2022年北京市石景山区高考数学模拟试卷及答案解析

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4}

B ．{3，4}

C ．{2，3}

D ．{2}

2．（4分）已知i 为虚数单位，若（2+i ）z ＝i ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．（4分）设函数f(x)=x 3−

1

x 3

，则f （x ）是（ ） A ．奇函数，且在（0，+∞）单调递增 B ．奇函数，且在（0，+∞）单调递减 C ．偶函数，且在（0，+∞）单调递增

D ．偶函数，且在（0，+∞）单调递减

4．（4分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（ ） A ．1

6

B ．1

3

C ．1

2

D ．2

3

5．（4分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 2＝3，S 4＝18，则S 6＝（ ） A ．36

B ．45

C ．63

D ．75

6．（4分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是[17.5，30]，并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）

A ．56

B ．60

C ．120

D ．140

7．（4分）若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（ ） A ．c b ＜c a B ．log c a ＞log c b C ．a c ＜b c

D ．log a c ＞log b c

8．（4分）在△ABC 中，若2b cos B ＝a cos C +c cos A ，则B ＝（ ） A ．π

6

B ．π

4

C ．π

3

D ．

2π3

9．（4分）设{a n }是首项为﹣1的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n ﹣1+a 2n ＞0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

10．（4分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =1

2，给出下列三个结论： ①AC ⊥BE ；

②△AEF 的面积与△BEF 的面积相等； ③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值． 其中，所有正确结论的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）已知向量a →

=（2，5），b →

=（λ，4），若a →

∥b →

，则λ＝ ．

12．（5分）双曲线C ：

x 24−y 2

12

=1的焦点坐标为 ，渐近线方程为 ． 13．（5分）设函数f （x ）={2x−1，x ＜1

x 12，x ≥1，则使f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 ．

14．（5分）若点P （cos θ，sin θ）关于x 轴的对称点为Q(cos(θ+π

3)，sin(θ+π

3))，则θ的一个取值为 ．

15．（5分）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知r ＝1，起始位置时大圆与小圆的交点为A （A 点为x 轴正半轴上的点），滚动过程中A 点形成的轨迹记为星形线C ．有如下结论： ①曲线C 上任意两点间距离的最大值为8； ②曲线D ：|x |+|y |＝4的周长大于曲线C 的周长； ③曲线C 与圆 x 2+y 2＝4有且仅有4个公共点． 其中正确的序号为 ．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（13分）已知函数g(x)=sin(x −π

6

)，h （x ）＝cos x ，从条件①f （x ）＝g （x ）•h （x ）、条件②f （x ）＝g （x ）+h （x ）这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）f （x ）的最小正周期；

（Ⅱ）f （x ）在区间[0，π

2]上的最小值．

17．（14分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝∠ADC =π2

，侧面P AD 为直角三角形，∠P AD =π

2

，CD ⊥平面P AD ． （Ⅰ）求证：CD ∥平面P AB ； （Ⅱ）求证：P A ⊥平面ABCD ；

（Ⅲ）若AB ＝3，PD ＝4，CD ＝AD ＝2，判断在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线AM 与平面PBC 所成角的大小为π4．