高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
1.己知，则tan 2a=_________．
【答案】
【解析】由得，=，代入整理得，
，解得=或=，
当=时，=，所以=2，所以==；
当=时，=-，所以=，所以==，
综上所述，的值为．
【考点】同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想
2.凸四边形中，其中为定点，为动点，
满足.
（1）写出与的关系式；
（2）设的面积分别为和，求的最大值。

【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；
（2）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值．
（1）在⊿PAB中，由余弦定理得：
3分
同理在⊿PQB中∴
∴ 6分
（2） 8分
∴
当时，。

12分
【考点】1.余弦定理；2.三角形面积；3.同角三角函数间的基本关系以及二次函数的性质.
3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若.
（1）求B；
（2）设函数，求函数上的取值范围.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由可得，然后结合余弦定理求出从而确定角B的值.
（2）结合（1）的结果，利用两角和与差的三角函数公式将函数式化简为
再由得，根据正弦函数的性质求得的取值范围.
解：（1）解法一：
因为，所以 2分
由余弦定理得，整理得
所以 4分
又因为，所以. 6分
解法二：
因为，所以 2分
由正弦定理得
所以
整理得
因为，所以，所以 4分
又因为，所以. 6分
（2）
8分
因为，则， 10分
所以，
即在上取值范围是. 12分
【考点】1、余弦定理；2、两角和与差的三角函数公式；3、正弦函数的性质.
4.（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；
（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．
【答案】（1）（2）tanα=1或tanα=4
【解析】（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，
∴由余弦定理得：cosC===﹣，
又C为三角形的内角，
则C=；
（2）由题意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，
即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，
∵C=，A+B=，cosAcosB=，
∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，
解得：tanα=1或tanα=4．
5. sin2012°=（）
A．sin32°B．﹣sin32°C．sin58°D．﹣sin58°
【答案】B
【解析】sin2012°=sin（5×360°+212°）=sin212°=sin（180°+32°）=﹣sin32°．
故选B
6.若，则=（）
A．B．C．D．
【答案】（C）
【解析】由所以.故选（C）.
【考点】1.角的和差公式.2.解方程的思想.
7.在中，.
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到
，，因此=.
试题解析：（1）因为 ,
（2）=
所以 ,
【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足cs inA=ac o s C，则
s inA+s inB的最大值是（）
A．1B．C．D．3
【答案】C
【解析】由cs inA=ac o s C，所以s inC s inA=s inA c o s C，即s inC=c o s C，所以t a nC=，C=,
A=-B,所以s inA+s inB=s in（-B）+s inB=s in（B+）∵0<B<,∴<B+<
,∴s inA+s inB的最大值为.故选C.
【考点】1正弦定理；2两角和与差的正弦函数；3正弦函数的单调性．
9.已知，，则的值为．
【答案】
【解析】因为，所以
.
【考点】两角和与差正切
10.已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．
【答案】－
【解析】由sinα＝且α是第二象限角，得tanα＝－，
∵(α＋β)－α＝β，
∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝7.
∴tan2β＝
11.求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．
【答案】
【解析】(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋＋sin10°·(cos10°－sin10°)＝
(sin210°＋cos210°)＝.
(解法2)设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－＝－cos40°－.因此2x＝，故x＝
12.计算：(tan10°－)·sin40°.
【答案】－1
【解析】原式＝·sin40°＝
＝＝＝＝－1.
13.已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.
【答案】β＝
【解析】∵ 0＜β＜α＜，∴ 0＜α－β＜.又cos(α－β)＝，
∴ sin(α－β)＝，
∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.又0＜β＜，∴ β＝
14.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．
【答案】
【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.
∴＝1＋tan2(α－β)＝.
∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.
∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝
15.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
【答案】－
【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则f
(x)＝，
max
依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，
代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.
∴cos θ＝－.
16.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.
【答案】
【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－
，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.
17.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】依题意得sin β＝，cos β＝；注意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β> (否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.
18.设的内角所对的边长分别为，且．
（1）求的值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用正弦定理及三角形内角和关系，将原式化成
，化简得，从而；（2）利用两角差的正切展开，将代入，接着利用均值不等式即可算出最大值.
试题解析：（1）在中，由正弦定理及可得
即，则；
（2）由得
当且仅当时，等号成立，
故当时，的最大值为.
【考点】1.正弦定理；2.两角差的正切；3.均值不等式.
19.已知是方程的两根，则=_______.
【答案】1
【解析】本题考查两角和的正切公式，，而与可由韦
达定理得．
【考点】韦达定理与两角和的正切公式．
20.的值（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
.
【考点】三角恒等变换、诱导公式及三角函数值.
21.设向量，，其中，若，则
.
【答案】
【解析】
两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即
，又，所以.
【考点】三角函数、平面向量.
22.若且则的可能取值是（）
A. B C. D.
【答案】A
【解析】由得，由得：
，故
，故，故选A.
【考点】1.两角和的正切公式；2.基本不等式；3.正切函数的单调性
23.定义运算，则函数的最小正周期为（）
A．4πB．2πC．πD．
【答案】C
【解析】根据新定义运算得：，所以最小正周期.
【考点】1、创新意识；2、三角函数变换；3、三角函数的周期.
24.设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且
.
(1)求角的值；
(2)若，求（其中）.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得，又为锐角，所以；(2)由
可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.
试题解析：(1)因为
，
所以，又为锐角，所以.
(2)由可得
①
由（1）知，所以
②
由余弦定理知，将及①代入，得
③
③+②×2，得，所以
因此，是一元二次方程的两个根.
解此方程并由知.
【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.
25.若，则的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
【考点】同角三角函数基本关系式、二倍角正弦公式.
26.，，则的值为( ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，因为，所以，
则.
【考点】两角和与差的正余弦公式.
27.化简计算： _.
【答案】
【解析】本试题主要是考查了三角函数中两角和的正切公式的运用。

