七年级下册数学校本教材《卓越思维课程》

“卓越思维课程”之——数学校本教材
七年级下册
前言
数学是重要的，它是社会生活和科学研究不可缺少的工具、语言，同时，又是我们每一位公民的必备素养，它对培养人的逻辑思维和创新能力有着不可以替代的作用。

随着课程改革的推进，校本课程开发已经成为我国当前课程改革的一项重大举措。

实施校本课程是实现我校的办学理念和培养目标，发展办学特色的有效途径；实施校本课程能更好地满足学生的兴趣和需要，促进学生的个性发展。

为了全面实施学校校本课程的开发，进一步搞好课题研究工作，根据课改精神，编制我校校本课程开发方案。

美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法．
表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识．
那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表
层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质．数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识．数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些．
目录
第一讲整体代换思想的应用（一）———————— 4 第二讲整体代换思想的应用（二）—————————6第三讲数形结合思想的应用（一）——————-——- 8 第四讲数形结合思想的应用（二）———————— 10 第五讲化归与转化思想的应用（一）———————-12第六讲划归与转化思想的应用（二）———————-14 第七讲分类讨论思想的应用（一）————————-16 第八讲分类讨论思想的应用（二）————————-18 第九讲类比思想的应用（一）——————————20 第十讲类比思想的应用（二）——————————22 第十一讲方程思想的应用（一）——————————25 第十二讲方程思想的应用（二）——————————-27
第一讲整体代换思想应用（一）
一、知识链接：
所谓整体代换是指将需要求值的式子划分为几个已知的整体，然后将已知的数值代入求值的方法。

运用整体代换法的关键是要正确地选择整体代换才能使复杂问题简单化，使不可能解决的问题轻而易举地得到解决。

二、典型例题：
例1：有A、B、C三个数，已知A＋B=6 ，B＋C=8，A＋C=10，求这三个数的平均数。

分析：要求三个数的平均数，得先求出三个数的和。

我们学生往往首先想到分别求出A、B、C三个数，然后相加求和。

可是，受限条件，本题不便这样去分别计算出三个数来。

但如果，我们换个角度去看，只要将这三个数看成整体，整体性地求出这三个数的和，那问题也就迎刃而解了。

解：A＋B=6 ......（1） B＋C=8 ......（2）A＋C=10 (3)
（1）+（2）+（3）得，
A＋B＋B＋C＋C＋A=6+8+10
化简得，2（A+B+C）=24
A+B+C=12
从而求出三个数的平均数是：12÷3=4
例2：解方程：|3x-4|=5．
解：把3x-4看作一个整体a，令a=3x-4，方程可变形为|a|=5，这是“分类讨论”数学思想方法
∴a=5 或 a=-5
即3x-4=5 或 3x-4=-5
当3x-4=5时，x=3
当3x-4=-5时，x=-1/3
综上所述，方程的解为x=3或x=-1/3．
例3：当x=1时，代数式px³+qx+1的值为2013
求: 当x=-1时，则代数式px³+qx+1的值
解：x＝1时,代数式px³＋qx＋1＝2013
即p＋q＋1=2013
p＋q=2012
所以x＝﹣1时代数式px³＋qx＋1=-p-q＋1=-2012＋1=-2011
三、巩固训练：
1、已知代数式3x²-4x+6的值为9，求代数式x²- x+6的值。

2、已知m+n=3,mn=2求代数式2013(m+n-2)²-2012（mn-1）的值。

3、（1）已知x²+5xy=76 ，3y²+2xy=51 求代数式x²+9xy +6y²的值。

（2）已知m²-mn=15 mn-n²=-6 求代数式3 m²-mn-2n²的值。

4、当多项式m²+m-1=0时，求代数式m³+2m²+2013的值。

5、已知x²-x-1=0,求x³-2x+1的值。

6、已知a,b均为正整数，且ab=1，求
(1)
11
1+1
a b
+
+
的值（2）
1
11
a
a b
+
++
错误!未找到引用源。

的值第二讲整体代换思想的应用（二）
一、知识链接：
整体代换思想,是初中数学的重要思想.在整式的运算中，把一个复杂的字母组合当成一个整体来对待，运用整体代换，往往使问题得到简化。

