有限单元法

ui 0,u j 1
•
u ( x) N j
Ni
—i点单位位移对内位移所做的贡献
性质：本质上与位移函数有相同的形式
性质1：本端为1，他端为0 性质2：任意一点的总和为1
k i , j
N
k
( x) N i ( x) N j ( x) 1
•
数学意义 若结构被自然结点离散化为有限元的集合，实现了结构模型的离 散化，而形状函数完成了数学模型的离散化，这两个离散化的步骤构 成了有限元法的理论基础。
① 平面桁架单元（只有一个沿轴向位移）
λ [l11 l12 ] cos
l11 l12 λ l21 l22 0 0 0 cos sin 0 1 0
sin
sin cos 0 0 0 1
② 平面自由式单元（轴向位移、横向位移及转角）
1 l Q Fp , 2 8 ,
e
1 l , 2 8
T
T
xi Qe M x ( 1 ) l
e
xi l
T
1 Q M x 2
e
2 2 6 xi 6 xi 2 xi 3 xi 3 , 2 l2 l l l
Qe mz
0 mz
0
T
6x 6x N v 2 3 l l
2
, 1
4 x 3x 2 2 , l l
6x 6x2 2 x 3x 2 , 2 l2 l3 l l
E-mail: wh@
LOGO
集中载荷
Q
e
N x
E-mail: wh@
LOGO
第二章 杆件结构有限元分析
杆系结构有限元分析过程
1.位移模式或位移函数（形状函数）
2.几何方程 3.物理方程 4.平衡关系 5.坐标变换 6.全结构的平衡 7.边界条件的处理
整体分析
计算 单元分析
E-mail: wh@
LOGO
1.单元分析
位移模式：内位移表示为坐标的某种函数
u [ N ]
几何方程 （协调） 物理方程
e
[ N ] [Q][C ]1
N的含义
[B] e
S e
B LN
S DB
[ K ]e B D B dV
E-mail: wh@
LOGO
有限元法分析内容及步骤
内容一：物体离散化 内容二：单元特性分析 选择位移模式 分析单元的力学特性 计算等效结点力 内容三：整体特性分析 内容四：求解未知结点位移 步骤1：待求解域离散化 步骤2：选择插值函数 步骤3：形成单元性质的矩阵方程 步骤4：形成整体系统的矩阵方程 步骤5：约束处理，求解系统方程 步骤6：其它参数计算 （应力、应变及位移三大物理量）
EA 0 l 12EI l3 Ku e K Kv 0 6 EI l2 4 EI l EA l 0 0 EA l
12 6l 6l 2l 2 12 6l 6l 4l 2
① 求单元的结点位移（总体坐标） ② 求约束反力 ③ 求杆内力
边界条件的处理：后处理法需采用删行删列法 若已知某一结点位移，可采用划零置一法或置大数法进行处理。
E-mail: wh@
LOGO
举例
y
Py
Px
1 l 2EA
给出了单元的几何及物理参数， 求结点1的位移，各杆内力，支座反力 后处理法：
0 12EI l3 6 EI 2 l 0 12EI l3 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l 0
x 1 0 Nu l N 3x 2 2 x 3 Nv 0 1 2 3 l l

i
F
T p
当xi=0.5
1 Q Fp 2
e
T
集中轴力 集中剪力 集中扭矩 集中弯矩
xi Qe Fp ( 1 ) l
e
xi l
T
1 2
T
2 3 2 3 2 3 2 3 Q Fp 3x2i 2 x3i , xi 2 xi xi2 , 3x2i 2 x3i , xi xi2 l l l l l l l l
先“拆”再“搭（合）”，“化未知为已知”
E-mail: wh@
LOGO
近似函数—插值函数
利用在每个单元内假设的近似函数来分片表示全求解域上待求 的未知场函数。
单元内的近似函数由未知场函数或及其导数在单元各个节点的 数值和插值函数来表达。 因此，一个问题的有限元分析中，未知场函数或及其导数在各 个结点上的数值就成为新的未知量（自由度）——使连续的无限自 由度问题变成离散的有限自由度问题。
E-mail: wh@
LOGO
单元刚度矩阵
F
e
Fi K ii F j K ji
K ij ui K jj u j
Fi K ii ui K ij u j F j K ji ui K jj u j
E-mail: wh@
LOGO
有限元模型（FEM） —由一些简单形状的单元组成，单元之间通过结点连接，并承 受一定载荷。
有限元分析（FEA） —利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进 行模拟；利用简单又相互作用的单元，从而可以用有限的未知量去 逼近无限未知量的真实系统。
1）单元刚度系数的物理意义 单元刚度系数
K ij K ji
结点位移 ui 0, u j 1
ui 1, u j 0
结点
i
结点力 Fi K ij
F j K ji
Fn 的大小。
j
K nm
是指 um 1 （其余为零）所需施加的
2）性质 性质1：对称性 性质2：奇异性 性质3：主元恒大于0
2
K e
GI p 1 1 l 1 1
平面弯曲单元
平面自由式单元

