应用骰子模型 ,探究正态分布

应用骰子模型 ，探究正态分布

引例： 将1枚投掷骰子1次，若出现奇数点则记0分，出现偶数点则记1分.试写出这枚骰子投掷10次后得分和的分布列.

【解析】 记这枚骰子投掷10次后的得分和为ξ，则ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.共11种.

记投掷骰子1次出现奇数点的事件为A ，那么出现偶数点的事件为A . 显然()()

111,1.222

p A p A =

=-=由公式（5）：()()1n k k k

n n

P k C P P -=-得： ()0

1001010

1110C 1221024p ⎛⎫

⎛⎫=-= ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭；()1

101

110101110

1C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫=-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

()2

102

2101011452C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫

=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3

103

3101011120

3C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫

=-=

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

()4104

41010112104C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

()5

106

5101011252

5C 1;221024

p -⎛⎫⎛⎫

=-=

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

以下()()101021064;1024p p ==

()()101012073;1024p p ==()()101045

82;1024p p == ()()10101091;1024p p ==()()10101

1001024

p p ==

可知ξ的分布列是：

我们仔细观察这张表，不难发现它除仍然符合（1）0,1,2,i P i ≥=L ； （2）121P P ++=L 外，还具有对称性，即与首末等距离的两概率之值相等. 如果再计算期望与方差，可得：

()15120

01090360840126012608403609010510241024E ξ=

++++++++++=

= ()12560

25160405480210021048040516025 2.510241024D ξ=++++++++++=

= 如果在直角坐标系中画出它的图象如图1，那么我们已经可以见到正态曲线的雏形：它关于直线x =5对称，这正好与E ξ=5相吻合.（而方差或标准差则正态曲线的“高低”，“胖瘦”，这里略去.）

图1

图

2

图3

在这个图象中，如果过折线的各个顶点依次向右画x 轴的平行线段，得到10个小矩形.显然这些矩形面积之和近似等于折线与x 轴及其两端的垂线所包围平面部分的面积.

由于这些小矩形的宽度都是1，所以所有矩形面积的和为：

1

10451111024102410241024S ⎛⎫=++++⨯= ⎪⎝⎭

L .

以上所分析的是n =10的情况.可以设想：当n →+∞时，这条折线的极限就是正态曲线，

这与利用频率分布直方图所得到的正态曲线，在实质上是一样的.

正态曲线的性质很多.但在解题中，最重要最实用的性质是如下两条： （1）它关于直线x μ=对称.这里μ表示总 体平均数，即总体中变量ξ的期望；

（2）它的主要功能是利用面积来表示概率.

如图2，当[],x a b ∈时，直线x a =与x b = 之间所包围的平面部分的面积，就是总体在区间

(),a b 内取值的概率.特别地，整条正态曲线与x

轴所包夹的平面部分面积，一定是1.

链接1：（08·湖南卷第4题）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-, 则c = ( )

A.1

B.2

C.3

D.4 【解析】 条件(1)(1)P c P c ξξ>+=<-表示 如图3中两块阴影部分的面积相等，所以x c =必为 正态曲线的对称轴.

条件(2,9)N 说明题中总体平均数μ=2，也就是正 态曲线的对称轴为x =2.（方差2

9s =或标准差3σ=）. 故知c =2，选B.

图 4

图5

图6

链接2：（07·全国2理14）在某项测量中，测 量结果ξ服从正态分布N （1，2

σ）（σ>0），若ξ在 （0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取 值的概率为 .

【解析】 如图4，条件N （1，2

σ）说明正态 曲线的对称轴x =1，故当ξ在（0，1）内取值的概率 为0.4，时ξ在（1，2）内取值的概率亦为0.4， ∴ξ在（0，2）内取值的概率为0.8.

链接3：（07·浙江卷理5）已知随机变量服从正态分布()

22,N σ，()40.84P ξ≤=，则()()0P ξ≤=

A ．0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 【解析】 如图5，正态曲线的对称轴为x =2. ∵()40.84P ξ≤=，∴()410.840.16P ξ≥=-=. 而()()2222,p p ξξ≥+=≤-即

()()040.16p p ξξ≤=≥=.选A.

【评注】 以上3道试题，从题型看它们都不是 标准正态分布（标准正态分布的条件是期望μ=0，即 相应正态曲线的对称轴为y 轴）.若按常规解题，应首 先通过公式()F x =φx μσ-⎛⎫

⎪⎝⎭

转化为标准正态分布.其方法

是：以下的解析是方法吗？？？

【解析】 由()()224220.84P P P ξξξσ

σ-⎛⎫

≤=-≤=≤=

⎪⎝⎭， ()()022P P ξξ≤=-≤-22P ξσσ--⎛⎫=≤ ⎪⎝

⎭

222211P ξφφσσσ

σ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-=-=-≤ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.16=.

显然这个计算将繁杂得多.

链接4：（08·安徽卷第10题）设两个正态分