2018-2019学年天津市南开区九年级上期中数学模拟试卷有答案[精品]

2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．方程2﹣4﹣12=0的解为（ ）
A ．1=2，2=6
B ．1=2，2=﹣6
C ．1=﹣2，2=6
D ．1=﹣2，2=﹣6 2．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 称为极点；从点O 出发引一条射线O 称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从O 转动到OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）确定，即P （3，60°）或P （3，﹣300°）或P （3，420°）等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是（ ）
A ．Q （3，240°）
B ．Q （3，﹣120°）
C ．Q （3，600°）
D ．Q （3，
﹣500°）
3．用配方法解方程2﹣﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A ．（﹣）2=
B ．（+）2=
C ．（﹣）2=0
D ．（﹣）2=
4．对于抛物线y=﹣2（+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线=1：
③顶点坐标为（﹣1，3）；
④＞1时，y 随的增大而减小．
其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB ′C ′D ′的位置，旋转角为α（0°＜α
＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（）
A．68°B．20°C．28°D．22°
6．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（）
A．①B．②C．③D．④
7．如图，函数y=a2﹣2+1和y=a﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）
A．B．
C．D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCE=70°，则∠A的度数是（）
A．110°B．70°C．55°D．35°
9．如图，二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线=﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；
④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N 分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是（）
A．B．5C．D．3
11．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒B点P位于点C的位置，……，则第2017秒点P所在位置的坐标为（）
A．（，）B．（）C．（0，﹣1）D．（）
12．二次函数y=﹣2+b+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为直线=2；
②当y≤0时，＜0或＞4；
③函数解析式为y=﹣2+4；
④当≤0时，y随的增大而增大．其中正确的结论有（）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有 种，它们分别是 ．
14．在直角坐标系中，点A （1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ．
15．如图，△ABO 中，AB ⊥OB ，OB=，AB=1，把△ABO 绕点O 逆时针旋转120°后得
到△A 1B 1O ，则点B 1的坐标为 ．
16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽 m ．
17．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于轴的直线交⊙A 于M 、N 两点，若点M 的坐标是（﹣4，﹣2），则弦MN 的长为 ．
18．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE 、CF 交于点G ，
半径BE 、CD 交于点H ，且点C 是
的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积
等于 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）关于的方程（﹣1）2﹣4﹣1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围．
20．（8分）已知一次函数y 1=6，二次函数y 2=32+3，是否存在二次函数y 3=2+b+c ，其图象经过点（﹣4，1），且对于任意实数的同一个值，这三个函数对应的函数值y 1，y 2，y 3都有y 1≤y 2≤y 3成立？若存在，求出函数y 3的解析式；若不存在，请说明理由．
21．（10分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．
如图，已知∠α和线段a ，求作△ABC ，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a ．
22．（10分）如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，∠ACB=45°，∠AOC=150°．
（1）求证：CD=CB ；
（2）⊙O 的半径为，求AC 的长．
23．（10分）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD ），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD ）的宽为a 米．
（1）饲养场的长为米（用含a的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为288m2，求a的值．
（3）当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？
24．（10分）如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．
（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；
