概率论与数理统计

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概率的性质
1 P( ) 0
2

A, B互斥（即AB ）
P( A U B) P( A) P( B)
一般地，
Ai Aj (i, j 1, 2,L n, i j )
P UAi P( Ai ). i 1 i 1
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问题：如何对随机现象进行研究？
5
§1.1.1 随机试验
对随机现象进行的观察或试验称为随机试验，简称为 试验。 随机试验的三个特点:
1.可以在相同条件下重复进行； 2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围； 3.试验前不能确定会出现哪一个结果。
6
§1.1.2
样本空间与随机事件
在下图中，用Ω表示一个试验的所有可能的
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Ω A
A
6. 对立（互逆）的事件：如果 AB＝ , ， 且AB＝,则称A与B为互逆事件，记作 B= A
如果A，B是任意两事件，则有
AA ,
A A ,
A B AB,
A A.
3) A B A ( B A)
注意对立事件与互斥的区别.
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7.完备事件组 若事件A1,A2,„An为两两互不相容的事件， 并且
P(C) [P( AC) P(BC) P( ABC)]
0.3 (0.08 0.05 0.03) 0.2
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1 例 设 A、B 为两个随机事件 ,且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2
1 A 与 B 互斥 ;
用不同的记号，可写为 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C)
4、对偶律，又称德· 摩根(De Morgan)律： A B AB, AB A U B
可推广U Ak I Ak ,
k k
I
k
Ak U Ak .
k
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例1：甲、乙、丙三人各向靶子射击一次，以 A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、 C的运算关系表示下列事件： (1)只有乙没有击中；
求P(B-A)。 解： ∵ P(A-B)=P(A)-P(AB ∴ P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.7-0.5=0.2 从而 P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2 =0.1。
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例 5: 某市有 A,B,C三种报纸 ,调查表明居民家 庭订购 C 报的占 30%, 同时订 A,B 两种报纸占 10%,同时订A,C及B,C两种报纸各占8%与5%， 三种都订的占 3%. 求从该市任选一户 , 问该户 (1) 只订A、B两报的概率；(2) 只订C报的概 率。 解: 设A,B,C分别表示该户订A,B,C报这三个 事件,则 P(C)=0.3, P(AB)=0.1, P(AC)=0.08,
B A BA B
2 A B ;
1 3 P AB . 9

解 1由于 A、B 互斥 , 所以
于是 所以
1 P BA P B . 2
A
B
A、B 互斥
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2 因为 A B , 所以
P BA P B A P B P A 1 1 1 . 2 4 4
作
AB. A＝B AB且BA.
2. 事件的和（并） “事件A与B至少有一个发生”， 记作AB．实际上AB=A+B-AB
Ai ． n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 iU 1
12
n
3. 事件的积（交）:
A与B同时发生，记作 AB或AB．
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An．
A
B
P( A U B) P ( A) P ( B ) P ( AB )
推广：
P( A U B U C )
P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
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推广的加法公式 :
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
A ；
i i 1
20
n
例3：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
A I B {甲、乙都来}
A B AB {甲、乙都不来}
A B AB {甲、乙至少有一人不来}
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例:袋中有10个编号为1~10的球,从中任取一 个,令A=“取得球为奇号”,B=“取得球为偶数 号”,C=“取得球号小于5”则:
概率的性质
3

A
Ω
P(A) 1 - P(A)
特别：若 B A, 则
A
Ω
4 P( A B) P( A) P( AB)
P( A B) P( A) P(B)
小结论:
B
A-B

B A, 则P(B) P( A)
5
P( A) 1B来自A30概率的性质
AB
6°（加法公式）
P(BC)=0.05, P(ABC)=0.03.
于是，(1) P( ABC ) P( AB ABC )
P ( AB ) P ( ABC )
=0.1－0.03=0.07；
(Q ABC AB)
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(2) P( A B C) P(C ( A U B))
P(C C ( A B))
在不变条件下, 重复进行 n 次试验,事件A发生 的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且一般地说, 当次数 n 越大时, 摆动幅度越小,则称常数 p为事 件 A 发生的概率, 记作P(A)。 频率fn(A)虽然具有 波动性，但有刻画事件A 发生可能性客观的一面，故 被称为A的统计概率。
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§1.2.2
B
A

A B

A
3 P BA P B AB
(2)甲、乙至少有一人击中，而丙 未击中；
AB C
( A U B)C
AB BC AC
ABC U ABC ABC
(3)至少两人击中目标；
(4)靶上仅中一弹；
(5)三人都没有击中；
ABC
A B C (6)三人中至少有一人击中目标； 思考：(7)三人中最多有一人击中目标； ABC ABC ABC ABC 19 (8)靶上恰中两弹。 ABC ABC ABC
集合，则称Ω 为样本空间. 而这个随机试验
的每个基本结果称为样本点，记作ω.

