金湖二中高二数学期末复习(选修11)

金湖二中高二数学期末复习（选修1-1）
学号 姓名
一、选择题（5分×10=50分） 1、“ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2、已知23)(23++=x ax x f ，若,4)1('=-f 则a 的值为 （ ） A.
319 B.310 C.313 D.3
16 3、椭圆136
1002
2=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么P 点到椭圆的右焦点的距离是
A.15
B.12
C.10
D.8 （ ）
4、双曲线13
22
=-y x 的两条渐近线所成的锐角是 ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
5、抛物线y 2=4px （p ＞0）上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴距离为 ( ) A.a －p B.a+p C.a －
2
p
D.a+2p 6、已知21,F F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆周长是
A.a 2
B.a 4
C.a 8
D.b a 22+ ( )
7、椭圆
19
162
2=+y x 的内接矩形的面积的最大值是 ( ) A. 48 B.36 C.24 D.12
8、.直线x －y －1=0与焦点在y 轴上的双曲线x 2－y 2=m 的交点在以原点为中心、边长为2且边分别平行于两坐标轴的正方形内，则m 的取值范围是 ( ) A.－1<M<1 B.M >－1 C.m<0 D.－1<m<0
9、.我们把离心率e =的椭圆叫做“优美椭圆”。

设椭圆22221x y a b
+=为优美椭圆，F 、A 分别是它的右焦
点和左顶点，B 是它短轴的一个端点，则ABF ∠等于 （ ）
A. 60
B.75
C.90
D. 120
10、一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，他的方程是)200(22
≤≤=y y x ，在杯内放入一个玻璃球，要使球
触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的范围为 ( )
A.10≤<r
B.10<<r
C.20≤<r
D.20<<r 二、选择题（6×5分=30分）
11、动点P 到直线x+4=0的距离减去它到M （2，0）的距离之差等于2，则点P 的轨迹方程是 .
12. 已知F P ),1,4(-为抛物线x y 82=的焦点，M 为此抛物线上的点，且使MF MP +的值最小，则M 点的坐标为
13.焦点在y 轴上,且焦点到一条渐进线097=-y x 的距离为9的双曲线方程为
14.已知过抛物线的焦点F 的直线与抛物线相交于B A ,两点, 点B A ,在抛物线的准线上的射影分别为11,B A ,则=∠11FB A ________________
15、函数2100)(x x f -=，当86≤≤-x 时的最大值为 ，最小值为 16、若方程m x x +=-42无实数解,则m 的取值范围是______________
三、解答题（本大题共5小题，共计70分.解答题要求有必要的文字说明或推理证明过程）
17、（本小题满分12分）（1）求曲线422
3+-=x x y 在2=x 处的切线方程；
（2）求曲线x x y cos 32-=
在6
π
=x 处的切线方程。

18、（本小题满分14分）求与双曲线13
52
2=-y x 有公共近渐线，且焦距为8的双曲线方程。

19、（本小题满分14分）已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点,而且与x 轴垂直.
又抛物线与此双曲线交于点)6,2
3
(-,求抛物线和双曲线的方程.
20、（本小题满分14分）已知函数a x x x x f +++-=93)(2
3 （1）求函数的单调递减区间；
（2）若)(x f 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

(理科生做)已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f （1）设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式；
（2）设)()()(x f x g x h λ-=，试问：是否存在实数λ，使)(x h 在)1,(--∞内为减函数，且在)0,1(-内为增函数。

21、（本小题满分16分）已知定点)0)(,0(>p p A 和长度为p 2的线段MN ，当线段MN 在x 轴上滑动时，设
θ=∠==MAN l AN l AM ,,21
（1）求MAN ∆的外接圆圆心C 的轨迹方程；
（2）当MAN ∆的外接圆圆心C 在上述轨迹上运动时，能否使θ为钝角？若能，试求出C 点相应的运动范围或位置；若不能，是说明理由。

（3）求1
2
21l l l l +的最大值。

高二数学试卷答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
B
B
C
A
B
D
D
C
A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11、x y 82
= 12、1(,1)8- 13、
181
492
2=-x y 14、0
90 15、24+a ，24-a . 16、20<≤m 三、解答题（本大题共5小题，解答题要求有必要的文字说明或推理证明过程）
17、（本小题满分12分）（1）求曲线422
3+-=x x y 在2=x 处的切线方程；
（2）求曲线x x y cos 32-=
在6
π
=x 处的切线方程。

解：（1）2=x 时，4=y ，即切线过点)4,2(，
又因为x x y 43'2
-=，所以切线斜率4=k ，
所以切线方程为：44-=x y
（2）6
π
=
x 时，2
3
9
-
=
π
y ，即切线过点)239,6(-ππ
又因为x y sin 32'+=
，所以切线斜率6
7
=k 所以切线方程为：2
3
1267-
-=
πx y 18、（本小题满分14分）求与双曲线1352
2=-y x 有公共近渐线，且焦距为8的双曲线方程。

