第二章__1_随机变量及其分布

f ( x)
当x b时，由于{X x} {a X b}，于是 ba F ( x) P{ X x} P{a X b} 1 ba xa 0, xa 综上，可得X 的分布函数为 F ( x) , a xb b a xb 1,
2、分布函数的性质
为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果. 例 抛掷一枚硬币可能出现 1, =正面 的两个结果 , 可以用一个 X () 0 , =反面
变量来描述.
例
{1, 2, 3,4,5,6}
． ． ． ．
A ．
定义: X ()
0, 9 , 19 F ( x) 15 , 19 1, x1 1 x 2 2 x3 x3
1
6 19

F ( x)


4 19
9 19
o


1
2
3
x
求随机变量X的概率分布
9 6 4 解 P{ X 1} , P{ X 2} , P{ X 3} 19 19 19
为给出X取值 于任意区间上的概率 ，实 际上只要 给出所有X取值于形如(- ∞,x] 区间上的概率P{X ≤ x}即可。记 F(x)=P{X ≤ x} 当x取遍(- ∞ ,+∞)上的一切实数时， F(x)便成为定义 在(- ∞ ,+∞)上的函数， 一旦知道了这个函数 ，我们便可得到 相应的随机变量取值于任何区间的概率。
三、分布函数的概念
为了对随机变量r.v.（random variable） 取值的统计规律性给出一种统一的描述 方法，下面引进分布函数 (distribution function)的概念.
例2.4 等可能 地在数轴上的有界区间[a,b]上投 点，记X为落点的位置（数轴上的坐标），则 X 是样本空间Ω=[a,b]上的函数 X(ω)=ω, ω∈[a,b] 根据几何概型，对任意c∈[a,b]，有 P{X=c}=P{ω=c}=0 而对任意B=(c,d] [a,b]，有 P{c<X≤d}=P{落点在B中}=(d-c)/(b-a) 另一方面，由于 P{c<X≤d}=P{X ≤ d}-P{X ≤c}
例2.2 设D.r.v.X的概率分布为
2 (1) P{ X i } a , i 1, 2, 3; 3 2 (2) P{ X i } a , i 1, 2, 3
i
分别求上述各式中的常数a.
2 38 27 解 (1)由1 a ( ) a , 得a 3 27 38 i 1 2 i 2 3 3a, 得a 1 . (2)由1 a ( ) a 2 3 2 i 1 1 3

F ( x ) 右连续，即
t x0
F ( x 0) lim F ( t ) F ( x )
例： 已知随机变量X 在整个实轴上取值, 其分布
函数为 A Be x , F ( x) { 0, x0 x0
其中 0为常数, 求常数A, B的值.
解 由分布函数的性质知 F ( ) A 1.
3
i
注：设D.r.v.X的概率分布为{p( xi )， 1，2， }
则由X生成的任一事件的概率可由其概率分布求出。
P{a X b} P{
P{ X I }
xi I
P( x )
i
a xi b

{ X xi }}
a xi b

P ( xi )
2 例2.3 设X的概率分布由 P{ X i } a , i 1, 2, 3; 3
1.分布函数的定义
设 X 是一个 r.v.，
称 F ( x ) P{ X x} ( x )
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
． ． ． ． ．
Ax
． ．
X ( ) x
———|——> x
注:(1)F(x) 是实轴上的一个普通实值函数， 它具良好的性质。
注: (1)定义式反映了C.r.v.X的F(x)与f(x)之间的关系。
分布函数与密度函数
几何意义
f ( x) F(x)
y f (x)

x
x
(2)C.r.v.的F(x)一定为R上的连续函数.
P{ X a} F (a ) F (a 0) 0 a R
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
求分布函数F ( x)
解： x 0时, 当
F ( x ) P{ X x} P ( ) 0
当 x 1时,
当 0 x 1时, 1 F ( x ) P{ X x } P{ X 0} 2
F ( x)
1
1 2
F ( x ) P{ X x} P{ X 0} P{ X 1} 1
由分布函数的右连续性 F (0 0) A B F (0) 0
于是有A 1, B 1.
例1
掷一枚硬币
X (1 ) 0
用 X 表示一次投掷中正面出现的次数
1 "反面"
2 "正面"
X ( )
0
1
X (2 ) 1
即 X ( ) 是一个随机变量.
(2)分布函数的作用
P (a X b ) P ( X b ) P ( X a ) F (b) F (a )
] （ a
] b
例2.5 求例2.4中的随机变量X的分布函数。
解 当x a时， x}是不可能事件，于是 {X
F ( x) P{X x} 0
当a x b时，由于{X x} {a X x}，且[a, x] [a, b]，于是 xa F ( x) P{ X x} P{a X x} ba
当 a x b时,
当 x b时,
F ( x ) P{ X x} 1
0 xa 即F ( x ) ba 1
1 即f ( x ) b a 0
xa a xb xb
F ( x)
1

