湖南省衡阳市雁峰区成章实验中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题(含答案解析)

湖南省衡阳市雁峰区成章实验中学2021-2022学年八年级下
学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．在代数式1121,,,,3b x a m x y a
π-++中，分式的个数是（ ） A ．2个 B ．3个
C ．4个
D ．5个
2．要使式子2
x
x -有意义，则（ ） A ．0x ≠ B ．2x ≠ C ．2x > D ．0x >
3．若1
01
-=+a a ，则a 的值为（ ） A ．0
B ．1-
C ．1
D ．2
4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A ．n
m ＝22n m ++
B ．22
x y x y
--＝x ﹣y
C ．b a ＝2
2b a
D ．b a
＝2ab a
5．下列函数关系式：y x =①；112y x =-②；22y x =+③；1
y x
=④，其中一次函数的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．一次函数y ＝－2x ＋5的图像不经过的象限是（ ） A ．一 B ．二
C ．三
D ．四
7．若
32
b a =，则a b b +的值等于（ ）
A ．5
3
B ．25
C ．52
D ．5
8．直线1
22
y x =-+上有三个点()12,y -，()21,y -，()32,y ，则1y ，2y ，3y 的大小关
系是( ) A ．123y y y >>
B ．123y y y <<
C ．213y y y <<
D ．213y y y >>
9．已知函数21(0)
4(0)x x y x x +≥⎧=⎨<⎩
，若函数值1y =-，则自变量x 取值为（ ）
A ．1-
B ．1
4
-
C ．1-或1
4
-
D ．0
10．施工队铺设3000米的下水管道，每天比原计划少施工50米，结果延期4天完成
任务，设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是（ ） A ．30003000
450
x x -=+ B ．30003000
450x x -=- C ．
30003000
450
x x -=-
D ．
30003000
450x x
-=+ 11．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点P 从点A 出发沿路线A →B →C →D 匀速运动至点D 停止，已知点P 的速度为1，运动时间为t ，以P 、A 、B 为顶点的三角形面积为S ，则S 与t 之间的函数图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数2
()1f x x =+，其中()f a 表示x a =时对应的函数值，如2(1)11
f =+，2
(2)12
f =
+，则11(
)()20222021f f ++…1()(1)(2)2f f f +++…+(2021)(2022)f f +的值为（ ） A ．2022
B ．2021
C ．4043
D ．4042
二、填空题
13．新型冠状病毒呈球形或椭圆形，平均直径大约为0.000000102m ，该直径用科学记数法表示为______．
14．分式
26x ab 与29y a bc
的最简公分母是 _____． 15．将一次函数21y x =+的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_______．
16．如果关于x 的方程
1
101
mx x +-=-有增根，则m =_______________. 17．在平面直角坐标系中点(0,1)M -与点(0,)N a 之间的距离为3，则a 的值为______．
18．如图，在ABC 中，AB AC = ，点A 的坐标为()2,1-，点B 在y 轴上，BC∥x 轴．将ABC 沿BC 翻折得到A BC '，直线5
2
y x =过点A '，则四边形A BAC '的面积为__________．
三、解答题 19．解方程：
4422x x x
-=--．
20．计算：2021
2(3)|8|()3
π--+-+--
21．先化简，再求值：2211
(1)121m m m m
-÷+--+，其中3m =-．
22．小蕊在作业本上写完一个代数式的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原代数式的一部分（被墨水遮住的部分用∥代替），该式为31
()111
x x x x x +-÷=-+-． (1)求被墨水遮住部分的代数式；
(2)原代数式的值能等于1-吗？请说明理由．
23．已知点(6,0)A 及在第一象限的动点(,)P x y ，且8x y +=，设OAP △的面积为S ． (1)求S 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当S 9=时，求P 点的坐标．
24．在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人以3：1的总战绩，
斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来．
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元． （1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
25．小林家、小华家与图书馆依次在一条直线上，小林、小华两人同时各自从家沿直线匀速步行到图书馆借阅图书，已知小林到达图书馆花了20分钟，设两人出发x （分钟）后，小林离小华家的距离为y （米），y 与x 的函数关系如图所示．
(1)小林的速度为______米/分钟，a =______，小林家离图书馆的距离为______米； (2)已知小华的步行速度是40米/分钟，设小华步行时与家的距离为1y （米）． ∥1y 关于x 的函数关系式：______；自变量x 的取值范围是：______； ∥请用描点法在图中画出1y （米）与x （分钟）的函数图象； (3)在（2）的条件下，问：小华出发几分钟后两人在途中相遇？
26．在平面直角坐标系中，直线4(0)y kx k =+≠交x 轴于点(8,0)A ，交y 轴于点B ．若点C 是直线AB 上的一个动点，点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上．
(1)k 的值是______；
(2)若点C 在线段AB 上，90ECD ∠=︒，是否存在点C ，使CE CD =，若存在，求出点
C 的坐标，若不存在，说明理由．
(3)若已知点D 的坐标为（6，0），点E 的坐标为（0，1），且四边形OECD 的面积是