解：因为双曲线13522=-y x 的近渐线方程为x y 5
15
±=， ①当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设所求双曲线的方程为)0,(122
22>=-b a b
y a x ，
因为所求双曲线与已知双曲线有公共近渐线，所以
5
15
=
a b 又因为82=c 且2
22c b a =+，解得6,10=
=b a
所以双曲线方程为
16
102
2=-y x ②当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设所求双曲线的方程为)0,(122
22>=-b a b
x a y ，
因为所求双曲线与已知双曲线有公共近渐线，所以
5
15
=
b a 又因为82=
c 且2
22c b a =+，解得10,6==
b a
所以双曲线方程为
110
62
2=-x y 综上可知，双曲线的方程为
161022=-y x 或110
62
2=-x y 19、（本小题满分14分）已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点,而且与x 轴垂直.
又抛物线与此双曲线交于点)6,2
3
(-
,求抛物线和双曲线的方程. 解：由题意可设抛物线方程为)0(22
>-=p px y 因为抛物线图像过点)6,23(-
，所以有)2
3
(26-⨯-=p ，解得2=p 所以抛物线方程为x y 42
-=，其准线方程为1=x
所以双曲线的右焦点坐标为（1，0）即1=c 又因为双曲线图像过点)6,2
3
(-
， 所以有1649
2
2=-b
a 且122=+
b a ，解得43,4122==b a 或8,92
2-==b a （舍去） 所以双曲线方程为14
3412
2=-y x 20、（本小题满分14分）
（文科生做）已知函数a x x x x f +++-=93)(2
3
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若)(x f 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

(理科生做)已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f （1）设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式；
（2）设)()()(x f x g x h λ-=，试问：是否存在实数λ，使)(x h 在)1,(--∞内为减函数，且在)0,1(-内为增函数。

解：（文科生题）（1）因为963)('2++-=x x x f ，令0)('<x f ，解得1-<x 或3>x ， 所以函数的单调递减区间为),3(),1,(+∞--∞
（2）因为963)('2++-=x x x f ，且在)3,1(-上0)('>x f ，
所以)3,1(-为函数的单调递增区间，而,2218128)2(a a f +=+++-=
a a f +=+-+=-218128)2(，所以)2()2(->f f
所以)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值 于是2022)2(=+=a f ，所以2-=a ，
所以7)1(-=-f ，即函数在区间[]2,2-上的最小值为7- (理科生题)（1）由题意得
c x x f c c x c x f x f f ++=+=++=+=222222)1()1()()()]([，所以1=c ，
从而1)1()]([)(,1)(2
2
2
++==+=x x f f x g x x f （2）)2()2()()()(2
4
λλλ-+-+=-=x x x f x g x h 若满足条件的λ存在，则x x x h )2(24)('3
λ-+=
因为)(x h 在)1,(--∞内为减函数，所以，0)('<x h 对)1,(--∞∈x 恒成立
所以0)2(24)('3
<-+=x x x h λ，解得4≤λ
又因为)(x h 在)0,1(-内为增函数，所以，0)('>x h 对)0,1(-∈x 恒成立
所以0)2(24)('3
>-+=x x x h λ，解得4≥λ
综上可知，存在这样的实数4=λ，使)(x h 在)1,(--∞内为减函数，且在)0,1(-内为增函数。

21、（本小题满分16分）已知定点)0)(,0(>p p A 和长度为p 2的线段MN ，当线段MN 在x 轴上滑动时，设
θ=∠==MAN l AN l AM ,,21
（1）求MAN ∆的外接圆圆心C 的轨迹方程；
（2）当MAN ∆的外接圆圆心C 在上述轨迹上运动时，能否使θ为钝角？若能，试求出C 点相应的运动范围或位置；若不能，是说明理由。

（3）求
1
2
21l l l l +的最大值。

解：（1）设圆心C 的坐标为),(00y x ，过C 作x CT ⊥轴于T ，则T 为线段MN 的中点， 则)0,(),0,(),0,(000p x N p x M x T +-且0y CT = 因为C 位MAN ∆的外接圆圆心，所以MC AC = 所以2022020)(y p p y x +=-+，即02
02py x = 所以MAN ∆的外接圆圆心C 的轨迹方程为py x 22
= （2）θ不能为钝角。

因为圆心C ),(00y x 在曲线py x 22=上运动，所以0202
0≥=py x ，所以00≥y 当00=y 时，圆心在x 轴上，所以线段MN 为直径，所以0
90=θ； 当00>y 时，C A ,点在弦MN 的同侧，所以0902
1
<∠<∠=MCN MAN θ 综上可知，θ不能为钝角。

（3）θθθcos 24cos 2cos 22
12
2
12
2
1212
2
12
2
211221+=+=
+=+=+l l p l l MN l l l l MN l l l l l l l l
又因为2
21221sin 21p p p l l S AMN
=∙∙==∆θ，所以θ
sin 2221p l l = 所以
)4
sin(22cos 2sin 21221π
θθθ+=+=+l l l l 又因为0
900≤<θ，所以0
45=θ时，1
2
21l l l l +能取到最大值为22。