平面与平面平行的判定

D1 A1 B1
C1
证明： 证明： D C 是正方体, ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体 A B ∴D1C1//A1B1，D1C1=A1B1, AB//A1B1，AB=A1B1, ∴D1C1//AB，D1C1=AB, ， 四边形D 为平行四边形, ∴四边形 1C1BA为平行四边形 同理 1B1//平面 1BD, 为平行四边形 同理D 平面C 平面 ∴ D1A//C1B, 又D1A ID1B1=D1, 平面C 又D1A ⊄ 平面 1BD， ， D1A ⊂平面 1D1 , 平面AB C1B ⊂ 平面C 平面 1BD， ， D1B1 ⊂平面AB1D1, 平面 平面C ∴D1A//平面 1BD, 平面 平面AB 平面C ∴平面 1D1//平面 1BD. 平面
2.2平面与平面平行的判定
复习回顾： 复习回顾：
到现在为止, 1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢? 与平面平行的方法呢? 定义法； （1）定义法； 直线与平面平行的判定定理： （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行． 线平行，则该直线与此平面平行．
D1 C1
A1
B1 E
F D A
G C B
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× × × √
直线的条数不是关键
直线相交才是关键
判断下列命题是否正确，并说明理由． 判断下列命题是否正确，并说明理由． 平行， （1）若平面 α 内的两条直线分别与平面β 平行，则α ） 平行； 与 β 平行； × 平行， （2）若平面α 内有无数条直线分别与平面β 平行，则 ） α与 β 平行；× 平行； （3）平行于同一直线的两个平面平行； × ）平行于同一直线的两个平面平行； （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 ）两个平面分别经过两条平行直线， 行； × （5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 ）过已知平面外一条直线， 行的平面． 行的平面．×
探究： 探究： 1）、若 β 内有一条直线 a与 α 平行， （
则 β 与 α 平行吗？
（1）中的平面α， 中的平面 ， β不一定平行。 不一定平行。 不一定平行 如图， 如图，借助长方 体模型， 体模型，平面 ABCD中直线AD平 中直线AD ABCD中直线AD平 行平面BCC ， BCC'B 行平面BCC B'， 但平面ABCD ABCD与平 但平面ABCD与平 BCC'B 不平行 不平行。 面BCC B'不平行。
探究： 探究：
（2）、若 β 内有两条直线 a、b分别与 α 平行 , 则β 与α平行吗？
如果平面β内的两条直线是平行直线， 如果平面β内的两条直线是平行直线，平面 与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ， α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ， AD∥平面BCC’B ，PQ∥BCC’B ，但平面ABCD 平面BCC ABCD与 AD∥平面BCC B’，PQ∥BCC B’，但平面ABCD与 平面BCC 不平行 BCC’B 不平行。 平面BCC B’不平行。 如果平面β内的两条直线是相交 如果平面 内的两条直线是相交 的直线， 的直线，两个平面会不会一定 平行？ 平行？
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 两条相交直线 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行. 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
β
c
小结： 1.平面与平面平行的判定： 平面与平面平行的判定： 平面与平面平行的判定 (1)运用定义； 运用定义； 运用定义 (2)运用判定定理： 运用判定定理： 运用判定定理 线线平行⇒线面平行⇒ 线线平行⇒线面平行⇒ 面面平行 2.应用判定定理判定面面平行时应注意 应用判定定理判定面面平行时应注意: 应用判定定理判定面面平行时应注意 两条相交直线 3.应用判定定理判定面面平行的关键是找平行线 应用判定定理判定面面平行的关键是找平行线 应用判定定理判定面面平行的关键是
第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平 第二步： 面。 第三步：利用判定定理得出结论。 第三步：利用判定定理得出结论。
练习： 练习：
判断下列命题是否正确，错的举反例。 （1）已知平面α，β 和直线m，n 若m ⊂ α，n ⊂ α，m//β ,n//β 则α // β β （2）一个平面α内两条不平行的直线
6）与同一条直线所成角相等两个平面 × ） 平行. 平行 7）垂直于同一条直线的两个平面平行 √ ）垂直于同一条直线的两个平面平行. 8）平行于同一平面的两个平面平行. ）平行于同一平面的两个平面平行 √
判定定理:一个平面内两条相交直线分别 判定定理 一个平面内两条相交直线分别 一个平面内两条相交直线 平行于另一个平面 那么这两个平面平行. 另一个平面， 平行于另一个平面，那么这两个平面平行
简述为： 简述为：线面平行⇒面面平行 平行⇒
练习：判断下列命题正确与否。 练习：判断下列命题正确与否。
1） 如果一个平面内的一条直线于行于 ） 另一个平面， 另一个平面，那么这两个平面平行 2）如果一个平面内的两条直线平行于 另一个平面， 另一个平面，那么这两个平面平行 3）如果一个平面内的无数条直线平行 ） 于另一个平面， 于另一个平面，那么这两个平面平行 4）如果一个平面内的任何一条直线都 ） 平行于另一个平面， 平行于另一个平面，那么这两个平面 平行
应用练习： 应用练习：
已知：a ⊂ α , b ⊂ α , a I b = P； c ⊂ β , d ⊂ β； a // c, b // d .
b
α
P
a
d
求证：α // β . 证明： Q c ⊂ β , a ⊄ β , a // c , ∴ a // β .同理 b // β . Q a ⊂ α , b ⊂ α , a I b = P , a // β , b // β , ∴ α // β .
