新人教B版高中数学(必修1)2.3《函数的应用(Ⅰ)》教案

用函数模型解实际问题
一、用电问题
例1 某地区上年度电价为0.8元/（kW ·h ），年用电量为a kW ·h ，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW ·h ）至0.75元/（kW ·h ）之间，而用户期望电价为0.40元/（kW ·h ）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k ），该地区电力的成本价为0.3元/（kW ·h ）．
（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式． （注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价））．
（2）设0.2k a =，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％？
解析：（1）设下调后的电价为x 元/（kW ·h ），依题意知用电量增至0.4k a x +-（kW ·h ），电力部门的收益为：
(0.3)(0.550.75) 0.4k y a x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭
≤≤． （2
）依题意有[]0.2(0.3)(0.80.3)(120%)0.4a a x a x ⎛⎫+--⨯+ ⎪-⎝⎭
≥，且0.550.75x ≤≤，
整理得2 1.10.300.550.75
x x x ⎧-+⎨⎩≥，≤≤，
解得0.600.75x ≤≤，
即当电价最低定为0.60元/（kW ·h ）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％． 评注：根据已知条件如何构建函数关系并能解决实际问题是考查的重点，本题在构建函数模型时，反比例关系不可忽视．
二、纳税问题
例2 2005年10月2７日，全国人大常委会通过关于修改个人所得税的决定：原来月收入超过800元就要纳税，2006年1月1日开始改为超过1600元才纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：若某人2005年９月交了个人所得税123元，则按新税法他只需交税_______元．
解析：设某人工薪所得x 元，应交纳个人所得税y 元，则税法修改前函数关系为
00800(800)0.0580*******(1300)0.113002800x x x y x x <⎧⎪-⨯<⎪=⎨+-⨯<⎪⎪⎩L L
，
≤，，≤，，≤，
由题设可知250.1(1300)123x +⨯-=元，2280x =，故某人工薪所得为2280元．税
法修改后函数关系为001600(1600)0.0516********(2100)0.121003600x x x y x x <⎧⎪-⨯<⎪=⎨+-⨯<⎪⎪⎩L L
，
≤，，≤，，≤，
故按新税法他只需交税25(22802100)0.143+-⨯=元．
评注：从纳税问题抽象出函数关系是关键，本题函数模型为分段函数．
三、生活水平问题
例3 某地政府提出全面建设小康社会的目标．国际上常用恩格尔系数（记作n ）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式是：
n
＝食品消费水平总额消费支出总额×100％，各种家庭的恩格尔系数如下表所示：
根据某地区家庭抽样调查统计：预测2011年至2018年间每户家庭支出总额每年平均增加1000元，其中食品消费支出总额每年平均增加300元．
（1）若2011年该地区家庭刚达到温饱（n=60%），且该年度消费支出总额为10000元，问2016年能否达到小康？请说明理由．
（2）若2016年比2011年的消费支出总额增加了４0％，而其中食品消费支出总额增加了20％，问该地区2018年能否达到小康？请说明理由．
解：（1）2011年该地区每户家庭食品消费支出为10000×60％＝6000（元）， ∴20166000300550%1000010005
n +⨯==+⨯， ∴2016年该地区能达到小康．
（2）设2011年的消费支出总额为a 元，其中食品消费支出总额为b 元，则 (140%)51000a a +=+⨯，(120%)5300b b +=+⨯，
解得125007500a b ==，，
∴201875003007960049.23%125001*********
n +⨯==+⨯≈， ∴2018年该地区能达到小康．
评注：本题以人民生活水平为背景，综合考查同学们运用知识解决问题的能力，注意增
长量与增长率的理解．。