人教版九年级上第21章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(有答案)

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
【目标导航】
1、经历从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式
3、能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根
4、会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差
【知识链接】
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有一种非常密切的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。

用于求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等都很方便。

【珍宝探寻】
珍宝 一．一元二次方程根与系数的关系
1． 设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c
a
； 解析：（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，
∴x 1x 2
∴x 1+x 2=2b b a -+-b
a ，
x 1·x 2=2b a -+·2b a --=c
a
即 这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。

2.使用一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数的关系时需注意：
(1)先把方程化为一般形式，并要注意隐含条件a ≠0； (2)应用时一定要记住根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0这个前提条件； (3)写 时不要弄错符号. 【营养快餐】
快餐 一 经典基础题
例1：若1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x 的值是（ ） A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3 分析：由有根与系数的关系12c
x x a
=
＝－3。

解：因为0322=--x x ，中a ＝1，c ＝－3，所以12-3
1
x x =＝－3 故选B
点拨：本题利用两根之积与系数的关系.
例2．1x 、2x 是方程05322
=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）2
22
1x x + （2）21x x - （3）22
22
133x x x -+
分析：由根与系数的关系可建立关于1x 和2x 的方程组121232
52
x x x x ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩g ，再把所求式子用它们
表示出来，代入化简即得
解：由一元二次方程根与系数的关系，得121232
52
x x x x ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩g ，进而
（1）2
22
1x x +＝212
212)(x x x x -+＝417
（2）21x x -＝212
214)(x x x x -+＝213
（3）原式＝)32()(22
22221x x x x -++＝5417+＝4
112
点拨：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、恒等式的变形等知识。

例3：（若x 1＝－1是关于x 的方程2
50x mx +-=的一个根，则方程的另一个根x 2＝ ．
1212b
c x x x x a
a
+
=-=，
分析：设方程的另一根为x 2，由一个根为x 1＝－1，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于x 2的方程，求出方程的解得到x 2的值，即为方程的另一根． 解：∵关于x 的方程x2+mx －5＝0的一个根为x1＝－1，设另一个为x2， ∴－x2＝－5，解得：x2＝5，则方程的另一根是x2＝5．
点拨：本题此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0），
当b2－4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有12
x x +＝
b a -
12x x ⋅＝c
a 。

例4：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积
大21，求
的值。

分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得
的值。

解：∵方程有两个实数根， ∴△
解这个不等式，得≤0 设方程两根为 则
，
整理得：
解得： 又∵，∴
点拨：当求出
后，还需注意隐含条件
，应舍去不合题意的。

例5：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于
的方程（2）
没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴ 解得；
∵方程（2）没有实数根， ∴
， 解得
；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是
其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根； 当
时，方程（1）为
，有整数根。

解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

点拨：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题
的基本技巧。

例6：已知实数a ，b 分别满足a 2－6a+4＝0，b 2－6b+4＝0，且a≠b ，则b a
a b
+的值是（ ）
A ． 7
B ． －7
C ． 11
D ． －11
分析：根据已知两等式得到a 与b 为方程2
640x x -+=的两根，利用根与系数的关系求出a+b 与ab 的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b 与ab 的值代入计算即可求出值．
解：根据题意得：a 与b 为方程x2－6x+4＝0的两根， ∴a+b ＝6，ab ＝4，
因为b a a b +
＝
2()2368
4a b ab ab +--=＝7 点拨：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，要能够观察出a 与b 为方程x2－6x+4＝0的两根，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 快餐 二 中考能力题
例7. 已知1x 、2x 是一元二次方程0142
=+-x x 的两个根，则21x x ⋅等于（ ） A . 4- B . 1- C . 1 D . 4
【解析】根据一元二次方程两根之积与系数关系分析解答. 由题可知：1,4,1=-==c b a ，
∴11
121===
⋅a c x x 【答案】A
【点拨】本题考查一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 根与系数的关系．
例8．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+
=0成立？则正确的是结论是（ ）
A ．
m =0时成立 B ． m =2时成立
C ． m =0或2时成立
D ． 不存在
【解析】∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2． 假设存在实数m 使
+
=0成立，则
=0，
∴=0，
∴m =0．
当m =0时，方程x 2﹣mx +m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0， ∴m =0符合题意．
【答案】A
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q 例9．已知函数y =
的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在
该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根x 1，x 2判断正确的是（ ）
A ． x 1+x 2＞1，x 1•x 2＞0
B ． x 1+x 2＜0，x 1•x 2＞0
C ．
0＜x 1+x 2＜1，x 1•x 2＞0 D ． x 1+x 2与x 1•x 2的符号都不确定
【解析】根据点A （a ，c ）在第一象限的一支曲线上，得出a ＞0，c ＞0，再点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，得出b ＜0，c ＜﹣1，再根据x 1•x 2=，x 1+x 2=﹣，即可得出答案．
【答案】C 【点拨】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．
例10.已知关于x 的方程x 2+ax +a ﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
分析：（1）将x =1代入方程x 2+ax +a ﹣2=0得到a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
解：（1）将x =1代入方程x 2+ax +a ﹣2=0得，1+a +a ﹣2=0，解得，a =； 方程为x 2+x ﹣=0，即2x 2+x ﹣3=0，设另一根为x 1，则1x 1=﹣，x 1=﹣． （2）∵△=a 2﹣4（a ﹣2）=a 2﹣4a +8=a 2﹣4a +4+4=（a ﹣2）2+4≥0， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
点拨：．本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用． 快餐 三 易错易混题
例11．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足
+
＝－1，则m 的值是（ ）
A ．3或－1
B ．3
C ．1
D ．－3或1
分析：由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m 的取值范围，再利用根与系数的关系和
+
＝－1，可以求出m 的值，最后求出符合题意的m 值
错解：根据根与系数的关系，得α+β＝－（2m+3） αβ＝ m 2 又因为
+
＝
1
1
αβ
α
β
αβ
++
=
＝－1， 即
2
23m m
+＝1，整理，得2
23m m --＝0，解得1231m m ==-， 故选A
正解：根据根与系数的关系，得α+β＝－（2m+3） αβ＝ m 2 又因为
+
＝
1
1
αβ
α
β
αβ
++
=
＝－1， 即
2
23m m
+＝1，整理，得2
23m m --＝0，解得1231m m ==-， 又根据△＝2
4b ac -＞0
得22
(23)4m m +-＞0 解得m ＞34
-
所以m 只能够取3 故选B
点拨： 1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0，方程有两个相等的实数根； （3）△＜0，方程没有实数根．
2、一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2＝－， x 1x 2＝ 快餐 四 课堂练习题 一、选择题
1. 已知x1，x2是一元二次方程2
20x x -=的两根，则12x x +的值是（ ）
A ． 0
B ． 2
C ．－2
D ． 4
2. 已知m ， n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x+a ＝0的两个解，若（m －1）（n －1）＝－6，则a 的值为（ ） A ． －10 B ． 4
C ．－4
D ． 10
二、填空题
3．设x 1，x 2是方程2x 2－3x －3＝0的两个实数根，则
的值为 ．
4.已知关于的方程
的两根为，且，则。