（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：
①如图2，若∠ADC=60°，求的值；
②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系Oy中，直线l：与轴、y轴分别交于点A和
点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在
直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；
（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【解答】解：2﹣4﹣12=0，
分解因式得：（+2）（﹣6）=0，
可得+2=0或﹣6=0，
解得：1=﹣2，2=6，
故选：C ．
2．【解答】解：∵P （3，60°）或P （3，﹣300°）或P （3，420°），
由点P 关于点O 成中心对称的点Q 可得：点Q 的极坐标为（3，240°），（3，﹣120°），（3，600°），
故选：D ．
3．【解答】解：∵2﹣﹣1=0，
∴2﹣=1，
∴2﹣+=1+，
∴（﹣）2=
．
故选：D ． 4．【解答】解：①∵a=﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵＞﹣1时，y 随的增大而减小，
∴＞1时，y 随的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C ．
5．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABC=∠D′=90°，
∴∠3=180°﹣∠2=68°，
∴∠BAB′=90°﹣68°=22°，
即∠α=22°．
故选：D．
6．【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；
⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确．
故选：D．
7．【解答】解：A、由一次函数y=a﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=a2﹣2+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=a﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=a2﹣2+1的图象应该开口向上，
对称轴=﹣＞0，故选项正确；
C、由一次函数y=a﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=a2﹣2+1的图象应该开口向上，
对称轴=﹣＞0，和轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y=a﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=a2﹣2+1的图象应该开口向上，
故选项错误．
故选：B．
8．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠BCE=70°，
故选：B．
9．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线=﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），
∴AB=1﹣（﹣3）=4，所以①正确；
∵抛物线与轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴ab＞0，所以③错误；
∵=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
而a＞0，
∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．
故选：C．
10．【解答】解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN=BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴BC′==5，
∴MN
=．
最大
故选：A．
11．【解答】解：2017÷8=252…1，
即第2017秒点P所在位置如图：
过P作PM⊥轴于M，
则∠PMO=90°，
∵OP=1，∠POM=45°，
∴PM=OM=1×sin45°=，
即此时P点的坐标是（，），
故选：A．
12．【解答】解：由图象得抛物线的对称轴为直线=2，所以①正确；当y≤0时，≤0或y≥4，所以②错误；
抛物线经过点（0，0），（4，0），（2，4），
所以抛物线解析式为y=a（﹣4），
把（2，4）代入得a•2（2﹣4）=4，解得a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（﹣4），即y=﹣2+4，所以③正确；
当≤0时，y随的增大而增大，所以④正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．【解答】解：如图所示：
当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离，如直线a ；
当直线与圆有一个公共点A 时，直线与圆相切，如直线b ；
当直线与圆有2个公共点B 、C 时，直线与圆相交，如直线c ．
故答案为：3，相离，相切，相交．
14．【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
15．【解答】解：过B 1作B 1C ⊥y 轴于C ，
∵把△ABO 绕点O 逆时针旋转120°后得到△A 1B 1O ，
∴∠BOB
1=120°，OB 1=OB=
， ∵∠BOC=90°，
∴∠COB 1=30°，
∴B 1C=OB 1=
，OC=，
∴B 1（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
16．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，
抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=a2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.52+2，
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2=﹣0.52+2，
解得：=±2，所以水面宽度增加到4米，
故答案为：4．
17．【解答】解：分别过点M、N作轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN
设⊙A的半径为r．
则AN=OA=r，AB=2，
∵AB⊥MN，
∴BM=BN，
∴BN=4﹣r；
则在Rt△ABN中，根据勾股定理，
得AB2+BN2=AN2，即：22+（4﹣r）2=r2，解得r=2.5，
则N到y轴的距离为1，
又∵点N在第三象限，
∴N的坐标为（﹣1，﹣2）；
∴MN=3；
故答案为：3．
18．【解答】解：两扇形的面积和为：=2π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
在△CMG与△CNH中，，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，
∴空白区域的面积为：×2×2=2，
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和=2π﹣4．故答案为：2π﹣4．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【解答】解：∵关于的方程（﹣1）2﹣4﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴
，
解得：＞﹣3且≠1． 20．【解答】解：不存在这样的实数．
设该实数是a ．
则y 1≤y 2，即6a ≤3a 2+3，
解得（a ﹣1）2≥0，
∴a 是任意实数，且当a=1时取“=”；
当a=1时，y=6，即点（1，6）满足y 1≤y 2≤y 3，
将点（1，6）代入二次函数y 3=2+b+c ，得
6=1+b+c ，①
又∵二次函数y 3=2+b+c ，其图象经过点（﹣4，1）， ∴1=16﹣4b+c ，②
由①②解得，
b=4，c=1，
∴函数y 3的解析式为：y=2+4+1；
∴3a 2+3≤a 2+4a+1，
解得，（a ﹣1）2≤0，
显而易见，这是错误的，所以点a 不适合．
所以，不存在这样的任意实数a ，使y 1≤y 2≤y 3成立．
21．【解答】解：如图所示，
△ABC 为所求作
22．【解答】证明：延长AO 交⊙O 于E 点，连接CE
∵AE是直径
∴∠ACE=90°
∵∠ACB=45°
∴∠BCE=135°
∵AO=OC=EO，∠AOC=150°
∴∠OAC=∠OCA=15°，∠OEC=∠OCE=75°∵四边形ABCE是圆内接四边形
∴∠EAB+∠ECB=180°，∠E+∠ABC=180°∴∠EAB=45°，∠ABC=105°，
∴∠CAD=30°，∠CBD=75°
∵CD是⊙O切线，
∴∠OCD=90°
∵∠OCA=15°，∠ACB=45°
∴∠CBD=30°
∵∠D+∠CBD+∠BCD=180°
∴∠D=75°
∴∠D=∠CBD
∴CD=CB
（2）连接OB，过点B作BF⊥AC于点F，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴∠AOB=90°
∴AB==2
∵∠CAD=30°，BF⊥AC
∴BF=1，AF=BF=
∵∠ACB=45°，BF⊥AC
∴∠ACB=∠CBF=45°
∴CF=BF=1
∴AC=+1
23．【解答】解：（1）由已知饲养场的长为57﹣2a﹣（a﹣1）+2=60﹣3a；故答案为：60﹣3a；
（2）由（1）饲养场面积为a（60﹣3a）=288，
解得a=12或a=8；
当a=8时，60﹣3a=60﹣24=36＞27，
故a=8舍去，
则a=12；
（3）设饲养场面积为y，
则y=a（60﹣3a）=﹣3a2+60a=﹣3（a﹣10）2+300，
∵2＜60﹣3a≤27，
∴11≤a＜，
=297．
∴当a=11时，y
最大
24．【解答】解：（1）BG=EG，理由是：
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵四边形CFED是菱形，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴∠A=∠GFE，
∵∠AGB=∠FGE，
∴△BAG≌△EFG，
∴BG=EG；
（2）①如图2，设AG=a，CD=b，则DF=AB=b，由（1）知：△BAG≌△EFG，
∴FG=AG=a，
∵CD∥BH，
∴∠HAD=∠ADC=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=AH=2a+b，
∴==；
②如图3，连接EC交DF于O，
∵四边形CFED是菱形，
∴EC⊥AD，FD=2FO，
设AG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，
Rt△EFO中，cosα=，
∴OF=bcosα，
∴DG=a+2bcosα，
过H作HM⊥AD于M，
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，
∴AH=HD，
∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，
Rt△AHM中，cosα=，
∴AH=，
∴==cosα．
25．【解答】解：（1）∵直线l：y=+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，
∴直线l的解析式为y=﹣1，
∵直线l：y=﹣1经过点C（4，n），
∴n=×4﹣1=2，
∵抛物线y=2+b+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=2﹣﹣1；
（2）令y=0，则﹣1=0，
解得=，
∴点A的坐标为（，0），
∴OA=，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB===，
∵DE ∥y 轴，
∴∠ABO=∠DEF ，
在矩形DFEG 中，EF=DE •cos ∠DEF=DE •=DE ，
DF=DE •sin ∠DEF=DE •=DE ，
∴p=2（DF+EF ）=2（+）DE=
DE ， ∵点D 的横坐标为t （0＜t ＜4），
∴D （t ， t 2﹣t ﹣1），E （t ， t ﹣1），
∴DE=（t ﹣1）﹣（t 2﹣t ﹣1）=﹣t 2+2t ，
∴p=×（﹣t 2+2t ）=﹣t 2+t ，
∵p=﹣（t ﹣2）2+，且﹣＜0，
∴当t=2时，p 有最大值
；
（3）∵△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°，
∴A 1O 1∥y 轴时，B 1O 1∥轴，设点A 1的横坐标为，
①如图1，点O 1、B 1在抛物线上时，点O 1的横坐标为，点B 1的横坐标为+1，
∴2﹣﹣1=（+1）2﹣（+1）﹣1，
解得=，
②如图2，点A 1、B 1在抛物线上时，点B 1的横坐标为+1，点A 1的纵坐标比点B 1的纵坐标大，
∴2﹣﹣1=（+1）2﹣（+1）﹣1+，
解得=﹣，
的横坐标为或﹣．综上所述，点A
1。