9，求点C 的坐标．
(4)当CE 平行于x 轴，CD 平行于y 轴时，若四边形OECD 的周长是10，请直接写出点
C 的坐标．
参考答案：
1．B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式1121,,,,3b x a m x y a
π-++中， 分式有
121
,,.a m x y a
∥分式有3个． 故选B
【点睛】本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，分母中不含有字母则不是分式．
2．B 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求得答案． 【详解】解：要使式子2
x
x -有意义， 则20x -≠
2x ∴≠
故选B
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是“分母不为0”是解题的关键．
3．C 【分析】根据1
1
a a -+=0即可得到a−1=0，由此即可得到答案． 【详解】解：∥1
1
a a -+=0,，a+1≠0 ∥a −1=0， ∥a =1， 故选C ．
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式值为零时的条件是分子为0，分母不等于0．
4．D 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A 、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故本选项不符合题意；
B 、分子、分母约分时出现错误，正确的是原式＝x +y ，原变形错误，故本选项不符合题意；
C 、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故本选项不符合题意；
D 、该式左到右的变形正确，原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D ．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解和运用分式的基本性质，本题属于基础题型，分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变．
5．B 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【详解】解：y x =①是一次函数； 112y x =-②是一次函数；
22y x =+③，自变量x 次数为2，不是一次函数；
1
y x
=
④，自变量x 不能做分母，不是一次函数． 一次函数有2个， 故选：B ．
【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数y kx b =+的定义条件是：k 、b 为常数，0k ≠，自变量次数为1．
6．C 【分析】根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：一次函数25y x =-+，20k =-<，50b =>， ∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C ．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，知道当
0k <，0b >时，一次函数的图象经过第一、二、四象限．
7．A 【分析】根据已知条件得出23
a b =，再把要求的式子化成1a
b +，然后代值计算即可．
【详解】解：3
2
b a =， 23
a b ∴=， 25
1133
a b a b b +∴
=+=+=； 故选A ．
【点睛】此题考查了分式的性质，解题的关键是根据已知条件得出
23
a b =． 8．A 【分析】由20k =-<，利用一次函数的性质可得出y 值随x 值的增大而减小，结合
212-<-<可得出123y y y >>，此题得解．
【详解】20k =-<，
y ∴值随x 值的增大而减小．
又212，
123y y y ∴>>．
故选：A ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．
9．B 【分析】将1y =-分别代入y =2x +1和y =4x 中，即可求出x 的值，结合x 的取值范围即可得解．
【详解】解：当1y =-时，211x +=-， 解得：1x =- ∥0x ≥
所以1x =-不合题意，舍去； 当1y =-时，41x =-， 解得：1
04
x =-<，符合题意，
∴当函数值1y =-时，自变量x 取值为1
4
-．
故选：B ．
【点睛】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解． 10．B 【分析】设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x -50）米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划多用4天完成任务，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x -50）米， 依题意，得：30003000
450x x
-=-． 故选：B ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
11．C 【分析】分点P 在AB 上运动、点P 在BC 上运动、点P 在CD 上运动三种情况，逐次求出函数表达式，即可求解．
【详解】解：∥当点P 在AB 上运动时（0≤t ≤2）， ∥点P 、A 、B 在一条直线上，故S =0； ∥当点P 在BC 上运动时（2＜t ≤4），
S =12AB ×PB =1
2
×2×（t -2）=t -2，为一次函数， 当t =4时，S =2；
∥当点P 在CD 上运动时（4＜t ≤6），
同理可得：S =12×AB ×BC =1
2
×2×2=2，为常数；
观察四个选项，只有C 选项符合题意， 故选：C ．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图像，分类求出函数表达式是本题解题的关键． 12．C 【分析】首先根据已知条件把所求的式子进行化简，再代入相关数值，计算即可．
【详解】解：∥122111a f a a a ⎛⎫==
⎪+⎝⎭
+， 则有： 111202220212f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
4044404240404
2023202220213
=
+++⋯+， ()()()()()12202020212022f f f f f ++⋯+++
222213*********
=+++⋯++，
则原式40444042404042222
120232022202133420222023