二、典型例题：
数学课上老师出了一道题计算：
小明看后说：“太繁琐了，我是做不出来”；小亮思考后说：“若设，
先运用整体思想将原式代换，再进行整式的运算，就简单了”。

小明采用小亮的思路，
很快就计算出了结果，请你根据小亮的思路完成计算。

解：设
三、巩固训练：
1、已知x ＋2y ＝4k ＋1，2x ＋y ＝k ＋2，且0<x ＋y<3，则k 的取值范围是 ______________
2、已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)²－(y2－4x)的值.
3、已知 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝4k ＋1，2x ＋y ＝k ＋2，且0<x ＋y <3，则k 的取值范围是 ______________. 4、若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需______元．
5、如图, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝______________°.
6、已知A ＝2x ＋y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2的值．
7、分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( )
A ．(x －1)(x －2)
B ．x 2
C ．(x ＋1)2
D ．(x －2)2
8、已知错误!未找到引用源。

=5,错误!未找到引用源。

求（1） 错误!未找到引用源。

+ 错误!未找到引用源。

的值 （2）错误!未找到引用源。

的值
9、若错误!未找到引用源。

=5, 错误!未找到引用源。

=4 ,则 错误!未找到引用源。

_____.
25)()(p q q p -⋅-错误!未找到引用源。

_____.
已知3x =a ，3y =b ，则32x-y 错误!未找到引用源。

_____. [(p-q)3] 5
·[(q-p)7]2=_________.
10、已知x+y=a ，试求(x+y)3(2x+2y)3(3x+3y)3的值。

11、已知x+错误!未找到引用源。

=3则x ²+错误!未找到引用源。

的值为_____.
12、分解因式（x+y ）²-4（x+y-1）
13、化简：（a-b ）³×（b-a ）²÷（b-a ）³
14、若M=123456789×123456786 N=123456788×123456787
试比较M 与N 的大小。

15、O 为△ABC 的角平分线的交点，求证：∠BOC=90°+2
1∠A
O C
B A
16、如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的大小是________．
第三讲数形结合思想的应用（一）
一、知识链接
我们常用代数的方法来解决图形、图像问题，也利用图形、图像来处理代数问题，这种数与形之间的相互转化、结合运用的思想方法，就是数形结合思想。

数形结合在整个学习阶段都非常的重要，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休，数缺形时少直观，形少数时难入微”。

我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，要学会“以形助数”，它是数学学习的一个重要方法。

如：路程类的问题，老师常要求画出草图分析。

初中、高中数学的大板块：代数与几何。

就是数与形，它们联系是紧密的，同样重要，就像我们的左右手，不可分离。

在今后的学习中要牢记，并通过做题逐渐体会、总结。

二、典型例题
1、点为数轴上表示-2的点，当点沿数轴移动4个单位长度到点时，点表示的数为( )
A. 2
B. -6
C. 2或-6
D. 不同于以上答案
2、如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点表示的数分别是，且，那么代表数轴原点的应是( )
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
3、如图，点从点4出发向数轴负方向运动，同时，点从原点出发向数轴正方向运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是点的速度的3倍．则经过( )
秒时，原点恰好处在点和点的正中间．
A. 2
B. 3
C.
D. 1
三、巩固练习
1、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的整数a、
b、c、d，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是（）。

A、A点
B、B点
C、C点
D、D点
2、老师在黑板上画数轴，取了原点O后，用一个铁丝做的圆环作为工具，以圆环的直径在数轴上画出单位长1，再将圆环拉直成一线段，在数轴的正方向上以此线段长自原点O起截得A点，则A点表示的数是_____________。

3、在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”。

设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2008厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有_______个，至多
有个。

4、如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的－点将与圆周上字母所对应的点（）重合．
5、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与－2，3与，－2与－6，－4与3。

并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？____________ （2）|x|的几何意义是数轴上表示_______的点与________之间的距离；按照（1）的理解，|x|_________|x－0|（>，=，<）；
（3）|2-1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则
|2-1|=____ ；
（4）|x-3|的几何意义是数轴上表示___ 的点与表示_____ 的点之间的距离，若|x-3|=1，则x=________ ；
（5）| x+2|的几何意义是数轴上表示__ 的点与表示_____ 的点之间的距离，若| x+2|=2，则x=________
第四讲数形结合思想的应用（二）
一、知识链接
我们常用代数的方法来解决图形、图像问题，也利用图形、图像来处理代数问题，这种数与形之间的相互转化、结合运用的思想方法，就是数形结合思想。

