(江苏专用)高考数学总复习 第十一篇《第67讲 互斥事件的概率 》课件 理 苏教版
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所以P(N)＝1－P(A＋B)＝1－1
1 1 989 ＝ ＋ 000 100 1 000.
989 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000
【训练2】 一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5 个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球， 求： (1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率． 解 记事件A＝{任取1球为红球}，
解析 根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点 数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω， 故事件B，C是对立事件． 答案 ④
考向二
互斥事件、对立事件的概率
【例2】►某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购 多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10
和
，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(2)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An) ＝
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
．
3．对立事件 (1)两个互斥事件
必有一个发生 ，则称这两个事件互为对立
事件，事件 A 的对立事件记为 A . (2)P(A)＋P( A )＝
1
考基自主导学考基自主导学考向探究导析考向探究导析考题专项突破考题专项突破活页限时训练活页限时训练判断事件的关系尤其是互斥事件和对立事件在求概率时非常重要对互斥事件要把握住不能同时发生而对于对立事件除不能同时发生外其并事件应为必然事件这些也可类比集合进行理解具体应用时可把所有试验结果写出来看所求事件包含哪几个试验结果从而断定所给事件的关考基自主导学考基自主导学考向探究导析考向探究导析考题专项突破考题专项突破活页限时训练活页限时训练训练1一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字123456
第67讲 互斥事件的概率
基础梳理 1．互斥事件 (1)不可能同时发生的两个事件称为
互斥 事件．
(2)如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说 事件A1，A2，…，An
彼此 互斥．
(3)设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把 这个事件记作
A＋B
.
2．互斥事件的概率加法公式 (1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件 A，B分别发生的概率的
【训练1】 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面 出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件 C表示向上的一面出现的点数不小于4，给出下列四种说法： ①A与B是互斥而非对立事件； ②A与B是对立事件； ③B与C是互斥而非对立事件； ④B与C是对立事件． 其中正确的是________(填序号)．
Fra Baidu bibliotek
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖 券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C. 因为A，B，C两两互斥， 所以P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) 1＋10＋50 61 ＝ 1 000 ＝1 000. 61 故1张奖券的中奖概率为 . 1 000
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
【示例1】 甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件， 那么甲是乙的________条件．
【示例2】 抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、 2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A∪B)．
4．(2011· 南通调研)把一个体积为27 上红漆，然后锯成体积为1
cm3的正方体木块表面涂
cm3的27个小正方体，现从中任取
一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________． 解析 答案 1 26 P＝1－ ＝ . 27 27 26 27
1 5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是 2 ，乙获胜的概率是 1 3，则乙不输的概率是________． 解析 “乙不输”包含“两人和棋”和“乙获胜”这两个事
B＝{任取1球为黑球}，C＝{任取1球为白球}， D＝{任取1球为绿球}， 5 4 2 1 则P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ ，P(D)＝ . 12 12 12 12
(1)取出1球为红球或黑球的概率为 5 4 3 P1＝P(A)＋P(B)＝12＋12＝4. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P2＝P(A)＋P(B)＋P(C) 5 4 2 11 ＝ ＋ ＋ ＝ . 12 12 12 12 1 11 (或P2＝1－P(D)＝1－12＝12)．
，P( A )＝1－
P(A)
．
互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能 同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发 生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互 斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥” 是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的 充分但不必要条件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件． 原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的 倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生， 如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对 立事件．
判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件，在 求概率时非常重要，对互斥事件要把握住不能同时发生，而对 于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些 也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出 来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关 系．
双基自测 1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不 对立的事件是________． ①至少有一个红球与都是红球 ②至少有一个红球与都是白球 ③至少有一个红球与至少有一个白球 ④恰有一个红球与恰有二个红球 解析 对于①中的两个事件不互斥，对于②中两个事件互斥且对
立，对于③中两个事件不互斥，对于④中的两个互斥而不对立． 答案 ④
1 1 件，并且这两个事件是互斥的，故“乙不输”的概率为：2＋ 3 5 ＝ . 6 答案 5 6
考向一
互斥事件与对立事件的判定
【例1】►判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为 对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、 梅花点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． [审题视点] 可用集合的观点判断．
难点突破20——事件对立与互斥的辨别问题的求解策略
对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体 情况作出准确的判断．互斥事件是不可能同时发生的两个事 件，其概率满足加法公式，即若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A) ＋P(B)；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件，也就是 说对立的两个事件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是 一个必然事件，即一个事件A与它的对立事件 A 的概率之间有 关系式P(A)＋P( A )＝1，用好这个关系对解决概率问题是非常 有用的，它往往能使复杂的问题简单化．
2．若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事 件B的关系是________． 解析 因为事件A、事件B不会同时发生，故事件A、事件B是
互斥事件，并且A∪B为必然事件． 答案 对立
3．(2011· 南通调研)已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环) 的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则 甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________． 解析 答案 P＝1－(0.5＋0.2＋0.1)＝0.2. 0.2
个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事 件分别为A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖 的概率． [审题视点] 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥
事件或对立事件求解．
1 10 1 解 (1)P(A)＝ ，P(B)＝ ＝ ， 1 000 1 000 100 50 1 P(C)＝ ＝ . 1 000 20 1 1 1 故事件A，B，C的概率分别为 ， ， . 1 000 100 20
解 (1)是互斥事件，不是对立事件． 原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽 出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能 保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者 “梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与 “抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发 生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
1 1 989 ＝ ＋ 000 100 1 000.
