7 例析利用割补法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习

【学生版】
例析利用割补法解题题型
所谓割补法：就是将复杂的或不熟悉的几何图形转化为简单的熟悉的几何图形（如：三角形、正方形、长方形、平行四边形或梯形等）或几何体（如：柱体、锥体和球体）；也就是把一个复杂长度、面积或体积的计算分割成若干个简单图形的有关计算或将一个不易求出长度、面积或体积的几何图形补足为较易计算的几何图形；例如，把曲边形割补成规则图形、把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体（特别是三棱锥）、把不规则的几何体割补成规则的几何体，从而把未知的转化为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的。

一、“分割”非规则图形为规则图形
几何图形或几何体的“分割”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，分割成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。

例1、为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是（ ） A ．3＋64 km 2
B ．3－6
4
km 2
C ．6＋34 km 2
D ．6－3
4
km 2
【提示】 【解析】 【评注】
例2、如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求： （1）该几何体的体积； （2）截面ABC 的面积。

【提示】 【解析】
二、将非规则图形“补形”规则图形
几何图形或几何体的“补形”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，补全成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。

例3、已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________
例4、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA ＝90°，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，则B 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为________．
三、几何体的“割补”
几何体的割补，即将已知的几何体按照结论的要求，既要分割又要补全成若干个易求体积的几何体。

例5、平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A ．32 B ．22 C ．3
3
D ．1
3
例6、如图，已知多面体ABCDEFG ，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ， 平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
例7、如图，AA
'⊥平面ABC ，AA //BB //CC //DD ''''，四边形ABCD 为正方形, 且AB AA CC 2BB 13''''=====,,DD ，求几何体ABCD A B C D ''''-的体积。

图2-1
C'
C
A B
D
A'
D'
例8、如图，已知F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点，过F 1作倾斜角为π
4的弦AB ；
（1）求△ABF 2的周长； （2）求△ABF 2的面积；
综上，在解决几何问题过程中，割补法（即：补形法、分割法、补形与分割相结合）是一种常用的方法．无论是平面几何、解析几何、还是立体几何，适时使用割补法，能帮助我们找到问题的突破口，把问题放到特殊的几何图形中，借助特殊图形分析问题，有时会柳暗花明，事半功倍。

练习
1、如图所示，在边长为2的正方形ABCD 中，圆心为B ，半径为1的圆与AB ，BC 分别交于点E ，F ，则阴影部分绕直线BC 旋转一周形成几何体的体积等于( ) A ．π B ．6π C. 4π
3
D ．4π
2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．8π＋16 B ．8π－16 C ．8π＋8
D ．16π－8
3、如图，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E ，F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( ) A ．90° B ．60° C ．45°
D ．30°
4、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A. 15 B . 56 C. 55 D. 22
5、在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π
2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而
形成的曲面所围成的几何体的体积为
6、如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2，分别以A ，D 为圆心， 1为半径作圆弧EB ，EC(E 在线段AD 上)．由两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形 绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为________．
7、已知四面体P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为
8、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
9、求棱长为a 的正四面体内切球的半径。

10、如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1-B1EDF的体积。

【教师版】
例析利用割补法解题题型
所谓割补法：就是将复杂的或不熟悉的几何图形转化为简单的熟悉的几何图形（如：三角形、正方形、长方形、平行四边形或梯形等）或几何体（如：柱体、锥体和球体）；也就是把一个复杂长度、面积或体积的计算分割成若干个简单图形的有关计算或将一个不易求出长度、面积或体积的几何图形补足为较易计算的几何图形；例如，把曲边形割补成规则图形、把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体（特别是三棱锥）、把不规则的几何体割补成规则的几何体，从而把未知的转化为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的。

一、“分割”非规则图形为规则图形
几何图形或几何体的“分割”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，分割成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。

例1、为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是（ ） A ．3＋64 km 2
B ．3－64
km 2
C ．6＋34
km 2
D ．6－3
4
km 2
【提示】注意：将四边形根据题设，按“简单、方便”标准，进行“分割”；
【解析】答案：D ；如图，连接AC.在△ABC 中，根据余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 60°＝ 3 km ， 又AB ＝2 km ，BC ＝1 km ，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 所以△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°， 故∠DAC ＝∠DCA ＝15°.
所以△ADC 为等腰三角形，且∠D ＝150°，
设AD ＝DC ＝x km ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝
3
2＋3
＝3(2－3)． 所以小区的面积为12×1×3＋12×3(2－3)×12＝23＋6－334＝6－3
4
(km 2)．
【评注】本题主要按照构成与解三角形的条件，将原四边形“分割”成两个特殊三角形解之。

