2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合(考察证明、长度与面积、动点问题等)(五)

2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合
（考察证明、长度与面积、动点问题等）（五）
1．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点，与BC边交于点E，点D 为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F．AB＝BF，CF＝4，DF＝．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径r；
（3）设点P是BA延长线上的一个动点，连接DP交CF于点M，交弧AC于点N（N与A、C不重合）．试问DM•DN是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是．请说明理由．
2．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，C是⊙O上一点，D是的中点，过点D作⊙O的切线与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）填空：
①当BE＝时，点C是AF的中点；
②当∠E＝时，四边形OBDC是菱形．
3．如图1，直线l与圆O相交于A，B两点，AC是圆O的直径，D是圆上一点．DE⊥l于点E，连接AD，且AD平分∠CAE．
（1）求证：DE是圆O的切线．
（2）若DE＝3，AE＝，求圆O的半径．
（3）如图2，在（2）的条件下，点P是弧AB上一点，连接PC，PD，PB，问：线段PC、PD、PB之间存在什么数量关系？请说明理由．
4．【问题情境】如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．
求证：．（说明：S表示面积）
请以“问题情境”为基础，继续下面的探究
【探究应用1】如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．
【探究应用2】如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．
【迁移拓展】如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC＝2；
（1）利用尺规过点A作⊙O的切线AD（点D在直线AB右侧），且AD＝AB，连接OD交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）条件下，
①求证：OD∥BC；
②连接BD交⊙O于点F，求证：DE•OD＝DF•BD．
6．如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AD为⊙O的直径，AD与BC相交于点F，DE为⊙O 的切线，交AC的延长线于E
（1）求证：∠E＝∠B；
（2）如图2，若∠CFD＝3∠DAE，求证：AC＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AG⊥BC于点G，AG的延长线交BD于点H，点H为BD的中点若CE＝1，求FG的长．
7．如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．
（1）⊙O的半径为．
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）如图2，作⊙O的直径AE，连接DE交BC于点F，连接AF，求AF的长．
8．如图，AB为⊙O的直径，点D是⊙O上一动点，过点B作⊙O的切线，连接AD并延长，交过点B的切线于点C，点E是BC的中点，连接DE，OD
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）当∠A＝度时，四边形OBED为正方形；
（3）连接OE交⊙O于点F，连接DF，若OA＝2，BC＝时，四边形ADFO为菱形．
9．已知点A 、B 在⊙O 上，∠AOB ＝90°，OA ＝
， （1）点P 是优弧上的一个动点，求∠APB 的度数；
（2）如图①，当tan ∠OAP ＝﹣1时，求证：∠APO ＝∠BPO ；
（3）如图②，当点P 运动到优弧
的中点时，点Q 在上移动（点Q 不与点P 、B 重合），若△QPA 的面积为S 1，△QPB 的面积为S 2，求S 1+S 2的取值范围．
10．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE
（1）若AD ＝7，BD ＝1，分别求DE ，CE 的长
（2）如图2，连结CD ，若CE ＝3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD
（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD ＝∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心