o
1
1 2
a
b
x
a xb 其他

xk pk

1, 正面 例如： () X 0, 反面
P ( xk )
1
X
P
0 1 2
概率分布表
1 1 2
1 2
o

1
xk
概率分布图
2、基本性质
(1) pk 0, k 1,2,;
( 2) pk 1.
k 1
i

注：凡满足(1)(2) 的一组数 { pk , k 1, 2,} 都可以成为一个D.r.v. 的概率分布。
I R, { X () I } F
------由r.v.X生成的事件
（4）在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v.
例如 : {1, 2, 3,4,5,6}
定义: X ()
3， 1 1， 5 Y ( ) 4， 0 2， 6
2、r.v. 分类
第 二 章
随机变量的分布与数字特征
第2章 随机变量的分布与数字特征 第2.1节 随机变量及其分布 第2.2节 随机变量的数字特征 第2.3节 常用的离散型分布
第2.4节 常用的连续型分布
第2.5节 随机变量函数的分布
第2.1节 随机变量及其分布
一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的分布 三、分布函数的概念 四、连续型随机变量的分布
i
给出，求下列事件的概率。
P{ X 1}, P{ X 1}, P { X 2}, P{ X 2.5}, P{ X 3}
解：P{ X 1} 0
27 2 9 P{ X 1} P{ X 1} 38 3 19 9 P{ X 2} P{ X 1} 19 9 27 4 15 P{ X 2.5} P{ X 1} P{ X 2} 19 38 9 19 P{ X 3} P{ X 1} P{ X 2} P{ X 3} 1
四、连续型r.v.的分布
1、概率密度的概念
定义：设X 为随机变量 ，F ( x )为X 的分布函数, 若存在非负可积函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x)
x
f ( t )d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X的概 率密度函数, 简称密度函数,记作X ~ f(x)
离散型(D.r.v.) 非离散型(N.D.r.v.)
引入 r.v. 重要意义

其中一种重要的类型为 连续性 r.v.(C.r.v.)
◇ 随机现象可被 r.v.描述
◇ 借助微积分方法 讨论解决问题
二、离散型r.v.的分布
1、概率分布 ------完整描述D.r.v.的统计规律性 定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
xk ( k 1, 2,), X 取各个可能值的概率 , 即事件 { X xk } 的概率为 P{ X xk } P ( xk ) pk , k 1, 2, . 称此式为离散型随机变量 X 的概率分布.
(Probability distribution)
X P
x1 p1
x2 p2
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 ) 0 F ( x) 1 且
x x
F ( ) lim F ( x ) lim P ( X x ) 1,
x x
F ( ) lim F ( x ) lim P ( X x ) 0
x0 0 即F ( x ) 1 2 0 x 1 1 x1
o

1
x
注：D.r.v.的概率分布与分布函数
(1)D.r.v.的分布函数的特征
F ( x)
1
X
P
0 1 2
1 1 2
1 2
o

1xΒιβλιοθήκη ◆ F ( x)为阶梯状的分段函数，且单调增加。
◆F ( x )的间断点（跳跃型）为X的所有可能取值，
． ．
—————>
X : 按一定法则 实数 X ( )
一、随机变量的概念
定义在概率空间(, P )上， 取值为实数 1.定义: 的函数X ( ) ）,称为(, P )上的一个 （ 随机变量( random variable ). 简记为r .v. X .
注：（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z,… 或小写希腊字母 ,η, ζ,….等表示.

R
（2）随机变量的特点
定义域 样本空间
随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能取值，但不 能预知取哪个值 概率特性 X 以一定的概率取某个值
（3）随机变量的取值表示事件
可用r.v.取值的等式或不等式表示随机事件
例如 : { | X a },{ | a X () b},{ | X x}
且跳跃的高度等于相应点处的概率。
(2)概率分布与分布函数相互确定
F ( x ) P{ X x} pk P ( X xk ).
xk x xk x
分布律
pk P { X x k }
分布函数
F ( x ) P{ X x }
x pk x
k
例2.7 设随机变量X的分布函数为
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
例 2 等可能地在数轴上的有界区间[a , b]上投点。
即 设X表示落点的位置， X ( ) , [a, b].
求分布函数F ( x ).
解
F ( x ) P{ X x} P ( ) 0
当 x a时,
xa F ( x ) P{ X x } P { a X x } ba