例2、如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求： （1）该几何体的体积； （2）截面ABC 的面积。

【提示】注意：题设中“直三棱柱”；
【解析】（1）过C 作平行于平面A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.
11122222A B C A B C C ABB A V V V --=+＝12×2×2×2＋13×1
2
×(1＋2)×2×2＝6.
（2）在△ABC 中，AB ＝22＋（4－3）2＝5，BC ＝22＋（3－2）2＝5， AC ＝（22）2＋（4－2）2＝23，则S △ABC ＝1
2×23×（5）2－（3）2＝ 6.
【评注】本题将“截得到的几何体”“分割”成：一个直三棱柱与四棱锥，然后计算。

二、将非规则图形“补形”规则图形
几何图形或几何体的“补形”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，补全成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。

例3、已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________ 【提示】注意：题设中的“所有棱长都为2”；
【解析】答案：3π；如图，构造正方体ANDM —FBEC.因为三棱锥A —BCD 的 所有棱长都为2，所以正方体ANDM —FBEC 的棱长为1， 所以该正方体的外接球的半径为
32
. 易知三棱锥A —BCD 的外接球就是正方体ANDM —FBEC 的外接球，所以三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32
.所以三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π
⎝⎛⎭
⎫322＝3π；
【评注】本题可以通过题设，利用构造正方体的方法，由正四面体“补全”相应的正方体。

例4、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA ＝90°，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，则B 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为________．
【提示】注意：可以考虑“补形”的方法找角---求角； 【解析】答案：
30
10
； 如图，把直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 补成一个直平行六面体A 1B 1D 1C 1-ABDC ，
取BD 中点G ，连接B 1G ，则B 1G ∥A 1F ，∠EB 1G 即为B 1E 与A 1F 所成的角(或其补角)， 设BC ＝CA ＝CC 1＝2a ，则B 1G ＝22(2a)a 5a +=，
AB ＝22(2a)(2a)22a +=，B 1E ＝22(2a)(2a)6a +=，
GE 2＝BG 2＋BE 2－2BG·BE·cos 135°＝5a 2， 所以cos ∠EB 1G ＝B 1G 2＋B 1E 2－GE 22B 1G·B 1E ＝3010，
故B 1E 与A 1F 所成角的余弦值为
30
10
； 【评注】本题通过“补形”的方法，找异面直线所成的角，只要通过“连接”构成三角形即可，既方便又易于解三
D'
三、几何体的“割补”
几何体的割补，即将已知的几何体按照结论的要求，既要分割又要补全成若干个易求体积的几何体。

例5、平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A ．
32 B ．22 C ．33
D ．1
3
【提示】注意：可以考虑“补”上规则图形，方便找角
【解析】答案：A ；如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的上方接一个同等大小 的正方体ABCD-A 2B 2C 2D 2，则过A 与平面CB 1D 1平行的是平面AB 2D 2， 平面AB 2D 2∩平面AA 1B 1B ＝AB 2，即直线n 就是直线AB 2， 由面面平行的性质定理知直线m 平行于直线B 2D 2， 故m ，n 所成的角就等于AB 2与B 2D 2所成的角， 在等边三角形AB 2D 2中，∠AB 2D 2＝60°，故其正弦值为
3
2
.选A. 【评注】本题（2016年全国卷Ⅰ）通过“补”上一个相同的正方体，以此方便找角与计算。

例6、如图，已知多面体ABCDEFG ，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ， 平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
【提示】注意：将已知几何体“割”或“补”成规则图形；
【解析】答案：B ；方法1、如图，把多面体ABCDEFG 补成正方体DEPG-ABHM ， 则V ABCDEFG ＝12V DEPG-ABHM ＝12
×23
＝4； 方法2、如图，取DG 的中点H ，以DA ，DE ，DH 为棱构造长方体EFHD-BPCA ， 则三棱锥C-HFG 与三棱锥F-PCB 全等，
所以V ABCDEFG ＝V ABPC-DEFH ＝AB·
AC·AD ＝2×1×2＝4； 【评注】本题主要是根据题设，通过补成特殊柱体（正方体）与分割成锥体（三棱锥）， 然后简洁求之。

例7、如图，AA
'⊥平面ABC ，AA //BB //CC //DD ''''，四边形ABCD 为正方形, 且AB AA CC 2BB 13''''=====,,DD ，求几何体ABCD A B C D ''''-的体积。