=
+++⋯+++++⋯++ 42624044
21334420232023⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()1202322=+-⨯
4043=，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了函数值的计算，计算的关键是理解已知条件中的关系式，对每个式子进行化简．
13．71.0210-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：70.000000102 1.0210-=⨯； 故答案为：71.0210-⨯．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤＜
，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．18a 2b 2c 【分析】结合题意，根据分式最简公分母的性质计算，即可得到答案． 【详解】6ab 2＝3ab •2b ， 9a 2bc ＝3ab •3ac ，
∥最简公分母是：3ab •2b •3ac ＝18a 2b 2c ， 故答案为：18a 2b 2c ．
【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的最简公分母的性质，从而完成求解．
15．y ＝2x -2【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：将一次函数y ＝2x +1的图象向下平移3个单位长度， 相应的函数是y ＝2x +1﹣3＝2x -2． 故答案为：y ＝2x -2．
【点睛】本题考查一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 16．-1【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x −1＝0，所以增根是x ＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【详解】方程两边都乘x −1得mx ＋1-x ＋1＝0， ∥方程有增根，
∥最简公分母x−1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：∥确定增根的值；∥化分式方程为整式方程；∥把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．-4或2##2或-4【分析】根据横坐标相同的点在y轴上，再分两种情况讨论求解．
【详解】解：01
M-
（，）与点0
N a
（，）的横坐标都是0，
∴点M，N在y轴上，
13
a
∴--=，
13
a
∴--=或13
a
--=-，
解得4
a=-或2，
故答案为：4
-或2．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，关键在于要分情况讨论．
18．12【分析】根据折叠的性质得到A′B=AB，A′C=AC，推出四边形A′BAC是菱形，连接A A′交BC于D，得到AA′∥BC，BD=CD，根据已知条件得到A′的横坐标为2，由于直
线
5
2
y x
=过点A'，得到A′(2，5)，于是得到AA′=6，BC=4，根据菱形的面积公式即可得到
结论．
【详解】解：∥将∥ABC沿BC翻折得到∥A'BC，∥A′B=AB，A′C=AC，
∥AB=AC，
∥A′B=AB=A′C=AC，
∥四边形A′BAC是菱形，
连接A A′交BC于D，
∥AA′∥BC ，BD=CD ，
∥BC∥x 轴，
∥A′A∥x 轴，
∥点A 的坐标为(2，-1)，
∥A′的横坐标为2，
∥直线52
y x =过点A'， ∥A′(2，5)，
∥AA′=6，BC=4，
∥四边形A'BAC 的面积=1
2
×6×4=12， 故答案为：12．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，菱形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．x =4【分析】方程两边同时乘以2x -（）
，把分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【详解】方程两边同时乘以2x -（）
得：()424x x --=-， 解得：4x =，
检验：当4x =时，20x -≠，
∴原分式方程的解为4x =． 【点睛】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化为整式方程是解决问题的关键． 20．-7【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：原式41893=-++--
7=-．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
21．11m -，14
-【分析】将除式的分子和分母进行因式分解，根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可． 【详解】22111121m m m m -⎛⎫÷+- ⎪-+⎝⎭
()()()
211111m m m m m +-+=÷-- 1111
m m m m +=⋅--+ 111m m m m -=
--- ()11
m m m --=- 11
m =-， 当3m =-时，原式11314
==---． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22．(1)31
x x -- (2)原代数式的值不能等于1-，理由见解析
【分析】（1）由题意知13111x x x x x +=
⋅+-+-，进行化简求解即可； （2）令111
x x +=--，可得0x =，分式有意义则有则有10x -≠且10x +≠且0x ≠，进而可得出结果．
（1）
解：∥ 31()111x x x x x +-
÷=-+- ∥13111x x x x x
+=⋅+-+-
311
x x x =--- 31
x x -=- ∥被墨水遮住部分的代数式为
31
x x --． （2） 解：原代数式的值不能等于1-；
理由如下：∥111
x x +=-- ∥1(1)x x +=--
解得：0x = 要使分式33()111
x x x x x --÷--+有意义，则有10x -≠且10x +≠且0x ≠ 即x 不能为1，1-，0
∥原代数式的值不能等于1-．
【点睛】本题考查了分式的化简计算，解分式方程．解题的关键在于正确的进行化简求解．
23．(1)324(08)S x x =-+<<
(2)()53P ，
【分析】（1）根据8x y +=，可得8y x =-，即可表示出S ，根据P 点在第一象限，即可求出自变量的取值范围；
（2）将S 9=代入（1）中的函数关系式，即可求出x ，进一步求出P 点坐标． （1）
