大学物理电与磁的相互关系

两类感应电动势： • 动生电动势： 磁场不变，导体运动 • 感生电动势： 导体不动,磁场变化
二.楞次定律
• 感应电动势的方向，总是使得感应电流的 磁场去阻碍引起感应电动势(或感应电流)的 磁通量变化.感应电流的效果总是反抗引起 感应电流的原因的。
• 楞次定律的后一种表述可以方便判断感应电流所 引起的机械效果的问题。“阻碍”或“反抗”是 能量守恒定律在电磁感应现象中的具体体现。磁 棒插入线圈回路时，线圈中感应电流产生的磁场 阻碍磁棒插入，若继续插入则须克服磁场力作功。 感应电流所释放出焦耳热，是插入磁棒的机械能 转化来的。
IV dx处动生电动势为 d V B dl 0 dx 2π x 金属杆 d L 0 IV dx 0 IV ln d L L d 2πx 2π 电动势 d
式中负号表明左端电势高。
例4：求在均匀变化的磁场中铝圆盘内的感应电流。 解:取半径为r ，宽度为dr,高度为 b 的圆环：
0 I
2π r
I a v b dr l2 c
l0 l1 I 0 Φm B ds l2 dr l0 2 πr l0 l1 0 I 0 cos wt vt ln l 2π 0
l0
d
l1
dΦm t 时刻的感应电动势为： i dt
a
EW dl
电场EW，总电场E = EC +EW , 称为全电场。
全电场的环路积分为
B L E dl L ( EC EW ) dl L EW dl S t dS
根据矢量分析的斯托克斯定理[见附录(二)]，应 有
质，还与磁介质的磁导率有关，但与线圈中电流无关；当
线圈内或周围空间存在铁磁质时，互感除与以上因素有关 外，还决定于线圈中的电流。
互感单位是 H( 亨利 ) ： 1H=1WbA-1=1VsA-1, 多 采用mH(毫亨)或H(微亨)：1H=103mH=106 H。
互感应用：无线电和电磁测量。电源变压器,中
=LI ,L为自感系数，简称自感。
I1
线圈中电流I发生变化，自身磁通量也相应 变化，在线圈中将产生自感电动势。根据法拉 第电磁感应定律， d d ( LI ) 自感电动势 dt dt
当线圈的大小和形状保持不变，且附近不存在 铁磁质时，自感L为常量
A

l
o
A
B
所以以上结果就是金属棒的感应电动势。
例6：电流为I=I0cos wt 的长直导线附近有一与其 共面的矩形线框,其ab边可以速度v 无摩擦地匀速 平动,设t=0时ab与dc重合,求线框的总感应电动势。 解：设t 时刻I > 0 , 空间磁场为 B 方向指向纸面，cb 边长为 l2= vt 穿过线框的磁通量为：
1 2
简称互感。
线圈 2 中产生 感应电动势
d12 d ( M12 I1 ) 2 dt dt
在线圈的形状、大小和相对位置保持不变，且 周围不存在铁磁质的情况下，互感 M12 为常量， 上式化为
d I1 2 = M12 dt
1
B1 I1 I2
2
B2
同样通有电流I2的线圈2
在空间产生磁场 B2 ， B2 在线圈 1 中产生的磁通量
dΦ B 代入 EW dl dS L S t dt
d 2 积分得 2 rEW R dt 2 1 R EW 方向也沿逆时针方向。 2 r
可见，虽然磁场只局限于半径为R的柱形区域， 但所激发的涡旋电场却存在于整个空间。
由静止的电荷激发。 电场线起于正电荷止于负 电荷，是有头有尾的曲线。 对电荷有作用力。 若有 导体存在能形成电流。 保守力、保守场。
感生电场
由变化的磁场激发。 电场线不是有头有尾， 是闭合曲线。 对电荷有作用力。 若有导 体存在能形成电流。 非保守力、有旋场。
若用EW表示涡旋电场的电场强度，W为闭合
B
d m L 2 2 dB 该回路感 Ek dl R L / 2 应电动势 l dt 2 dt
2
A B o 由于 E dl Ek dl Ek dl Ek dl
o 而辅助线上 的积分o Ek dl B Ek dl 0
和 都是标量，其方向要与预
d n dt
例14-1 ，截面
如下图所示，环形螺线管n=5000匝/米
S 2 103 米2
dI 20安培 / 秒 dt
。在环上再绕一线圈A，N=5匝，R=2.0欧姆
求：（1）A中
i
I i ；（2）2秒内通过A的电量 q
?
三、感应电动势(induction electromotive force) 1. 动生电动势
r
dr b
kb a ka2b I di rdr 2 0 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例5：在半径为R 的圆柱形空间存在均匀磁场 B, 其随时间的变化率dB/dt 为常数， 求磁场中静止金属棒上的感应电动势。 dB/dt R o 解：自圆心作辅助线，与金属 S 棒构成三角形， L 2 A 2 S R L / 2 其面积为 S： 2 L BL 2 R 2 L / 2 过S的磁通量为 Φm
i
0 I 0v l0 l1
ln 2π l0
wt sin wt cos wt
本题是既有感生电动势又有动生电动势的 例子，上式中第一项为感生电动势，第二项 为动生电动势。若令t ＝0，则仅有动生电动 势一项。
§11-2 互感和自感
一、互感现象 (mutual induction phenomenon) 互感现象：一个线圈中电 B2 流发生变化会在周围空间产 B1 生变化的磁场，使处于此空 I1 I2 间的另一个线圈中产生感应 电动势。 12=M12I1；M12是线圈1对线圈2的互感系数，
dB d E dl dS l s dt B 与盘面垂直 dB 2 d S k π r 且dB/dt=k dt s
r 圆环电阻和感应电流为：
dB/dt
a
dr
b
2π r kb dR ; di rdr bdr 2
整个圆盘上的感应电流为：
二、电磁感应定律 导体回路中感应电动势的大小与 穿过该回路的磁通量的时间变化 率成正比。 负号反映感应电动势的方向， 是 楞次定律的数学表现 先设定的标定方向比较而得；规 定两个标定方向满足右螺旋关系
• 如果回路有n匝线圈，各匝为 • 1,2,…,n，那么 =1 + 2 + … + n • 如果每匝 都相等于，则 n
d E d l 2 W L 在r<R区域作圆形回路=r B, dt
回路各点上EW的大小都相等，方向沿圆周的切线。 1 dB 1 dB r 解得: EW = r 2rEW = r2 dt 负号表示涡旋电场实际方向与标定方向相反，即
2 dt
2
沿逆时针方向。
在r>R区域作圆形回路，磁通量为=R2B
回路中产生的感生电动势
W
b
L
EW dl
感生电动势的产生同样不要求电路闭合，对于
处于涡旋电场EW中的一段导线ab中产生的感生电
动势可以表示为
dΦ B L EW dl dt S t dS
一般情况下空间可能同时存在静电场EC和涡旋
W
第十一章 电与磁的相互作用 和相互联系
• 熟悉电磁感应现象； • 掌握电磁感应定律、 感应电动势； • 掌握互感现象、 自感现象、 *磁场的能量。
•
§11-1
•
电磁感应及其基本规律
一、电磁感应现象 (electromagnetic induction phenomenon
•
磁场相对于线圈或导体回路改变大小或方向， 会在回路中产生电流，并且改变得越迅速， 产生的电流越大
•
导体回路相对于磁场改变面积和取向会在回 路中产生电流，并且改变得越迅速，产生的 电流越大。
• 共同特征： 穿过回路所围面积内的磁通量发生了变化 • 只要穿过导体回路的磁通量发生变化，该 导体回路中就会产生电流。
• 由磁通量的变化所引起的回路电流称为感 应电流。在电路中有电流通过，说明这个 电路中存在电动势，由磁通量的变化所产 生的电动势称为感应电动势。
周变压器,输入输出变压器,电压互感器,电流互感器。 互感危害：电路间互感干扰。
二、自感现象 (self-induction phenomenon) 自感现象：当一个线圈中的电流变化时，激发的 变化磁场引起了线圈自身的磁通量变化，从而在线 圈自身产生感应电动势。 所产生的感应电动势称为自感电动势。 过线圈的磁通量与线圈自身电流成正比：