989 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000
【训练2】 一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5 个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球， 求： (1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率． 解 记事件A＝{任取1球为红球}，
解析 根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点 数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω， 故事件B，C是对立事件． 答案 ④
考向二
互斥事件、对立事件的概率
【例2】►某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购 多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10
和
，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(2)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An) ＝
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
．
3．对立事件 (1)两个互斥事件
必有一个发生 ，则称这两个事件互为对立
事件，事件 A 的对立事件记为 A . (2)P(A)＋P( A )＝
1
考基自主导学考基自主导学考向探究导析考向探究导析考题专项突破考题专项突破活页限时训练活页限时训练判断事件的关系尤其是互斥事件和对立事件在求概率时非常重要对互斥事件要把握住不能同时发生而对于对立事件除不能同时发生外其并事件应为必然事件这些也可类比集合进行理解具体应用时可把所有试验结果写出来看所求事件包含哪几个试验结果从而断定所给事件的关考基自主导学考基自主导学考向探究导析考向探究导析考题专项突破考题专项突破活页限时训练活页限时训练训练1一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字123456
第67讲 互斥事件的概率
基础梳理 1．互斥事件 (1)不可能同时发生的两个事件称为
互斥 事件．
(2)如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说 事件A1，A2，…，An
彼此 互斥．
(3)设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把 这个事件记作
A＋B
.
2．互斥事件的概率加法公式 (1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件 A，B分别发生的概率的
【训练1】 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面 出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件 C表示向上的一面出现的点数不小于4，给出下列四种说法： ①A与B是互斥而非对立事件； ②A与B是对立事件； ③B与C是互斥而非对立事件； ④B与C是对立事件． 其中正确的是________(填序号)．
Fra Baidu bibliotek
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖 券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C. 因为A，B，C两两互斥， 所以P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) 1＋10＋50 61 ＝ 1 000 ＝1 000. 61 故1张奖券的中奖概率为 . 1 000
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
【示例1】 甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件， 那么甲是乙的________条件．
【示例2】 抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、 2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A∪B)．
4．(2011· 南通调研)把一个体积为27 上红漆，然后锯成体积为1
cm3的正方体木块表面涂
cm3的27个小正方体，现从中任取
一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________． 解析 答案 1 26 P＝1－ ＝ . 27 27 26 27
1 5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是 2 ，乙获胜的概率是 1 3，则乙不输的概率是________． 解析 “乙不输”包含“两人和棋”和“乙获胜”这两个事
B＝{任取1球为黑球}，C＝{任取1球为白球}， D＝{任取1球为绿球}， 5 4 2 1 则P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ ，P(D)＝ . 12 12 12 12
(1)取出1球为红球或黑球的概率为 5 4 3 P1＝P(A)＋P(B)＝12＋12＝4. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P2＝P(A)＋P(B)＋P(C) 5 4 2 11 ＝ ＋ ＋ ＝ . 12 12 12 12 1 11 (或P2＝1－P(D)＝1－12＝12)．
，P( A )＝1－
P(A)
．
互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能 同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发 生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互 斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥” 是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的 充分但不必要条件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件． 原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的 倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生， 如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对 立事件．
判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件，在 求概率时非常重要，对互斥事件要把握住不能同时发生，而对 于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些 也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出 来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关 系．
双基自测 1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不 对立的事件是________． ①至少有一个红球与都是红球 ②至少有一个红球与都是白球 ③至少有一个红球与至少有一个白球 ④恰有一个红球与恰有二个红球 解析 对于①中的两个事件不互斥，对于②中两个事件互斥且对
立，对于③中两个事件不互斥，对于④中的两个互斥而不对立． 答案 ④
1 1 件，并且这两个事件是互斥的，故“乙不输”的概率为：2＋ 3 5 ＝ . 6 答案 5 6
考向一
互斥事件与对立事件的判定
【例1】►判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为 对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、 梅花点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． [审题视点] 可用集合的观点判断．
难点突破20——事件对立与互斥的辨别问题的求解策略
对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体 情况作出准确的判断．互斥事件是不可能同时发生的两个事 件，其概率满足加法公式，即若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A) ＋P(B)；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件，也就是 说对立的两个事件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是 一个必然事件，即一个事件A与它的对立事件 A 的概率之间有 关系式P(A)＋P( A )＝1，用好这个关系对解决概率问题是非常 有用的，它往往能使复杂的问题简单化．
2．若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事 件B的关系是________． 解析 因为事件A、事件B不会同时发生，故事件A、事件B是
互斥事件，并且A∪B为必然事件． 答案 对立
3．(2011· 南通调研)已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环) 的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则 甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________． 解析 答案 P＝1－(0.5＋0.2＋0.1)＝0.2. 0.2
个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事 件分别为A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖 的概率． [审题视点] 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥
事件或对立事件求解．
1 10 1 解 (1)P(A)＝ ，P(B)＝ ＝ ， 1 000 1 000 100 50 1 P(C)＝ ＝ . 1 000 20 1 1 1 故事件A，B，C的概率分别为 ， ， . 1 000 100 20
解 (1)是互斥事件，不是对立事件． 原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽 出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能 保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者 “梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与 “抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发 生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．