①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数
②设PC ＝a ，PF ＝b ，PD ＝c ，若（a ﹣c ）（b ﹣c ）＝8，求△CPF 的内切圆半径长．
参考答案1．（1）证明：如图1，连接OA，OD，
∵D为为CE的下半圆弧的中点，EC为⊙O直径，∴＝，
∴∠EOD＝∠COD＝×180°＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝∠DFO，
∴∠BAF+∠OAD＝∠DFO+∠ODA＝90°，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
由（1）知，∠EOD＝90°，
在Rt△OFD中，
OD＝r，OF＝4﹣r，DF＝，
∴r2+（4﹣r）2＝（）2，
解得，r
1＝1（舍去），r
2
＝3，
∴⊙O半径为3；
（3）如图2，连接CN，CD，
在Rt△OCD中，OC＝OD＝r＝3，DC＝＝3，
∵＝，
∴∠ECD＝∠DNC，
又∵∠CDN＝∠CDN，
∴△DCM∽△DNC，
∴＝，
∴DM•DN＝DC2，
∵DC2＝（3）2＝18，
∴DM•DN为定值，该定值为18．
2．解：（1）连接OD，BD，BC，
∵ED为⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∵D是的中点，
∴OD⊥BC，
∴EF∥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴AF⊥EF；
（2）①当BE＝4时，
由（1）知，BC∥EF，当AB＝BE时，AC＝CF，∴当BE＝4时，点C是AF的中点，
故答案为：4；
②当∠E＝30°时，四边形OBDC是菱形．
如图，∵EF是⊙O的切线，
∴∠ODE＝∠F＝90°，
∴∠DOE＝∠COA＝60°，
∵OD＝OB＝OC＝OA，
∴△ODB，△AOC为等边三角形，
∴∠COA＝∠DOB＝60°，
∴∠COD＝60°，
∴△COD为等边三角形，
∴OB＝BD＝OD＝CD＝OC，
∴四边形OBDC是菱形；
故答案为：①4；②30°．
3．（1）证明：如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAE，
∴∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠DAE．
∴DO∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连结CD，
∵∠AED＝90°，DE＝3，AE＝，
∴AD＝＝2，∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC＝90°，
而∠AED＝90°，
又∵∠CAD＝∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴，
∴，
解得AC＝4．
∴⊙O的半径2；
（3）解：PC＝PD+PB，理由如下：
连接PB、DB，
在CP上截取PB＝PF，连接BF、BC，
∵，DE＝3，
∴，
∴∠DAE＝60°，
由（2）可知∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠CPB＝∠CAB＝60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴PB＝BF，∠PFB＝60°，
∴∠DPB＝∠DPC+∠BPC＝60°+60°＝120°，∠CFB＝120°，在△PBD和△FBC中，，
∴△PBD≌△FBC（AAS），
∴CF＝DP，
∴PC＝PF+CF＝PD+PB．
4．【问题情境】
证明：作EF⊥BC于F，如图1所示：
则S
△BCE ＝BC×EF，S
平行四边形ABCD
＝BC×EF，
∴．
【探究应用1】
解：连接OH，如图2所示：
∵⊙O与BC边相切于点H，
∴OH⊥BC，OH＝AD＝3，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝6×3＝18，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥BD，
∴△ABD的面积＝BD×AM＝平行四边形的面积＝9，
即xy＝9，
∴y与x之间的函数关系式y＝；
【探究应用2】
证明：作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如图3所示：
同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝平行四边形ABCD的面积，
∴AF×BM＝CE×BN，
∵AF＝CE，
∴BM＝BN，
∴BG平分∠AGC．
【迁移拓展】
解：作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，如图4所示：