L
E dl ( E ) dS
S S
涡旋电场在变化磁场周围空间产生，不管是真 空、电介质还是导体；但感生电动势必须在导体 中才能产生，同样不要求导体是闭合电路。
B 电磁感应定律的微分形式 E t

( E ) dS
R r O B
r
例3：金属杆以速度v平行于长直导线移动，求 杆中的感应电流多大，哪端电势高？
v 解:建立坐标系如图，取积分元 I dx dx , 由安培环路定理知在dx处磁 x d L 感应强度为： 0 I B 因为：V B ; V B // dx 2 πx
导体在磁场中运动所产生的感应电动势 作用于自由电子的洛伦兹力f=evB是 提供动生电动势的非静电力，洛仑兹力 等效为一个非 静电性场对电子的作用。 该力所对应的非静电性电场就是作用于 单位正电荷的洛伦兹力。
表示方向与积分路径方方向相同
L长为
• 例14-3 如图所示，长为 的金属棒 在一根无限长 的通有恒定电流 的导线 旁，以平行于长直导线 的速度 向上匀速运动， 金属棒 的 端离长直导线 的距离为 ，求：金属棒 AB中的动生电动势及 两 端的电压 。
解： 无限长直导线在离开它的距离 处产生的磁场大小为 I B 0 2x
• 方向垂直纸面向里，长为 的金属棒 上的任一元段的元电动势为
I d i (v B)dx vdv 2 x 由右旋关系， d 由 B 指向 A ，所以 i
i
0 I 0 I d l i d i vdx v ln( ) d l 2 x 2 d
d
的指向是从B到A，也就是A点的电势比B点高，即
0 I al U A UB v ln( ) 2 a
2. 感生电动势 导体不动，而由于磁场的大小或方向变化所产生 的感应电动势，称为感生电动势。变化的磁场能够 在空间激发一种电场，称为涡旋电场或感应电场， 不是保守场，是非静性电场，产生感生电动势。 静电场
S
B dS t
例2：半径为R的柱形区域匀强磁场，方向如图。 磁感应强度B的大小正以速率(=dB/dt)在增加， 求空间涡旋电场的分布。
解: 取沿顺时针方向作为感生电动势 和涡旋电场的标定方向，磁通量的标 定方向则垂直于纸面向里。
R r O B
为21，并且21正比于I2，21 = M21 I2 ,
电 流 I2 变 化 ， 1 中
产生感应电动势
d I2 1 = M 21 dt
2和1称为互感电动势，方向可按照楞次定律确定。
理论和实验都可以证明 M21 = M12。
当线圈内或周围空间没有铁磁质时，互感M由线圈的 几何形状、大小、匝数和相对位置所决定，若存在非铁磁