +=
；
（3）1
22
-=x x y ； （4）)1ln(2+=x y 。