全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必考考点训练

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必考考点训练
单选题
1、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 4
3=log 42=1
2
C ．(log 515)3
=3log 515=−3D ．1
3log 28=√log 283=√33
答案：A
分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；
解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：
log 46log 43
=log 36，故B 错误；
对于C ：(log 515)3
=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：1
3log 28=1
3log 223=1
3×3log 22=1，故D 错误； 故选：A
2、中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+S
N )，它表示：在受
噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率
N 的大小，其中S
N 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带
宽W ，而将信噪比S
N 从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg2≈0.3010） A ．20%B ．23%C ．28%D ．50% 答案：B
分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 将信噪比S
N 从1000提升至5000时，C 大约增加了Wlog 2(1+5000)−Wlog 2(1+1000)
Wlog 2(1+1000)
=
log 25001−log 21001
log 21001
≈
lg5000lg2−lg1000
lg2lg1000lg2
=
lg53
=
1−lg23
≈0.23=23%.
故选：B.
3、设函数f (x )=lg (x 2+1)，则使得f (3x −2)>f (x −4)成立的x 的取值范围为（ ）
A．(1
3,1)B．(−1,3
2
)C．(−∞,3
2
)D．(−∞,−1)∪(3
2
,+∞)
答案：D
分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.
方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得
|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.
方法一 :
∵f(x)=lg(x2+1)
∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，
则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>3
2
.
方法二 :
根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，
有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，
设t=x2+1，则y=lgt，
在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，
则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，
f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，
解得x<−1或x>3
2
，
故选：D．
4、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累
计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K
1+e−0.23(t−53)
，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
答案：C
分析：将t=t∗代入函数I(t)=K
1+e−0.23(t−53)
结合I(t∗)=0.95K求得t∗即可得解.
∵I(t)=K
1+e−0.23(t−53)，所以I(t∗)=K
1+e−0.23(t∗−53)
=0.95K，则e0.23(t∗−53)=19，
所以，0.23(t∗−53)=ln19≈3，解得t∗≈3
0.23
+53≈66.
小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5、若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则（ ） A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2D ．a <b 2 答案：B
分析：设f(x)=2x +log 2x ，利用作差法结合f(x)的单调性即可得到答案.
设f(x)=2x +log 2x ，则f(x)为增函数，因为2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b
所以f(a)−f(2b)= 2a +log 2a −(22b +log 22b)= 22b +log 2b −(22b +log 22b) =log 21
2=−1<0，
所以f(a)<f(2b)，所以a <2b .
f(a)−f(b 2)= 2a +log 2a −(2b 2
+log 2b 2)= 22b +log 2b −(2b 2
+log 2b 2)= 22b −2b 2
−log 2b ， 当b =1时，f(a)−f(b 2)=2>0，此时f(a)>f(b 2)，有a >b 2
当b =2时，f(a)−f(b 2)=−1<0，此时f(a)<f(b 2)，有a <b 2，所以C 、D 错误. 故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 6、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,4
3
)B ．(4
3
,+∞)
C ．(−2,43
)D ．(−∞,−2)∪(4
3
,+∞)
答案：D
分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.
解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R
所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，
当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，
所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >4
3， 所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(4
3,+∞).
7、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =1
4
，x =1
2
与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C
､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +1
2b =（ ）
A ．1
2B ．1C ．√2D ．2
答案：B
分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．
由|AB |=|CD |得(14)a
−(14)b
=(12)a
−(12)b
，即[(12)a
−(12)b
][(12)a
+(12)b
]=(12)a
−(12)b
≠0， 所以(12)a
+(12)b
=1，
故选：B ．
8、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ） A ．7B ．10C ．12D ．34 答案：C
分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可. 因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12， 故选：C
9、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
答案：B
分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，
900
50
=18，故至少需要志愿者18名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
10、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a
答案：B
分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1
log2a <log2b−1
log2b
，结合y=x−
1 x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1
log2a
<log3b−1
log3b
，即log2a>log3b，再根据对数运算性
质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.
由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，
利用换底公式等价变形，得log2a−1
log2a <log2b−1
log2b
，
由函数f(x)=x−1
x
在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；
其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，
同样利用f(x)=x−1
x
的单调性知，log2a>log3b，
又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.
故选：B.
填空题
11、已知a=lg5，用a表示lg20=__________.
答案：2−a
分析：直接利用对数的运算性质求解
因为a=lg5，
所以lg20=lg100
5
=lg100−lg5=2−a，
所以答案是：2−a
12、函数y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点___________．
答案：(−1,1)
分析：利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.
当x+1=0，即x=−1时，y=a0=1，
所以y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点(−1,1).
所以答案是：(−1,1)
13、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．
答案：(0，－2)
分析：由对数函数的图象所过定点求解．
解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)
解答题
14、已知a 1
2+a−
1
2=3，求下列各式的值.
(1)a+a−1；
(2)a2+a−2；
(3)a 3
2+a−
3
2+2
a2+a−2+3
.
答案：(1)7
(2)47
(3)2
5
分析：(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得a+a−1的值；
(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得a2+a−2的值；
(3)首先利用立方差公式可得a 3
2+a−
3
2=(a
1
2+a−
1
2)(a−1+a−1)，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.
（1）
将a 12
+a
−
12
=3两边平方，得a +a −1+2=9，
所以a +a −1=7． （2）
将a +a −1=7两边平方，得a 2+a −2+2=49， 所以a 2+a 2=47． （3）
∵a 1
2+a −1
2=3，a +a −1=7，a 2+a 2=47， ∴a 32+a
−
32
=(a 12
)3
+(a −
12
)3
=(a 12+a −1
2)(a −1+a −1)=3×(7−1)=18，
∴a 32+a
−32+2
a 2+a −2+3=18+2
47+3=2
5．
15、已知函数f (x )=log a (a x −1)（a >0，a ≠1） （1）当a =1
2时，求函数f (x )的定义域；
（2）当a =2时，存在x ∈[1,3]使得不等式f (x )−log 2(1+2x )>m 成立，求实数m 的取值范围. 答案：（1）(−∞,0)；（2）m <log 27
9,.
分析：（1）利用真数大于0，即可求解定义域；（2）令g (x )=f (x )−log 2(1+2x )=log 2(2x −1
2x +1)，由题意可知m <g (x )max ，令t =
2x −12x +1
，求解t 的取值范围，然后可求g (x )max ，从而求出m 的取值范围.
（1）当a =1
2时，f (x )=log 12
(1
2x −1)，故：1
2x −1>0，解得：x <0，故函数f (x )的定义域为(−∞,0)；
（2）由题意知，f (x )=log 2(2x −1)（a >1），定义域为x ∈(0,+∞)，易知f (x )为x ∈(0,+∞)上的增函数， 设g (x )=f (x )−log 2(1+2
x )
=log 2(2x −12x +1)，x ∈[1,3]，设t =2x −1
2x +1=1−2
2x +1，x ∈[1,3]，故2x +1∈[3,9]，
t =1−2
2x +1∈[13,7
9]，因为g (x )=log 2t 单调递增，则g (x )∈[log 21
3,log 27
9].
因为存在x ∈[1,3]使得不等式f (x )−log 2(1+2x )>m 成立故：m <g (x )max ,即m <log 27
9.。