解：P 在第一象限，且8x y +=，
8y x ∴=-，
0x ∴>且80x ->，
08x ∴<<，
60A （，）
， 6OA ∴=，
163383242
OAP S y y x x ∴=⨯==-=-+（）， 32408S x x ∴=-+<<（）
．
（2）
解：当S 9=时，即3249x -+=，
解得5x =，853y =-=，
()53P ∴，．
【点睛】本题考查了一次函数与动点的综合，表示出三角形OAP 的面积是解题的关键． 24．（1）该商家第一次购进机器人100个；（2）每个机器人的标价至少是140元．【详解】试题分析：（1）设该商家第一次购进机器人x 个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答；
（2）设每个机器人的标价是a 元．根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式并解答．
解（1）设该商家第一次购进机器人x 个， 依题意得：1100024000102x x
+=， 解得x =100．
经检验x =100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a 元．
则依题意得：a ﹣11000﹣24000≥×20%，
解得a ≥140．
答：每个机器人的标价至少是140元．
25．(1)60；960；1200
(2)∥140y x =，024x <≤；∥见解析
(3)12分钟
【分析】（1）根据图象可知，小林4分钟行走了240米，即可求出小林的速度，三个地点的依次是小林家、小华家、图书馆，利用第4分钟至20分钟，小林走了距离a ，即可求出a 的值，总时间乘以速度即可求出小林家距离图书馆的距离；
（2）∥依据小华的速度可直接得出1y （米）与x （分钟）的函数关系式；∥根据1y （米）与x （分钟）的函数关系式画出图象即可；
（3）需求出两个函数图象的交点坐标即可求出小华出发几分钟后两人在途中相遇． （1）
根据图象可知，小林的速度为240460÷=（米/分钟），
20460960a =-⨯=（）（米）
， 小林家离图书馆的距离为60201200⨯=（米）．
故答案为：60，960，1200；
（2）
∥1y 关于x 的函数关系式为：140y x =，
由（1）可知小华离图书馆的距离为960a =米，
代入可得96040x =，
解得：24x =，
即自变量x 的取值范围是024x <≤．
故答案为：140y x =，024x <≤；
②作出图象如下：
（3）
两人离图书馆的距离相等时相遇，此时两人距离小华家的距离也相等，
此时小林与小华是在小林经过小华家之后追上小华的，即4x ≥，
当4x ≥时，6024060240y x x =⨯-=-，
二人相遇，即有1y y =，
则：6024040x x -=，
解得：12x =，
即小华出发12分钟后两人相遇．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，在解题时要能根据题意求出函数的解析式，再根据函数的图象求出答案．
26．(1)12
- (2)存在，88(,)33
C (3)5(3,)2
(4)(2,3)或213(,)33
- 【分析】（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法可求出k 值；
（2）过点C 作CM x ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，证明()CMD CNE AAS △≌△，
可得CM CN =，设1,42C x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则142x x =-+，解方程求得x 的值，即可求解； （3）过点C 作CM x ⊥轴于M ，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C 的坐标，由四边形OECD 的面积是9，得出9CDM CEOM S S
+=梯形，解方程求得m 的值，即可求得C 的
坐标；
（4）由题意可知124102m m -+=（），解方程求得m 的值，即可求得C 的坐标． （1）
将8,0A （）代入4y kx =+，得：084k =+， 解得：12
k =-， 故答案为：12
-； （2）
存在，点C 的坐标为88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 如图，过点C 作CM x ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，
∥90AOB CNO CMO ∠∠∠===，
∥90MCN ∠=，
∥90NCE ECM ∠∠+=，
∥90ECD ∠=，
∥90MCD ECM ∠∠+=，
∥NCE MCD ∠=∠，
∥CE CD =，
∥()CMD CNE AAS △≌△，
∥CM CN =， 设1,42C x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则142x x =-+， 解得83
x =， ∥88,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （3）
如图，过点C 作CM x ⊥轴于M ，
由（1）可知直线AB 的解析式为142
y x =-+．
设1,42C m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，()08m <<， ∥点D 的坐标为6,0（），点E 的坐标为0,1（），
∥6OD =，1OE =，
∥OM m =，142
CM m =-+， ∥四边形OECD 的面积是9， ∥()1111144692222CDM CEOM S S m m m m ⎛⎫⎛⎫+=-+⋅+-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形， 整理得26m =，
解得3m =，
∥点C 的坐标为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （4）
∥CE x ∥轴，CD y ∥轴，
∥四边形CEOD 是矩形，
∥四边形OECD 的周长是10，
设142C m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
,， ∥124102m m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭或124102m m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 解得2m =或23
m =-， 点C 的坐标为2,3（）或21333⎛⎫- ⎪⎝⎭
,． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，利用方程的思想求解．。