基于核心素养“数学运算”的公式教学探究——以“点到直线的距离”的教学为例

38中学数学研究2021年第1期(下)
基于核心素养“数学运算”的公式教学探究
—
—以“点到直线的距离”的教学为例
扬州大学附属中学(225002)张顺
摘要基于培养学生的“数学运算”素养以“点到直线的距离”设计了一节课.课堂中主要采用了“交点法”、“面积法”、“构造函数法”、“构造相似三角形法”来推导公式，课堂中从学生学情岀发,重点介绍公式推导的每一步的难点，指导学生如何想？如何算？有效提高学生运算能力.
关键词点到直线距离;数学运算
《普通高中数学课程标准(2017版)》中明确界定了数学学科的六大核心素养的内涵和水平划分.其中“数学运算”素养是指“在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养”，并从理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路和求得运算结果等方面给岀了三个不同水平的划分.
基于数学核心素养之一“数学运算”的培养要求，近日,笔者在所教班级上了一节“点到直线的距离”的课.下面笔者就以此为例谈谈如何在数学课堂中的落实“数学运算”的培养.
1教学内容和目标
1.1教材分析
“点到直线的距离”是苏教版必修二第二章第6节的内容，旨在解决“直线l:Ax+By+C=0外一点P(x o,y o)到直线l的距离”.教材通过上节课已经证明的一道例题四边形ABCD为平行四边形，接着追问如何求平行四边形ABCD 的面积，自然引到求点到直线的距离.教材对于该例题给岀了两种解法“交点法”、“三角形面积法”，接着指岀“交点法”计算量较大，“三角形面积法”计算简洁，再通过该方法求证岀一般情形下“点到直线的距离公式”.
1.2学情分析
高一第二学期学生在此之前已经学习了两条直线平行与垂直的判定、两点间距离公式和中点坐标公式等内容，已经具备了一定的利用代数方法解决几何问题的能力.“点到直线距离”小学、初中时就也就有所涉及例如求三角形面积时作岀一边上的高，这个概念学生并不陌生,但学生由用尺规量岀点到直线距离，上升到利用公式计算得到距离是思维层次的一大步提高.根据我所教班级学生特点学生素质较高，综合能力较强，同时由于是文科班女生占了绝大多数，学生代数运算，尤其是多字母的代数运算的能力还是不足的特点,本节课立足于提升学生的运算素养，尝试解释运算背后的算理，让学生能有所得.
1.3教学目标
(1)通过点到直线距离公式的推导，渗透化归思想.
(2)通过点到直线距离公式推导的几种证法，使学生能理解算法选择的优劣，探究优化求解的思路,提升数学运算素养.
1.4教学重难点
重点：点到直线距离公式的推导；
难度：对点到直线距离公式推导过程的优化.
2教学过程
问题1：“点到直线距离”如何定义？
预设1：过一点作已知直线的垂线,相交于垂足,点到垂足的距离为点到直线距离.
预设2:已知点到直线上一点的最短距离为点到直线距离.
设计意图：该问题一是让学生明白我们这节课所要研究的问题，二来通过该问题的两个预设为接下来推导点到直线距离公式的两种方法作铺垫.
问题2:已知直线l:Ax+By+C=0(A2+B2=0)外一点P(x o,y o),求点P到直线l的距离？
预设1：先求过点P垂直l的直线，再求两直线交点，最后用两点间距离公式.该方法可能遇到的问题：学生不会求过点P与l垂直的直线;求不岀交点;求不岀两点间距离.
预设1：先求过点P垂直l的直线，再求两直线交点，最后用两点间距离公式.该方法可能遇到的问题：学生不会求过点P与l垂直的直线;求不岀交点;求不岀两点间距离.
设过点P与l垂直的直线为l':Bx一Ay+D=0,由于过点P(x o,y o)故有Bx o-Ay o+D=0,将D=Ay o-Bx o 代入l'得到l':Bx一Ay+Ay o一Bx o=0从而突破第一个难点.
」f Bx—Ay+Ay o—Bx o=0
再将I o联立，利用加减Ax+By+C=0
消元得到交点坐标为
2021年第1期(下)
中学数学研究
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Bx ° 一 ABy ° 一 AC Ay ° 一 AB x ° 一 B C )从而突破
A 2 +
B 2 ，第二个难点.