【提示】注意：适当地“分、割”；
【解析】在DD '上截取DE AA CC ''==，延长BB '至F ，使BB CC ''=； C'
C
A B
D
A'
D'
且AB AA CC 2''===，所以ABCD A EC F ''-正方体；
所以A C E A C F S S ''''∆∆=，因为BB 13''==,DD ，所以B F E 1''==D ； 所以所求几何体的体积ABCD A EC F F A B C D A C E V V V V ''''''''---=-+
33A C E A C F 11
AB S D E S B F AB 833
''''∆∆''=-⋅⋅+⋅⋅==；
【评注】本题所给几何体可以看成用一个平面截长方体而成，由于AA CC ''=，因此可以考虑在DD '上截取
DE AA CC ''==，延长BB '至F ，使BB CC ''=，这样就出现了一个正方体ABCD A EC F ''-；与几何体
ABCD A B C D ''''-相比，正方体ABCD A EC F ''-多出一个三棱锥F A B C '''-，少了一个三棱锥D A C E '''-，这
样我们用正方体ABCD A EC F ''-的体积减去三棱锥F A B C '''-的体积同时加上三棱锥D A C E '''-的体积就是所求不规则几何体的体积，本题灵活运用“割补思想”采用“补形法”与“分割法”相结合的解题策略，化难为易。

例8、如图，已知F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点，过F 1作倾斜角为π
4的弦AB ；
（1）求△ABF 2的周长； （2）求△ABF 2的面积；
【提示】注意：椭圆的定义与所求三角形的周长与面积的联系； 【解析】由椭圆方程x 22＋y 2
＝1可得a ＝2，b ＝1，c ＝1，
（1）将△ABF 2的周长分割为折线F 1AF 2及折线F 1BF 2，
由椭圆定义可知|F 1A|＋|F 2A|＝2a ，|F 1B|＋|F 2B|＝2a ，所以△ABF 2的周长l ＝4a ＝4 2.
（2）2ABF S ∆＝1212AF F BF F S S ∆∆+＝12|F 1F 2|·|F 1A|·sin π4＋12|F 1F 2|·|F 1B|·sin 3π4＝12×22|F 1F 2|·(|F 1A|＋|F 1B|)＝2
2
|AB|，
由已知，弦AB 所在的直线方程为y ＝x ＋1，代入椭圆方程并整理得3x 2＋4x ＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，解得x 1＝0，x 2＝－43，所以|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝42
3.
所以2ABF S ∆＝
22×423＝4
3
. 【评注】对于圆锥曲线中涉及过焦点的弦长、周长、面积问题，一般都得注意利用定义进行巧算。

综上，在解决几何问题过程中，割补法（即：补形法、分割法、补形与分割相结合）是一种常用的方法．无论是平面几何、解析几何、还是立体几何，适时使用割补法，能帮助我们找到问题的突破口，把问题放到特殊的几何图形中，借助特殊图形分析问题，有时会柳暗花明，事半功倍。