.
样本点
7
例如考虑试验：将一枚硬币抛掷两次，
可能结果为（正面为H，反面为T）:
第 1次 (H,H):
H H T T
第 2次
H
T H T
可见，该随机试验 的所有可能的结果， 构成一个集合：
(H,T)：
(T,H):
={(H,H), (H,T),
3
随机现象及其统计规律性 自然界与社会生活中的两类现象
确定性现象 Certainty phenomena（结果确定）
在标准的大气压下，将纯净水加热到100℃时
必然沸腾
垂直上抛一重物，该重物会垂直下落
随机现象 Random phenomena （结果不确定）
即使条件一定，结果也不可预测 掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点
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4.事件的差： A－B称为A与B的差事件,表示事件 发生而B不发生．
思考：何时A-B=? 何时A-B=A？ 注：A-B=A-AB．
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5.互不相容（互斥）的事件：如果事件A与事件B不 能同时发生，即AB＝，则称A与B为互斥事件。
注： (a) 基本事件组是互斥事件组， (b) 互斥事件可同时不发生。
(1)”取得球号码是偶数但不小于5”可表示为
B C或BC 或A C
(2)”取得球号码不是偶数也不小于5”可表示为
A C或AC 或B C
(3)”取得球号码是偶数且为奇数”可表示为AB (4)”取得球号码是偶数或为奇数”可表示为 A U B
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§1.2 事件发生的频率和概率
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪 些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大 小，也就是事件的概率. 事件发生的可能性 概率是随机事件 越大，概率就 发生可能性大小 越大！ 的度量
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B = {1,3,5}
从集合的角度看

B
A

事件是由某些样本点所构成的一个集合．一个事件发 生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现．由此可 见，样本空间Ω 作为一个事件是必然事件，空集作 为一个事件是不可能事件，仅含一个样本点的事件称 为基本事件．
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§1.1.3 事件的关系及运算
1.事件的包含与相等 “A发生必导致B发生”,记
…………….
P Ai P Ai P Ai A j P Ai A j Ak 1 i , j n 1 i , j ,k n i 1 i 1
n
n
1
n 1
P A1 A2 An
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例4: 已知 P(A)=0.7，P(B)=0.3，P(A-B)=0.5，
(T,H), (T,T)} 我们称该集合为这 个随机试验的样本 空间。
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(T,T)：
随机事件 ----样本空间的子集
随机试验的可能结果叫做随机事件，简称事件。 随机事件通常用大写英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示。 例：掷一颗骰(tou)子，观察出现的点数.
样本空间： = { 1,2,3,4,5,6｝ 事件B就是 的一个子集 B发生当且仅当B中的样 本点1，3，5中的某一个 出现.
购买彩票可能中奖也可能不中奖.
4
随机现象的统计规律性
从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是 随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现,它 的结果却呈现出固有规律性,这种规律性称为随机 现象的统计规律性.
例 1、多次重复抛一枚均匀的硬币，其出现正 面的次数约占一半。 2、 某地区婴儿出生男女比例为107:100 。
n
A
i 1
i
,称事件组A1,A2,„An构成
一个完备事件组。 注 : (a ) A 与 － A 构成一个完备事件组； (b)基本事件组构成一个完备事件组。 说明： 事件的关系与运算与集合的关系及运 算是一致的，具有相同的运算律。
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事件间的运算律：(课本第六页)
1、交换律：AB＝BA，A B＝B A 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (A B) C＝A (B C) 3、分配律：(AB)C＝(A C)(B C)， (A B)C＝(AC)(BC)
例2：一工人生产了n个零件，设Ai表示“第i个零件是 正品”（i=1,2,….n).试用文字叙述下列事件：(1) n ,
Ai
i 1
(2)
i 1
I Ai
n
, (3)
n
i
U[ A I (I
i=1
n
k 1 k i
Ak )]
解： （1）n个零件全为正品； （2）至少有一个零件不是正品，或 （3）有且仅有一个零件不是正品。
概率的公理化定义
设E是随机试验， 是它的样本空间。 对于每一个事件A赋予一个实数P(A),称为 事件A的概率，它满足：
1.非负性：对于每一个事件A，0≤P(A)≤1; 2.规范性：P()=1; 3.可列可加性：对于两两互斥的事件 A1,A2,„,有
P UAi P( Ai ). i 1 i 1
了解事件发生的可能性即概率的大小，对 人们的生活有什么意义呢？
23
例如，了解发生意外人身事故的可能性 大小,确定保险金额.
24
了解来商场购物的顾客人数的各种可能 性大小，合理配置服务人员.
25
了解每年最大洪水超警戒线可能性大 小，合理确定堤坝高度.
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§1.2.1 频率及性质
定义1.1 在 n次重复试验中，若事件A发生 了k次，则称 k 为事件A发生的频数，称 k / n 为事件A发生的频率，记为 f n ( A)。
概率论与数理统计
概率论－事件发生的可能性
数理统计－用数据来分析对象满足 的概率规律
1
第一章 概率论基础知识
四个概念（随机事件、概率、条件概 率及事件的独立性） 四个公式（加法公式、乘法公式、全 概率公式和贝叶斯公式） 三个概型（古典概型、几何概型、独 立试验概型即伯努利概型）
主要 内容
2
§1.1 随机事件