21.2.2公式法-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步课件+练习(人教版)

人教版数学九年级上册
（2）b2-4ac=0时，
b 2 4ac
=0 ，由①可知，方程有两个相等的实数根
这时
2
4a
（3）b2-4ac＜0时，
b
x1 x2
2a
2
b

b 4ac
这时
＜0 ，而x取任何实数
＜0 ，由①可知 x

2
2a
4a

2
b

都不能使 x ＜0 ，因此方程无实数根.
根,求m的取值范围.
解：由题意得:Δ＞0且m2≠0.
即 (2m+1)2-4m2＞0且m≠0
解得：m＞-1/4且m≠0.
拓展训练
人教版数学九年级上册
2.已知关于x的一元二次方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)．求证：方
程一定有两个实数根．
证明：方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)，
其中a=k，b=k+3，c=3，
5
小试牛刀
人教版数学九年级上册
1．用公式法解方程 4x 2－12x=3，得到（ D
3 6
A．x=
2
3 6
B．x=
2
3 2 3
C．x=
2
3 2 3
D．x=
2
）．
小试牛刀
人教版数学九年级上册
2.不解方程，判别下列方程的根的情况.
(1)x2-6x+1=0 (2)2x2-x+2=0 (3)x2-4x+4=0 (4)(x-2)2+3=1
(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号.
(3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解.
(4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.
课后作业
人教版数学九年级上册
1.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ B ）
A．x2+6x+9=0
B．x2=x
C．x2+3=2x
D．（x﹣1）2+1=0
解：(1)Δ=(-6)2-4×1×1=32＞0 ∴方程有两个不相等的实数根.
(2)Δ=(-1)2-4×2×2=-15＜0 ∴方程无实根.
(3)Δ=(-4)2-4×1×4=0 ∴方程有两个相等的实数根.
(4)原方程可化为(x-2)2=-2
∵-2＜0
∴方程无实根.
课堂检测
人教版数学九年级上册
1.下列方程无实数根的方程是( B ).

x
2 11
2

1
2a
即 x1 2 11，x2 2 11
典例精析
人教版数学九年级上册
例2 用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2 x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x
解：(3) 方程化为5x2-4x-1=0.
(4) 方程化为x2-8x+17=0.


x
2 1
2
2a
方程有两个不等的实数根
即 x1 2，x2 3
b b 2 4ac 6 60 6 2 15
x


2a
23
6
即 x1
3 15
3 15
，x2
3
3
拓展训练
人教版数学九年级上册
1.关于x的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等的实数
(2)3x2-6x=2
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
(2)方程化为3x2-6x-2=0.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
a=3，b=-6，c=-2.
方程有两个不等的实数根
Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0
b b 2 4ac 1 25 1 5
2a

2
小结归纳
人教版数学九年级上册
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的
判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即
①
互动新授
人教版数学九年级上册
∵a≠0,4a2>0， 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
（1）b2-4ac＞0时，
b 2 4ac
＞0 ，由①得
这时
2
4a
方程有两个不等的实数根
b
b2 4ac
x

.
2a
2a
互动新授
人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册
第21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
人教版数学九年级上册
复习引入
人教版数学九年级上册
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系
数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这
种解一元二次方程的方法叫做公式法.
典例精析
人教版数学九年级上册
例2 用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2 x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x
解：(1) a=1，b=-4，c=-7.
(2) a=2，b=-2 ，c=1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0
Δ=b2-4ac=(-2 )2-4×2×1=0
方程有两个不等的实数根
方程有两个相等的实数根
b
2 2
2
x1 x2
=

2a
2 2
2
b b 2 4ac (4) 44
∴Δ=b2-4ac=(k+3)2-4×3k=k2-6k+9=(k-3)2，
∴方程有两个相等的实数根或者不相等的两个实数根，
即方程一定有两个实数根．
课堂小结
人教版数学九年级上册
1.由配方法解一般的一元二次方程 若b2-4ac≥0得
求根公式 :
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.
复习引入
人教版数学九年级上册
用配方法解下列方程：
x2-2x-8=0
解：移项，得x2-2x=8,
配方，得x2-2x+12=8+12 ,
即(x-1)2=9
由此可得x-1=±3
x1=-2,x2=4.
互动新授
人教版数学九年级上册
探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0).(Ⅲ)
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程
左边化为一个完全平方式，右边为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一
元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根.
x1
(2)2x2+x-6=0
x1 2，x2
(3)x2+4=3x
原方程无实根
(4)5x2-3x=x+1
x1 1，x2
(5)x2-6x+13=4
x1=x2=3
1
5
3
2
人教版数学九年级上册
谢谢聆听
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0Βιβλιοθήκη 方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；
方程无实数根.
小结归纳
人教版数学九年级上册
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为
b b 2 4ac
x
2a
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程
a=5，b=-4，c=-1.
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0
方程有两个不等的实数根
方程无实数根 .
b b 2 4ac (4) 36 4 6
即x


2a
25
10
1
x1 1，x2
2

5

5
4 3 1 是下列哪个一元二次方程的根（ D ）
2.4-3 x=
23
A．3x2+5x+1=0
B．3x2﹣5x+1=0
C．3x2﹣5x﹣1=0
D．3x2+5x﹣1=0
课后作业
人教版数学九年级上册
3.利用公式法解下列一元二次方程
3 13
3 13
，x2
2
2
(1)x2-3x-1=0
A.2x2-3x-5=0
B.x2+2x+2=0
C.x2-4x=0
D.x2-4=0
2.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,
则k的取值范围是( B )
A.k＞-1
B.k＞-1且k≠0
C.k＜1
D.k＜1且k≠0
课堂检测
人教版数学九年级上册
3.用公式法解下列方程：
(1)x2+x-6=0