练习
1、如图所示，在边长为2的正方形ABCD 中，圆心为B ，半径为1的圆与AB ，BC 分别交于点E ，F ，则阴影部分绕直线BC 旋转一周形成几何体的体积等于( ) A ．π
B ．6π
C. 4π
3D．4π
1、答案 B
解析由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥．该圆柱的底面半径R＝BA＝2，母线长l＝AD＝2，故该圆柱的体积V1＝π×22×2＝8π，半球的半径为1，其体积V2
＝1
2×
4
3
π×13＝
2π
3，圆锥的底面半径为2，高为1，其体积V3＝
1
3
π×22×1＝
4π
3，所以阴影部分绕直线BC旋转一周形
成的几何体的体积V＝V1－V2－V3＝6π.
2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A．8π＋16
B．8π－16
C．8π＋8
D．16π－8
2、【提示】注意：先复原为多面体
【解析】答案：B；由三视图可知该几何体为一个半圆柱去掉一个直棱柱．其中半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2；直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4；
半圆柱的体积为V1＝1
2
π×22×4＝8π，直三棱柱的体积为V2＝
1
2×4×2×4＝16，
所以所求几何体的体积为V＝V1－V2＝8π－16；
【评注】
3、如图，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于()
A．90°B．60°
C．45°D．30°
解析：选A如图，把正三棱锥S-ABC补成一个正方体AGBH-A1CB1S.
∵EF∥AA1，
∴异面直线EF与SA所成的角为45°.
4、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()
A. 1
5B.
5
6 C.
5
5 D.
2
2
4、解析：选C如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA-E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1
与DB1所成的角或其补角．连接DF ，由题意，得DF ＝12＋1＋12＝5，FB1＝12＋32＝2，DB1
＝12＋12＋
3
2＝ 5.
在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FB21＋DB21－2FB1·DB1·cos ∠DB1F ，即5＝4＋5－2×2×5×cos ∠DB1F ，∴cos ∠DB1F ＝
5
5
. 5、在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π
2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而
形成的曲面所围成的几何体的体积为 5、
5π3
；【解析】(2015·山东高考) 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ， 梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径， 线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，
如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π
3，选C.
6、如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2，分别以A ，D 为圆心， 1为半径作圆弧EB ，EC(E 在线段AD 上)．由两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形 绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为________． 6、 (2015·奉贤区上学期期末调研)；2π
3
；
解析 由题意知，所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成．其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2，体积为V 1＝πr 2h ＝2π；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积和为V 2＝43πr 3＝4π
3.则所求几何体的体积为V
＝V 1－V 2＝
2π
3
. 7、已知四面体P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为
7、答案：9π； ∵PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，在四面体的基础上构造长方体如图，
可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即2R ＝12＋22＋22＝3，∴R ＝32
，∴球O 的表面积S ＝4πR 2
＝4π×⎝⎛⎭⎫322＝9π.故选C.
8、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
8、(2017·全国卷Ⅱ) 答案：10 5；
解析解法一：如图所示，分别延长CB，C1B1至D，D1，使CB＝BD，C1B1＝B1D1，连接DD1，B1D.由题意知，C1B綊B1D，则∠AB1D即为异面直线AB1与BC1所成的角．连接AD，在△ABD中，由AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD，得AD＝ 3.又B1D＝BC1＝2，AB1＝5，
∴cos∠AB1D＝AB21＋B1D2－AD2
2AB1·B1D＝
5＋2－3
2×5×2
＝
10
5.
解法二：将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.
由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，
所以BD＝3，所以B1D1＝ 3.
又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，
所以cosθ＝AB21＋AD21－B1D21
2AB1·AD1＝
5＋2－3
2×5×2
＝
10
5.
解法三：过B作BH⊥BC，交AC于H.
以B 为原点，以BC →，BH →，BB 1→
所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz. 则A(－1，3，0)，B 1(0,0,1)，C 1(1,0,1)， ∴AB 1→＝(1，－3，1)，BC 1→
＝(1,0,1)，
∴cos 〈AB 1→，BC 1→
〉＝AB 1→·BC 1→
|AB 1→||BC 1→|＝1＋15×2＝105，
∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
10
5
. 条件探究 把举例说明的条件改为“正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1”，求异面直线AB 1与BD 所成的角．
解 取A 1C 1的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，易知BD ∥B 1E. 在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 为异面直线AB 1与BD 所成的角． 设AB ＝1，则A 1A ＝2， AB 1＝3，B 1E ＝
32， 所以cos ∠AB 1E ＝
B 1E AB 1＝1
2
， 因此∠AB 1E ＝π
3
，
故异面直线AB 1与BD 所成的角为π
3.
9、求棱长为a 的正四面体内切球的半径。

9、解：设正四面体内切球的球心为O ，内切球的半径为r ， 连结OA ，OB ，OC ，OD ，如图3-2所示，则=4O BCD
V V -正四面体，
设顶点A 到底面的高为AF ，因此
1=3BCD V S AF ∆⋅正四面体，1
=3O BCD BCD V S r
-∆⋅
1
4r AF
∴=
，容易知道
63AF a =, 16
=
.412r AF a ∴=
评析：要想求出棱长为a 的正四面体的内切球的半径，必须知道球心的位置，而球心的位置比较难找.我们不妨假设球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，这样我们就把正四面体分割成四个全等的三棱锥如图3-2所示，而且O 到正四面体各个面的距离就是内切球的半径.因此
=4O BCD
V V -正四面体.不难看出正四面体和三棱锥
O BCD -共底面BCD ，所以我们只要求出正四面体的高，它的1
4即为内切球的半径.本题所采取的解题方法为
分割法.分割的点在几何体内部，这也是本题的难点所在.分割后主要利用部分与整体的关系来解决问题.实际并没有分割几何体，只是利用了分割的方法.
10、如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点， 求四棱锥C 1-B 1EDF 的体积。

10、解：法一：连结A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连结B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H.
因为EF ∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ， 所以A 1C 1∥平面B 1EDF.
所以C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离． 因为平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，平面B 1D 1D∩平面B 1EDF ＝B 1D ， 所以O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高． 因为△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， 所以O 1H ＝
B 1O 1·DD 1B 1D ＝6
6
a.
所以V C 1-B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H ＝13·12·EF·B 1D·O 1H ＝13·12·2a·3a·66a ＝1
6a 3. 法二：连结EF ，B 1D.
设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a. 由题意得，V C 1-B 1EDF ＝V B 1-C 1EF ＋V D-C 1EF ＝13S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝1
6
a 3.。