∵平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，
∴∠ABP＝60°，
∴∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，
∴BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，
∵E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，
∴BE＝2x，BF＝2x，
∴BQ＝x，
∴EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，
由勾股定理得：AF＝＝2x，CE＝＝x，
连接DF、DE，则△CDE的面积＝△ADF的面积＝平行四边形ABCD的面积，∴AF×DG＝CE×DH，
∴DG：DH＝CE：AF＝x：2x＝：2．
5．解：（1）作图所示，
（2）∵AB为⊙O直径，且点C在⊙O上，AD＝AB ∴tan∠AOD＝2，
∵∠C＝90°
∵tan∠ABC＝2，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC
∴∠AOD＝∠ABC
∴OD∥BC；
②连接AF
∵OD∥BC，
且∠C＝90°
∴∠AED＝90°
∵∠ADO＝∠ADE
∴△ADO∽△ADE，
∴即AD2＝DO•DE，
∵AB为⊙O直径，且点F在⊙O上即∠AFB＝90°，∵∠BAD＝90°且∠ADB＝∠ADF
∴△ABD∽△FAD，
∴即AD2＝BD•DF，
即DO•DE＝BD•DF．
6．（1）证明：如图1，连接BD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，即∠ABC+∠CBD＝90°，
∵AD为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，
∴∠ADE＝90°，即∠DAE+∠E＝90°，
∵∠CBD＝∠DAE，
∴∠E＝∠B；
（2）证明：如图2，连接OB、OC，
∵∠CFD＝3∠DAE，∠CFD＝∠ACF+∠DAE，
∴∠ACF＝2∠DAE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠OAC，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴AC＝BC；
（3）如图3，作OM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接CD，∵OM⊥BC，
∴BM＝CM，
∵AG∥OM∥DN，OA＝OD，
∴GM＝MN，
∵GH∥DN，BH＝HD，
∴BG＝GN，
设MG＝MN＝a，则BG＝GN＝2a，
∴CG＝4a，BC＝6a，
由（2）得，AC＝BC＝6a，
∴AG＝＝2a，
tan∠BAG＝＝，
∵∠HBG＝∠BAG，
∴＝，
∴AG＝5GH，
∵DN＝2GH，
∵AG∥DN，
∴＝＝，
同理可得，AC＝CD，CD＝CE，
∴CB＝CA＝5，
∴GN＝BC＝，
∴GF＝GN＝．
7．（1）解：如图1，连接OB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
故答案为：4；
（2）证明：如图1，连接OC，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴四边形OBAC为菱形，
∴OC∥BD，
∵CD⊥AB，
∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；
（3）解：如图2，连接BE，
∵＝，
∴OA⊥BC于H，
∵∠ABC＝30°，
∴AH＝AB＝2，
由勾股定理得，BH＝＝2，∴BC＝2BH＝4，
在Rt△BDC中，∠ABC＝30°，
∴CD＝BC＝2，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠EBA＝90°，
∴BE＝AB•tan∠BAE＝4，
∵∠DBE＝∠BDC＝90°，
∴CD∥BE，
∴＝＝2，
∠DAC＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴DA＝AC＝AB，
∴＝，
∴AF∥CD，
∴＝＝，即＝，
解得，AF＝．
8．（1）证明：连接BD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵在Rt△BDC中，点E是BC的中点，∴DE＝BE＝CE＝BC，
∴∠DBE＝∠BDE，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠DBE+∠OBD＝∠BDE+∠ODB，
即∠OBE＝∠ODE，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O切线；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝90°，