数形结合在整个学习阶段都非常的重要，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休，数缺形时少直观，形少数时难入微”。

我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，要学会“以形助数”，它是数学学习的一个重要方法。

如：路程类的问题，老师常要求画出草图分析。

初中、高中数学的大板块：代数与几何。

就是数与形，它们联系是紧密的，同样重要，就像我们的左右手，不可分离。

在今后的学习中要牢记，并通过做题逐渐体会、总结。

二、典型例题
1、把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图
②中两块阴影部分的周长和是（）
A、4mcm
B、4ncm
C、2（m+n）
cm D、4（m－n）cm
2、如图是用火柴棍摆成的边长分别是1， 2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为20根火柴
棍时，则所用的火柴棍的根数为___________.
3、如图，点从点4出发向数轴负方向运动，同时，点从原点出发向数轴正方向运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是点的速度的3倍．则经过( )秒时，原点恰好处在点和点的正中间．
三、巩固练习
1、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
(1) 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为 cm．
（2）由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题: 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
2、一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长度，x n表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．
给出以下结论：
（1）x3=3；（2）x5=1；（3）x103<x104；（4）x2007<x2008；
其中正确结论的序号是( )
A.（1）（3）
B. （2）（3）
C. （1）（2）（3）
D. （1）（2）（4）
3、如图，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的、、，根据图示我们可以知道的值，请你利用上面的方法计算
= ．
第五讲 转化与化归思想的应用(一）
一：知识链接：
数学知识很重要，更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想和方法。

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。

数学思想方法的三个层次:
化归思想：
1.化归思想是中学数学最基本的思想方法之一,数学中很多问题的解决都离不开化归:数形结合思想体现了数于形的相互转化,函数方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。

化归思想也是中考的重要考查对象，数学中的各种变换多离不开化归，化归是数学思想方法的灵魂。

2.化归思想:化归思想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系
数学思想 和方法
数学一般方法
逻辑学中的方法(或思维方法)
数学思想方法
配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等
分析法、综合法、归纳法、反证法等
函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等
数法,配方法,整体代人法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想
二．经典例题：化归思想在解题中的应用
1、化未知问题为已知问题
该法采取的措施是不对问题直接攻击，而是对问题进行变形、转化。

直至把它化归为某个（些）已经解决的问题或容易解决的问题。

例.如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3，BC=5，求AC 的长。

分析：此题是根据梯形对角线互相垂直的特 点，通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角 形和平行四边形，使问题得以解决。

解：过D 作D E ∥AC 交BC 的延长线于点E ，则得AD=CE ， AC=DE ，所以BE=BC+CE=8。

∵AC ⊥BD ∴BD ⊥DE 又∵AB=CD ∴AC=BD ∴BD=DE 在Rt △BDE 中，2
2
2
BE DE BD =+ ∴BD=
BE 2
2
=24 即AC=24 2、化新问题为旧问题
将陌生的问题转化为熟悉的问题，运用自己熟悉的知识、经验和问题来解决。

例题2： 2（x-1)2 _5(x-1)+2
令x-1=y,原式可变为2y 2 -5y+2,即2y 2 -5y+2=（2y-1)(y-2) 所以：原式=【2（x-1）-1】（x-1-2） =（2x-3)(x-3) 3、化复杂问题为简单问题
有些数学问题结构复杂，若用常规手法过程繁琐，对这个问题，可以从其结构入手，将结构进行转化，另辟解题途径。

例：已知012=-+x x ,求200922
3++x x 的值。

分析：此题通过“化零散为整体”或利用降次来转化，可使问题得以解决。

解法一：∵012=-+x x ∴x x -=12
∴200922
3++x x =x(1－x )+2(1－x )+2009 =20112
+--x x
=2010)1(2
+-+-x x =2010
解法二：原式=20091)1()1(22
++-++-+x x x x x =2010
三．巩固练习 1.若2a
m b 2m+2n
与
a
2n-3b
8
的和仍是单项式，则m 与n 的值分别是m=________,n=________.
2.方程组⎩⎨
⎧=-=-8
235
2y x y x ，消去y 后得到的方程是
3.已知关于x 、y 的方程组2311x y ax by -=-⎧⎨+=⎩和16x y bx ay -=⎧⎨+=⎩
的解相同，则()2009
a b +的值
是 ． 4.已知方程组：⎩⎨
⎧=++=--)
2(12
)3(4)1(10
3)(y n m x y x n m ，将(1)×2-(2)能消x,将(2)+(1)能消y,则
m,n 的值为多少？
第六讲 转化与化归思想的应用(二）
一：知识链接 转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