5若两个不等实数m 、n 满足条件：m 2－2m －1＝0，n 2－2n －1＝0，则m 2+n 2的值是 ． 6.若x 1，x 2是方程x 2-2x-5=0的两根，则x 12+x 1x 2+x 22=_______.
7.已知一元二次方程y 2-3y +1=0的两个实数根分别为y 1，y 2，则(y 1-1)(y 2-1)的值为_______. 三、解答题
8.(鸡西模拟)若关于x 的一元二次方程x 2-4x+k-3=0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1=3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值.
9. 设1x ，2x 是方程2
2013x x --＝0的两实数根，求31220142013x x +-的值．
10.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+k
4
=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.
(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
11. 已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．
（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 课堂练习参考答案
1.【解析】由题意，得：x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ； 【答案】B.
∴p=-(x 1+x 2)=-3，q=x 1x 2=2.故选A.
2.【解析】C （提示：根据题意得：m+n ＝3，mn ＝a ，∵（m －1）（n －1）＝mn －（m+n ）+1＝－6，
∴a －3+1＝－6，解得：a ＝－4. 【答案】C. 3.【解析】7
2
-（提示：∵x 1，x 2是方程2x 2－3x －3＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝，x 1x 2＝－，
则原式＝＝＝＝＝－．
答案：－
4.【解析】：由于韦达定理得：，，∵，
∴，∴，解得：。

答案：
13
5.【解析】6（提示：由题意知，m 、n 是关于x 的方程x 2－2x －1＝0的两个根，则m+n ＝2，mn ＝－1．
所以，m 2+n 2＝（m+n ）2－2mn ＝2×2－2×（－1）＝6 答案：6
6.【解析】∵x 1，x 2是方程x 2-2x-5=0的两根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=-5，x 12+x 1x 2+x 22=(x 1+x 2)2-x 1x 2=4+5=9. 答案：9
7.【解析】由根与系数的关系得y 1+y 2=3，y 1y 2=1，所以(y 1-1)(y 2-1)=y 1y 2-y 1-y 2+1=y 1y 2-(y 1+y 2)+1=1-3+1=-1. 答案：-1
8.【解析】由根与系数的关系得:x 1+x 2=4①， x 1x 2=k-3②，
又∵x 1=3x 2③，联立①、③，解方程组得12x 3x 1=⎧⎨=⎩，
，
∴k=x 1x 2+3=3×1+3=6.
答：方程两根为x 1=3,x 2=1；k=6.
9.【解析】将1x 代入2
2013x x --＝0中得2112013x x --＝0，移项，德2112013x x =+ 两边同乘以1x ，得321112013x x x =+，再将2112013x x =+代入得3
1120142013x x =+ 所以3
1212201420132014()x x x x +-=+，因为1x +2x ＝1 所以3
1220142013x x +-＝2019。

10.【解析】(1)由Δ=(k+2)2-4k ·k
4
＞0,∴k ＞-1， 又∵k ≠0，
∴k 的取值范围是k ＞-1且k ≠0. (2)不存在符合条件的实数k. 理由：设方程kx 2+(k+2)x+
k
4
=0的两根分别为x 1，x 2，由根与系数的关系有：
1212k 21
x x x x k 4
++=-
=，，
又
1211
0x x +=，则()4k 20k
-+=， ∴k=-2.
由(1)知，k=-2时，Δ＜0，原方程无实解. ∴不存在符合条件的k 的值
11.【解析】（1）△ABC 是等腰三角形； 理由：∵x =﹣1是方程的根，
∴（a +c ）×（﹣1）2﹣2b +（a ﹣c ）=0， ∴a +c ﹣2b +a ﹣c =0， ∴a ﹣b =0， ∴a =b ，
∴△ABC 是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b ）2﹣4（a +c ）（a ﹣c ）=0， ∴4b 2﹣4a 2+4c 2=0， ∴a 2=b 2+c 2，
∴△ABC 是直角三角形；
（3）当△ABC 是等边三角形，∴（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，可整理为： 2ax 2+2ax =0， ∴x 2+x =0，
解得：x 1=0，x 2=﹣1．。