最后再求两点距离:
A 2 +
B 2
离最小值来表示距离.
'
B 2- ABy 0 - AC\2
/
A 2y 0 - ABx 0 - BC\2
X 0 A 2 + B 2
+
V 0
A 2 +
B 2
，A 2 x o + ABy o + AC
)
2
/ B 2 y o + ABx o + BC
)
2
+
A 2 +
B 2A 2 + B 2
A 2(Ax o + By o + C )2 +
B 2(By o + Ax o +
C )2
A 2 +
B 2
(A 2 + B 2)2
(Ax o + By o + C )2
|Ax o + By o + C y/A 2 + B 2
A 2 +
B 2
合理的进行通分合并同类项，学生运算中常见的问题是
不考虑代数式得结构特征，“暴力”分解多项式从而破坏式子
结构，而由于运能能力的不足,对于拆分后的式子往往没有
办法更进一步的化简，使得计算难以进行下去.
追问1：上面解法较为繁琐,计算容易出错，那么有没有更好的解法呢？
教师在黑板上板书如图
(1)所示图形，提示学生要求 PQ 还能有什么方法.学生在
图形提示下会联想到利用三 角形面积求出PQ,于是有下
面的解法.
图⑴
设 P(x °,y °),则 M (x m ,y °), N (x n , y °)代入直线方程
A x m + By ° + C — 0Ax ° +
+ C — 0
解得x m ——
By ° + C
A
x ° +
By ° + C
A Ax ° + By ° + C
A
通过数学建模，学生能建立直线上一点与已知点的
函数关系式.设直线l 上一点为Q(x,y ),定点P(x °, y °), 于是 PQ — ^(x - x °)2 + (y - y °)2,由于 Q 在直线 I 上，PQ 最小时P,Q 在与l 垂直的直线上，由预设(1)
中解得的方程有
f
Bx 一 A y + A y ° 一 Bx ° = °计算时
Ax + By + C — 0.
需要有目标意识，需要我们求得的表达式结构中有
(x - x °), (y - y °)这两个量，于是对上面方程组可以变形 为 f B (x - x °) 一 A (y 一 ”°) —°’ 又观A (x 一 x °) + B (y 一 y °) = —A x ° — By ° 一 C,
察目标结构中有(x - x °)2 + (y - y °)2,所以想到将方程组
两式平方再相加，得到(A 2 + B 2)[(x - x °)2 + (y - y °)2]—
(Ax ° + By ° + C )2,最后得到 J(x - x °尸 + (y - y °)?—
|Ax ° + By ° + C A 2 + B 2 •
设计意图：对于多字母运算学生在公式变形式往往像无
头苍蝇到处乱撞，展开到哪里就到哪里.公式变形前没能对
多要求的目标式的结构有所思考，另一方还需要学生公式变
形时有一定的整体意识.这种方法学生不会那么容易想到,
教学时需要教师一步步去引导，指导学生如何算，怎么想.
问题3:前面探讨过
通过构造三角形，利用三 角形面积来求高，是否还
有其他构造图形的方式
教师板书如图⑵所 示图形，为了突出重点，这
d =
-A x °
+ C , MP
同理 NP — A
x ° + B y ° + C ；因为 S ampn — 1 MP -B 2
1 MP - NP
np
= —
mn
-d ，所以d = mn —
|Ax ° + By ° + C MP - NP
7MP 2 + NP 2
VA 2 + B 2
•
追问2:为什么通过三角形等面积法转化后计算量会减
少？
设计意图：学生能看懂该解法，但是如果没有老师作图
提示能主动联想通过三角形面积算两次得到斜高的学生应
该不会很多.再者利用该方法为什么能起到简化运算的效
果，是什么原因使然，对于这个问题学生想不到去追问，但这 恰恰是比较重要的.通过转化与化归将求斜高转化为求两
条平行于坐标轴的直角边长度,这种转化能简化运算的原因 就在于其问题研究的坐标系是直角坐标系，在直角坐标系
中，平行于坐标轴的两点距离是容易得到的|x i - x 2 |或者 |y i - ”21,而在其它情况下会用到两点距离公式增加计算.