2 x3 2 x 2 x 3 3x 2 2 x 3 x 2 x 3 , x 2 , 2 3 , 2 l3 l l l l l l
6l 12 6l 4l 2 EI e K 3 l 12 6l 2l 2 6l
有限单元法
E-mail: wh@
LOGO
第一章 绪论
有限元法基本思想 即离散化的数学方法，将一个连续域离散化为有限个单元并通过有 限个结点相连接的等效集合体。
结点—单元与单元间的连接点，空间中的坐标位置，具有一定自由度及存在 相互物理作用。 有限元模型中，相邻单元的作用通过结点传递。 单元—原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域。 单元有线、面或实体以及一维、二维或三维等种类。 结点力—单元与单元间通过结点的相互作用力，内力 载荷—作用于结点的外载，外力
（2）结构各结点位移与单元各相应结点的变形位移完全协调
E-mail: wh@
LOGO
建立总刚度矩阵的具体做法： 把各单元刚度矩阵中的杆元素值按全结构位移排列顺序，逐个装入 相应的位置。 两种方法： ① 后处理法（结点位移） ② 先处理法（定位向量）
总刚度矩阵的特点：
全结构的平衡方程
对称性、奇异性、稀疏性（且沿对角线呈带状分布）
P [K ]
存储方法：全矩阵存储方法，等带宽存储方法，变带宽一维数组紧缩存储
E-mail: wh@
LOGO
4.载荷处理
① 后处理法 ② 先处理法 分布载荷 Qq
e
Ⅰ直接作用结点载荷矩阵 Ⅱ等效结点载荷矩阵 得出综合结点载荷矩阵
E-mail: wh@
LOGO
有限元法的优点 有限元可以运用于任何场问题： • 没有几何形状的限制 • 边界条件和载荷没有限制 • 材料性质并不限于各向同性 • 具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合 • 有限元结构和被分析的物体或区域很类似 • 通过网格细分可以很容易地改善解的逼近度
1 2
2 6 xi 6 xi 2 4 xi 3 xi Q M z 2 3 , 1 2 , l l l l
3 1 Q M z , , 2l 4
e
3 1 , 2l 4
T
E-mail: wh@
LOGO
5.求解
T N l qdx
分布轴力
1 Q 2 pl
e
e
1 pl 2
T
x x [ N u ] N i , N j 1 , l l


1 2 1 ql 分布剪力 Q ql 2 12
1 ql 2
T
3x 1 1 2 ql 2 N v l 12
v1 u1
v3
x
2EA
1 离散化，标上结点编号 2 选择位移模式 二力杆单元（拉压）
v2
2
EA
v4
4
l
3
u2lu3u4 x x ui u x 1 , l l u j
E-mail: wh@
LOGO
3 单元分析 ① 杆1-2，取1为局部坐标系的坐标原点，由1指向2为x轴正向，由 按逆时针方向为正 1 1 sin cos 225 l12 2l 2 2
x 轴到x轴
局部坐标系下单刚
K 12
2 EA 1 1 2l 1 1
EA 1 1 K l 1 1
e
方向余弦矩阵 1 2 12 1 2 方向余弦矩阵
1 2 1 2
E-mail: wh@
LOGO
不同杆单元的形状函数矩阵和单元刚度矩阵
拉压杆 扭转杆
x x [ N ] 1 , l l
K e EA
1 l 1 1 1
x x [ N ] 1 , l l
3x N 1 2 l
0 2 x 2 x3 x 2 l l
x l 0
0 3x 2 2 x 3 3 l2 l
2 3 x x 2 l l 0
E-mail: wh@
LOGO
2.坐标变换
K T K T
e T e
T


T
2

2 x3 2 x 2 x3 3x 2 2 x 3 x 2 x3 , x , , 2 l3 l l2 l2 l3 l l
分布扭矩 分布弯矩
1 Q 2 mx l
e
1 mx l 2
x x [ N ] 1 , l l
E-mail: wh@
LOGO
3.集成总刚
[ K ] K
m e 1
e
原因：单元刚度矩阵根据单元物理关系、单元集合关系求得，与全结构无关 结构刚度矩阵要求 ——全结构的平衡 （1）结构各结点满足平衡关系（与结点i相连的各单元，对i点的结点力与i 点处的外载荷平衡）
T V
刚度方程
Fe K e e
K的含义
E-mail: wh@
LOGO
形状函数矩阵 • 力学意义
u[ N ] e N iui N j u j
u ( x) N i
当元素的一个位移为单位值，其他结点的位移为零时，元素内位 移的分布规律
ui 1,u j 0
cos [ ] sin [T ]
sin cos