M C H N F
B
2. 正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, 求证:平面AB //平面 平面C 求证:平面AB1D1//平面C1BD
D1 A1 C1 B1
D A
C B
ABCD3，已知: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知: 在正方体ABCD 分别是CC 的中点， E、F分别是CC1、AA1的中点， 求证: 平面BDE//平面B BDE//平面 求证: 平面BDE//平面B1D1F
变式:在正方体 变式 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 在正方体 分别是棱A 若 M、N、E、F分别是棱 1B1，A1D1， 、 、 、 分别是棱 B1C1，C1D1的中点，求证：平面 的中点，求证：平面AMN// 平面EFDB。 平面
D1
F M
B1
N
A1
C1
E
线面平行 线线平行
面面平行
D A B C
D A E B
F C
2、如图，B为△ACD所在平面外一点，M， 、如图， 为 所在平面外一点， ， 所在平面外一点 N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重 分别为△ ， 分别为 ， ， 的重 求证：平面MNG∥平面 心，求证：平面 ∥平面ACD。 B 。
N· M· ·G
A C
D
辅加练习 1 如图所示，平面ABCD∩平面 如图所示，平面 平面EFCD = CD， 平面 ， M、N、H 分别是 DC、CF、CB 的中点， 、 、 的中点， 、 、 求证 平面 MNH // 平面 DBF D A E
a
α
b
a ⊄ α b ⊂ α ⇒ a // α a // b
线线平行 线面平行
复习回顾： 复习回顾：
2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ （1）平行 （2）相交
α∥β
α ∩β =a
对面面平行的认识
认识1 如果两个平面平行， 认识1．如果两个平面平行，那么其 中一个平面内的所有直线一定都和 另一个平面平行． 另一个平面平行． 认识2．如果一个平面内的所有直线 认识2 都和另一个平面平行， 都和另一个平面平行，那么这两个 平面平行． 平面平行．
判定定理剖析： 判定定理剖析：
1〉两条 条件要点：β内有2〉相交 直线 3〉分别和α平行 结论：β // α a⊂β 符号语言： b⊂β a I b = P ⇒ β // α a // α b // α
β
P
b a
α
证题思路： 证题思路：要证明两 平面平行，关键是在 平面平行，关键是在 其中一个平面内找出 其中一个平面内找出 两条相交直线分别平 行于另一个平面. 行于另一个平面.
如图，在正方体 如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，E、 、 F分别是棱 与C1D1的中点。 分别是棱BC与 的中点。 求证： 分别是棱 求证：面 EFG//平面 平面BDD1B1. 平面
D1 A1 B1 F
G
C1
分析：由FG∥B1D1 易得FG∥平面BDD1B1 同理GE ∥平面BDD1B1 ∵FG∩GE＝G 故得面EFG//平面BDD1B1
方法一：三角形的中位线定理； 方法一：三角形的中位线定理； 方法二：平行四边形的平行关系。 方法二：平行四边形的平行关系。
PD PE 1、如图：三棱锥P-ABC, D,E,F分别是棱 P 、如图：三棱锥 = PF 分别是棱 = PA 中点， PB PA，PB，PC中点，PC ， ， 中点
求证：平面 求证：平面DEF∥平面 ∥平面ABC。 。
D E A B
C
证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个 平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.
例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证：平面AB1D1∥平面C1BD. 分析：在四边形ABC1D1中， AB∥C1D1且AB＝C1D1 故四边形ABC1D1为平行四边形. 即AD1∥BC1 思路： 思路：只要证明一个平面内有两条相交的直线 与另一个平面平行
Q
P
平面与平面平行的判定定理： 平面与平面平行的判定定理： 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 相交 则这两个平面平行. 行,则这两个平面平行 则这两个平面平行 a 即：a ⊂ α b A α b⊂α a∩ b=A b// β a// β α //β β 线不在多，重在相交
α
m n
反 例
×
都平行于另一个平面/β； 则α // β
3．分别在两个平行平面内的两条直线 ． 都平行． 都平行． × 4．如果一个平面内的两条直线平行于 ． 另一个平面，那么这两个平面平行． 另一个平面，那么这两个平面平行． × 5．如果一个平面内的任何一条直线都 ． 平行于另一个平面， 平行于另一个平面，那么这两个平面 平行． 平行．