转化思想方法:是实现问题的规范化、模式化以便应用已知的理论、方法和技巧,达到问题的解决,其思维过程的形式如图.解题的过程就是“转化”的过程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一. 二：例题分析 例题1： 已知a+b=
5
3
，ab=-3，求下列代数式的值： （1）（a-5）（b-5）； （2）2a 3b+4a 2b 2+2ab 3．
例题2：已知22(1)0ab b -+-= （1）求a 、b 的值； （2） 求11
1
(1)(1)(2)(2)
(2003)(2003)
a b a b a b ++
+
++++++的值（6分）
例题3：解二元一次方程组
⎩⎨
⎧=-=+1352y x y x
拓展延伸：计算：1+2-3-4+5+6-7-8+...+97+98-99-100
巩固训练：
1、用换元法解方程x
x x x +=++222
1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ）
A 、y 2+y+2=0
B 、y 2－y －2=0
C 、y 2－y+2=0
D 、y 2+y －2=0 2、已知实数x 满足01
12
2
=+++
x x x
x ，那么x x 1+的值为（ ） A 、1或-2 B 、-1或2 C 、1 D 、-2 3.已知关于x 、y 的方程组2311x y ax by -=-⎧⎨+=⎩和16
x y bx ay -=⎧⎨+=⎩的解相同，则()2009
a b +的值
是 ．
4.把下列各式分解因式：
（1）、16x 4-72x 2y 2+81y 4 （2）、(x 2+y 2)2-4x 2y 2 （3）、-ab(a-b)2+a(b-a)2 （4）、(x 2+4x)2+8(x 2+4x)+16
1
2
4
4
y x y x ++=
=
5.解二元一次方程组：
课时小结：1.转化思想方法包含什么基本要素：
2你认为转化思想方法应遵循什么原则？
第七讲分类讨论思想的应用（一）
一、知识链接
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

二、典例解析
-x+3-x=2
例1：解绝对值方程：4
分析：分别讨论①x≥4②3＜x＜4 ③x≤3根据x的范围去掉绝对值，解出x,综合三种情况可得出x的最终范围。

解：①当x≥4时原方程变为x-4+x-3=2，即2x=9，解得x=9/2
②当3＜x＜4时, 原方程变为4-x+x-3=2，即1=2，即3＜x＜4时方程无解
③当x≤3时,原方程变为4-x+3-x=2，即2x=5，解得x=5/2
故综上知方程的根为x=9/2或x=5/2.
例2：五一节某超市搞促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次性购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折．王宁两次购物分别付款120元、432元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款_________元．
分析：销售问题中如果存在不确定条件,需要分类讨论,由题,因为432不能确定是第二种还是第三种情况,所以需要分类,一次性购物超过150元，但不超过500元一律9折则在这个范围内最低付款135元，因而第一次付款120元，没有优惠；第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是432÷0.9=480（符合超过150不高于500）,则两次共付款：120+480=600元，超过500元，则一次性购买应付款：600×0.8=480元；当第二次付款是超过500元时：可得出原价是432÷0.8=540（符合超过500元），则两次共应付款：120+540=660元，则一次性购买应付款：660×0.8=528元,则一次性购买应付款：480元或528元． 三、巩固训练
1、x 是2的相反数，│y │=3,则x-y 的值是
2、在实数范围内，比较代数式a 与a
1
的大小关系。

3、求不等式2 ax 的解集
4、某商场开展促销活动，规定：
（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠．
（2）一次性购物超过100元，但不超过300元，一律九折． （3）一次性购物超过300元，一律八折．
方阿姨先后两次到该商场，分别付款80和252，如果方阿姨一次性购买这些商品，应付款多少？
5、．五一前夕，某校师生要印刷宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.5元的印刷费，另收200元的制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.9元的印刷费，不收制版费．
若设印刷数量为x份，问选择哪家印刷厂比较合算？
第八讲分类讨论思想的应用（二）
一、知识链接
当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。