因为利用诱导公式可知，tan1950=tan(1800+150)=tan150,故
，故答案为。

解决该试题的关键是利用诱导公式和两角和的正切公式化简得到。

28.（本小题满分12分）
已知向量，．函数．
(I)若，求的值；
(II)在中，角的对边分别是，且满足，
求的取值范围．
【答案】（1）．（2）．
【解析】本试题主要是考查了向量的数量积和三角形的求解的综合运用。

（1）因为由得，因此的得到结论。

（2）由正弦定理，，即，然后得到角B的值，然后根据定义域得到三角函数的值域。

解：（1）由题意，．4分
由得，因此． 6分
（2）由正弦定理，，即．
由于，所以，． 10分
于是，，，从而． 12分
29.若α是锐角，且的值是。

【答案】
【解析】本试题主要是考查了三角函数中两角差的正弦公式的运用，以及运用凑角的思想求解函数值。

因为α是锐角，且
故答案为
解决该试题的关键是将所求的表示为，整体的思想来解决函数值。

30.若，是第二象限的角，则_______．
【答案】
【解析】本试题主要是考查了三角函数中同角关系的运用，以及两角差的余弦公式的求解。

因为，是第二象限的角，则，，故答案为
解决该试题的关键是确定的余弦值，然后结合公式得到。

31.（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足
.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若、，求．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．
【解析】本试题主要爱是考查了解三角形的运用。

（1）根据已知条件，
∴，则由正弦定理得然后结合余弦定理得到角A的值。

（2）∵，∴，然后结合正弦定理得到求解。

（Ⅰ）∵，∴，····················· 2分
由正弦定理得，
由余弦定理得，····················· 4分
∵0＜A＜π，∴．·························· 6分
（Ⅱ）∵，∴，
由得，
解得． 12分
32.的值为（）
Ａ. B. C. 2 Ｄ. 4
【答案】C
【解析】因为
，然后结合两角和差公式的变形可知结论为2，选C
33.设函数，则函数是 ( )
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】因为原函数可以化为单一函数，因此可知是奇函数，并且周期是，故选A
34.若，则等于__________
【答案】-7/8
【解析】因为
35.已知,则= _____________.
【答案】
【解析】因为，则
36.在锐角三角形ABC中BC=1,B=2A则AC的取值范围是
【答案】（，）
【解析】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴π 2 ＜3 A＜π，且 0＜2A＜π 2 ，故π 6 ＜A＜π 4 ，故＜cosA＜．由正弦定理可得 1： sinA =" b" ：sin2A ，
∴b=2cosA，∴＜b＜。

37.若，则=．
【答案】
【解析】解：因为则
38.已知，则β=。

【答案】
【解析】因为,所以,又因为,所以
,所以=
==,又因为,所以β=.
39.若，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
40.如果，那么．
【答案】
【解析】，
41. sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于__________
【答案】
【解析】
42.若，且，则▲ .
【答案】1
【解析】,,
43.．已知，且，则。

【答案】
【解析】又所以
，
故
44.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
；
45.．已知为锐角，且cos=,cos=，则的值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为为锐角，所以，从而有。

因为为锐角，所以，从而可得，故选B
46.已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
故选D
47.已知，，则求= ********
【答案】
【解析】【考点】三角函数求值
由，可知，因为，由恒等式可知，所以
.
点评：此题难点在于构造角，完成该题时可多运用观察，发现角度间的关系.
48.已知为锐角，，则
A．-3B．3C．D．
【答案】C
【解析】又为锐角，所以
49. .
【答案】
【解析】略
50.已知函数, ．
（Ⅰ）求函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）设函数在上的图象与轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P,求与的夹角的余弦．
【答案】解：（Ⅰ）∵ =． ]
∵∴，
∴函数的最大值和最小值分别为1，—1． -------------4分
（Ⅱ）解法1：令得,
∵∴或
∴ --------------------6分
由，
且得∴ -----------------8分
----------------------10分
∴
【解析】略
51.已知cos（α－）+sinα=（）
A．－B．C．－D．
【答案】C
【解析】；所以
，则故选C
52.已知，则的值等于( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵sin（α-）=1/3，
∴cos（α+）=cos[+（α-）]=-sin（α-）=-1/3
故选D
53.（本小题满分12分）已知为锐角，求的值
【答案】解：，
又，∴tan。