由（1）得：∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形OBED是矩形，
又∵OB＝OD，
∴四边形OBED为正方形；
故答案为：45°；
（3）解：∵四边形ADFO为菱形，
∴OA＝AD，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ABC＝90°，AB＝2OA＝4，
∴BC＝AB＝4；
故答案为：4．
9．（1）解：∵∠AOB＝90°，
∴∠APB＝∠AOB＝45°，
（2）证明：过点O作OC⊥PA于C，在CA上截取CD＝OC，如图①所示：∵，
∴，
即AC＝OC，
∵CD＝OC，
∴AD＝AC﹣CD＝（+1）OC﹣OC＝OC
∵∠OCD＝90°，OC＝CD，
∴OD＝OC，∠CDO＝45°，
∴AD＝OD，
∴∠A＝∠DOA，
∵∠A+∠DOA＝∠CDO＝45°，
∴∠A＝22.5°，
∵OP＝OA，
∴∠APO＝∠A＝22.5°，
∵∠APB＝45°，
∴∠BPO＝∠APB﹣∠APO＝22.5°，
∴∠APO＝∠BPO；
（3）解：连接AB，连接PO并延长交AB于E，则PE⊥AB，把△PBQ沿着PQ翻折得△PB′Q，如图②所示：
则PB′＝PB＝PA，∠PQB＝∠PQB′，S
2＝S
△QPB
＝S
△QB'P
，
∵∠AQP＝∠ABP，∠ABP＝∠PAB，∴∠AQP＝∠PAB，
∵四边形PABQ内接于⊙O，
∴∠PAB+∠PQB＝180°，
∴∠AQP+∠PQB′＝180°，
∴点A、Q、B′三点共线，
∵S
1+S
2
＝S
△QPA
+S
△QB'P
＝S
△PAB
'，
∴S
1+S
2
＞0当且仅当PA⊥PB′时，S
1
+S
2
有最大值，
在Rt△PAE中，AE＝1，PE＝，PA2＝AE2+PE2＝4+2，∴，
∴0＜S 1+S 2≤．
10．解：（1）由图可知：
设BC ＝x ．在Rt △ABC 中，AC ＝BC ．由勾股定理得： AC 2+BC 2＝AB 2，
∵AB ＝AD +BD ，AD ＝7，BD ＝1，
∴x 2+x 2＝82，
解得：x ＝．
∵⊙O 内接四边形，∠ACD ＝90°，
∴∠ADE ＝90°，
∴∠EDB ＝90°，
∵∠B ＝45°，
∴△BDE 是等腰直角三角形．
∴DE ＝DB ，
又∵DB ＝1，
∴DE ＝1，
又∵CE＝BC﹣BE，
∴CE＝．
（2）如图所示：
在△DCB中过点D作DM⊥BE，设BE＝y，则DM＝y，
又∵CE＝3，∴BC＝3+y，
∵S
＝S ACD+S DCB，
△ACB
∴
解得：y＝2或y＝﹣11（舍去）．
∴EM＝1，
CM＝CE+ME＝1+3＝4，
又∵∠BCD＝∠MCD，
∴tan∠BCD＝tan∠MCD，
在Rt△DCM中，tan∠MCD＝＝，
∴tan∠BCD＝．
（3）①如下图所示：
作∠DPF＝∠DPC，使PF与BC的延长线相交于点F，连接DF，OD，OC．
由（1）可知，ED⊥AB，
∴∠EDC+∠CDO+∠ODA＝90°，
又∵在⊙O中，∠COD与∠CAD是弦CD对的圆心角与圆周角，
∴∠COD＝2∠CAD，
又∵∠CAD＝45°，
∴∠COD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠CDO＝45°，
∴∠EDC+∠ODA＝45°，
∴∠CDE+∠BDF＝45°，
又∵∠CDF＝∠CDE+∠EDB+∠BDF＝90°+45°＝135°，
即∠CDF的度数为135°．
②如下图所示
过点D分别作DK⊥PC，DM⊥CF，DN⊥PF于直线PC，CF和PF于点K，M，N三点，设△PCF内切圆的半径为m，则DN＝m，
∵点D是△PCF的内心，
∴DM＝DN＝DK，
又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC＝180°，∠FDC＝45°，
∴∠DCF+∠CFD＝45°，
又∵DC，DF分别是∠PCF和∠PFC的角平分线，
∴∠PCF＝2∠DCF，∠PFC＝2∠DFC，
∴∠PCF+∠PFC＝90°，
∴∠CPF＝90°．
在四边形PKDN中，∠PND＝∠NPK＝∠PKD＝90°，
∴四边形PKDN是矩形，
又∵KD＝ND，
∴四边形PKDN 是正方形．
又∵∠MBD ＝∠BDM ＝45°，
∠BDM ＝∠KDP ，
∴∠KDP ＝45°．
∵PC ＝a ，PF ＝b ，PD ＝c ，
∴PN ＝PK ＝
， ∴NF ＝，CK ＝，
又∵CK ＝CM ，FM ＝FN ，CF ＝CM +FM ，
∴CF ＝，
又∵S △PCF ＝S △PDF +S △PDC +S △DCF ， ∴
c ）×， 化简得：ab ＝
﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅰ）， 又∵若（a ﹣
c ）（b ﹣c ）＝8 化简得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）， 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2＝8， 解得：，或（舍去）， ∴m ＝，
即△CPF 的内切圆半径长为2．。