分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。

当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。

分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。

分类讨论的原则是不重复、不遗漏。

讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。

二、典例解析
例1：已知A、B、C三点在同一直线上，线段AB=8cm，线段BC=6cm，点M、点N分别是线段AB、线段AC的中点，求线段MN的长
分析：本题分成两种情况①点C在线段AB上，②点C在线段AB的延长线上。

例2：已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2 =0，A、B 之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．
（1）求线段AB的长．
（2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．
（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值
范围，并说明理由：①PM ÷PN 的值不变，②|PM ﹣PN|的值不变． 分析：（1）根据非负数的和为0，各项都为0；
（2）应考虑到A 、B 、P 三点之间的位置关系的多种可能解题； （3）利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出． 解：（1）∵|2b ﹣6|+（a+1）2 =0， ∴a=﹣1，b=3， ∴AB=|a ﹣b|=4，即线段AB 的长度为4．
（2）当P 在点A 左侧时， |PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣4≠2．
当P 在点B 右侧时， |PA|﹣|PB|=|AB|=4≠2． ∴上述两种情况的点P 不存在．
当P 在A 、B 之间时，﹣1≤x ≤3， ∵|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x ﹣3|=3﹣x ， ∴|PA|﹣|PB|=2，∴x+1﹣（3﹣x ）=2． ∴解得：x=2；
（3）由已知可得出：PM=PA ，PN=PB ， 当①PM ÷PN 的值不变时，PM ÷PN=PA ÷PB ． ②|PM ﹣PN|的值不变成立．
故当P 在线段AB 上时， PM+PN=（PA+PB ）=AB=2，
当P 在AB 延长线上或BA 延长线上时， |PM ﹣PN|=|PA ﹣PB|=|AB|=2
例3：如图，线段OD 的一个端点O 在直线a 上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a 上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）
三、巩固训练
1、在同一平面上，，，︒=∠︒=∠3070BOC AOB 射线OM 平分AOB ∠，ON 平分C BO ∠，则=∠MON °.
2、已知线段AB=8cm,在直线AB 上画线段BC ，使BC=5cm,则线段AC 的长度为 .
3、等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，则此三角形的周长是 .
4、等腰三角形的一个内角是80°，则底角为°.
5、已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是﹣1 ；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x 的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？
第九讲类比思想的应用（一）
一、知识链接
数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类未知的对象上去的一种合情推理，它能够帮助我们解决一些看似复杂困难的问题。

类比是发现的源泉"学生探索知识,获得数学结论往往也发端于对事物的观察、归纳、类比等过程,同时还需要克服思维定势的影响、学生运用类比方法展开丰富的联想就可以产生迁移，从而使原有的知识得到补充，改造和逐步完善，并提高思维的创造性。

一、典例解析
例1 . 已知，如图搭1个正方形需要4根火柴棒，搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭n个正方形需要根火柴棒
.
例2.已知：如图，在△ABC中，∠B与∠C的角平分线交于O点，试探究∠BOC与∠A的数量关系。

B
4
3
43
4
例3.（1）观察如下图的2个正方形，你能得出那些结论？
（2）观察下图两个正方形，你有何发现？
a
b
a
b
b
练习1：观察下图，你能有何发现？
4
练习2：已知：如图，BP、CP分别平分△ABC的两外角，且相交于P点，试探究∠BPC与∠A的数量关系。

练习3 ：如图，一位同学用火材棒摆出了一系列三角形图案，按这种方法摆下去，当每边上的火材棒摆20（即n=20）根时共需要根火柴棒.
第十讲类比思想的应用（二）
二、知识链接
类比是指在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据他们某些方面（如特征、属性、关系）的相似之处进行比较，通过类比可以发现新旧知识的相同点和不同点，有助于利用已有知识去认识新知识和加深理解新知识，如学习不等式的性质，应将其与等式的性质进行类比，学习一元一次不等式的解法，应将其余一元一次方程的解法进行类比。

三、典例解析
例1 判断下列各式是不是一元一次不等式：
（1）-x≥8；（2）2x-y＞0；（3）4x+
3
x
＜6；（4）
x
5
+7≥3x；（5）7x-6=5.
相关知识链接：
一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。

↓类比
一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数都是1，系数不等于0.这样的不等式叫。