……………………6分
为锐角∴sin ，……………………………8分
∴．………12分
【解析】略
54.（本小题满分12分）已知向量
⑴;
⑵若
【答案】解：⑴
………………………………………5分
⑵
①当时，当县仅当时，取得最小值－1，这与已知矛盾；……7分
②当时，取得最小值，由已知得；………………………………………………9分
③当时，取得最小值，由已知得
解得，这与相矛盾，………………………………11分
综上所述，为所求．…………………………………12分
【解析】略
55. .
【答案】
【解析】略
56.
【答案】
【解析】略
57.若,则的值是
【答案】
【解析】略
58.若是偶函数,则有序实数对()可以
是 .
【答案】
【解析】ab≠0，
是偶函数，只要a+b=0即
可，可以取a=1，b=－1.
59.观察下列几个三角恒等式:
①；
②；
③
④
一般地,若都有意义,你从这四个恒等式中猜想得到的一个结论为 .
【答案】
【解析】略
60.
【答案】
【解析】略
61.已知且，则必有（）
A．；B．；C．；D．。

【答案】D
【解析】略
62.计算 ********** .
【答案】4
【解析】略
63.已知，则Sin2a的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
64.
【答案】
【解析】略
65.两点等分单位圆时，有相应正确关系为：三点等分单位圆时，有相应正确关系为：由此可以推知四点等分单位圆时的相应正确关系
为 .
【答案】
【解析】略
66.如果，那么角的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
67.已知，则= .
【答案】－11
【解析】略
68.=
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】略
69.的值为( )
【答案】C
【解析】略
70.已知，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
71.计算：。

【答案】
【解析】略
72.。

【答案】
【解析】略
73.的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
74.已知则=____________．
【答案】19/16
【解析】略
75.已知，且是第三象限角，则等于A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】略
76.已知α, β为锐角，，则有（）
A．α+β＞B．α+β=C．α+β<D．α+β=
【答案】B
【解析】略
77.已知的值
A B C D －1
【答案】B
【解析】略
78.已知，则的值是 ( D )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】略
79.已知, 则的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题考查诱导公式,三角变换的方法.
因为所以
故选C
80.已知,且在第二象限，则（）
A．±B．±3C．D．3
【答案】D
【解析】略
81.已知，求时，同学甲利用两角差的正切公式求得：；同学乙利用二倍角公式及诱导公式得；根据上述信息可估算的范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】略
82.若___________
【答案】
【解析】略
83. tan20°+4sin20°的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
84.化简的结果是＿＿＿＿．
【答案】1
【解析】略
85.已知，，则
【答案】
【解析】略
86.若的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
87.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
88.若= -，a是第一象限的角，则=
A．-B．C．D．
【答案】A
【解析】略
89.已知，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
90.（理）函数的最小值= .
（文）变量，满足约束条件：，则目标函数的最小值为 .
【答案】（理）（文）2
【解析】略
91.的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
92.(本小题满分12分）
已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵与互相垂直，则，即，代入
得，又，∴.
（2）∵，，∴，则，∴
.
93.函数的最小值是____________________ .
【答案】
【解析】，
当=即时，函数取得最小值.
94.在中，若，则是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
【答案】A
【解析】由所以角A，B均锐角，
又由，所以角C也是锐角，所以三角形ABC是锐角三角形，
故选A.
【考点】1、两角和与差的三角函数；2、三角形形的判定.
95.已知，且，则________．
【答案】
【解析】由得：
解方程组：得：或
因为，所以所以不合题意，舍去
所以，所以，答案应填：.
【考点】同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.
96.若，则___________．
【答案】
【解析】
.
【考点】1.诱导公式；2.二倍角公式.
97.若，，且，，则的值是（）A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】因为α∈[，π]，故2α∈[，2π]，
但sin2α＝，故2α∈[，π]，α∈[，]，∴cos2α＝－
β∈[π，]，故β－α∈[，]，于是cos（β－α）＝－
∴cos（α＋β）＝cos[2α＋（β－α）]
＝cos2αcos（β－α）－sin2αsin（β－α）
＝－×（－）－×
＝
且α＋β∈[，2π]
故α＋β＝
【考点】三角恒等变换、三角函数求值
98.设为锐角，若 .
【答案】
【解析】因为为锐角，所以，所以；则.
【考点】两角和差的正弦公式.
99.若，则的值是．
【答案】
【解析】
【考点】二倍角公式
100.（本小题满分12分）已知函数，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本题主要考查诱导公式、平方关系、倍角公式、两角和与差的余弦公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，直接代入，利用特殊角的三
角函数值求；第二问，先将代入，利用诱导公式变形，即得出，再利用平方关系，得到，代入到和中，利用倍角公式求值，最后将用两角差的余弦公式展开，将和代入即可.
试题解析：（1）由已知得． 4分
（2）因为，
又，故，即． 6分
又，故． 8分
所以，
． 10分
所以
． 12分
【考点】诱导公式、平方关系、倍角公式、两角和与差的余弦公式.。