预设2:学生会想到利用直线上一点与已知点求两者距
于零情况.教师提示学生利用相似三角形知识.在老师
的提示下学生能够得到大三角形MPQ 与小直角三角 形相似，因为MP — |kx ° + b - y ° |,身 —.1 79即
MP
V1 + k 2
d — |
kx 7 一 y °+ b |,最后再化为直线一般式下情形即可得
1 + k 2
证.
设计意图：这种创造性的思维，教师预想的学生不可能
构造出这种图形，所以需要板书出来直接给学生，学生通过
这样的构造能体会到数形结合的思想,觉得数学美丽有趣就 是成功！
3小结
本节课用4种方法证明了点到直线的距离：交点法，面
积法，构造函数法，构造相似图形法.交点法难算，但是解析
几何证明题中少不了计算，当我们没有什么巧妙解法时，计 算也许是唯一的路径，
教学中也要让学生能有面对复杂计算
40中学数学研究2021年第1期(下)
直观想象素养视角下的微专题教学实践研究
—
—以动点的轨迹方程为例
福建省厦门市厦门实验中学(361116)吴俊英
摘要本文以动点的轨迹方程为例，阐述直观想象素养视角下的微专题教学实践.精选例题及变式练习题,以求轨迹方程的思维岀发点为主线将有关动点的轨迹方程问题整合成一个微专题，落实直观想象素养培养，最后给岀结合微专题进行教学实践的建议.
关键词微专题;轨迹方程;直观想象
引言
直观想象是数学核心素养的关键组成，是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养.直观想象是发现和提岀数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.在数学解题中，直观想象更是不可或缺的重要思维与工具.很多看似复杂，无从下手的数学问题，借助直观想象就可能很容易获得解题的捷径.高三二轮复习时间紧,任务重，教学时可以聚焦一个具体考点(重点、热点或难点),以微专题的形式组织教学活动,一个微专题占用1-2课时.微专题学习可以有效激发学生学习兴趣,提高学生学习积极性，调动学生学习主动性,从本质上提高学生数学素养.本文以圆锥曲线轨迹方程为例，谈谈直观想象素养视角下的微专题教学实践.
1教学诊断分析
求动点的轨迹方程是解析几何的重要内容.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握,还充分考查了直观想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养，因此这类问题成为高考命题的热点，也是学生的一大难点.学生在解决解析几何有关问题的时候,存在以下几种问题：(1)识图、作图、用图意识薄弱,解题时没有养成作岀草图或相对准确图像的意识;(2)平面几何知识较弱,无法充分挖掘几何条件,结合平面几何知识,减少计算量.(3)对题目中条件的含义理解不清，无法选择选择简便的方法实现几何条件代数化或者代数条件几何化;(4)对不同题型相应的方法选择较盲目，多凭感觉而没有养成解决一类问题的思考路线.
2归纳知识结构
本节内容要求学生正确理解曲线与方程的概念,会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法.教学时可以借助思维导图，由学生自主归纳求动点的轨迹方程的一般步骤及求动点轨迹方程的思维岀发点和思考路线.
设计意图：经过一轮复习，高三学生应能明确求轨迹方程中“建系设点、列岀条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤以及求曲线的轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、相关点法、参数法等.但学生对于方法的选择更多只停留于利用方法简单机械的操作，而对其背后的思维岀发点还不甚清楚.通过知识归纳帮助学生进一步理顺解题思路.
3例题及变式练习
以高考题为例重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法,再通过变式练习强化，达到能力迁移.教师在课前学案中
能算下去的信心.面积法大大减少了计算，同学们也要对其背后原因有所了解，因为直角坐标系下平行于坐标轴的线段长度容易表示.构造函数的方法是本节课重点强调的一种方法，该方法首先要能准确建模构造岀函数，列岀目标表达式和约束条件，而求解最值化简过程中需要有整体思想和目标意识,时刻联想到所要求的的目标结构.最后为了提升学生学习数学兴趣，介绍了一种巧妙的构造相似三角形方法，讲解这种方法主要是让学生体会数学的美妙.
参考文献
[1]朱占奎•“点到直线的距离公式”教学设计[J].中学数学教学参考•
2018(9):11-13.
*本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《基于数学直观想象素养培养的微课程建设研究》(立项批准号：FJJKXB18-353).福建省教育科学“十三五”规划2017年度课题《高中生数学直观想象评价的实证研究》(立项批准号：Fjjgzx17-19)的研究成果之一.。