郭新柱 理论力学(第六章)

本章以刚体平动和定轴转动为基础， 应用运动分解和合成的方法，研究工程中 一种常见而又比较复杂的运动—刚体平面 运动，同时介绍平面运动刚体上各点速度 和加速度的计算方法。
§6.1 刚体平面运动的概念和运动分析 一、问题的提出
回顾：刚体的简单运动—平动和定轴转动 请观察以下刚体的运动：
火车车轮
机械臂
动齿轮 刚体平面运动的定义： 在运动过程中,刚体上任一点到某一固定平面的距离始终 保持不变.即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面 内运动．
见左图: A点----作圆周运动， B点----作直线运动， AB 杆----而是平面运动．
二、刚体平面运动的运动方程
1.刚体平面运动模型的简化
●
A1
M
过刚体作平面Ⅱ平行平面Ⅰ 平面Ⅱ与刚体相交截出一个平面图形S；
S
Ⅱ
A2
● ●
平面图形S始终保持在平面Ⅱ内运动；
A1MA2：做平动，垂直于平面Ⅱ
M点可代表直线A1MA2上各点的运动。
Ⅰ
y
刚体平面运动 平面图形S 在其自身平面内的运动 刚体平面运动模型 平面图形
o
S
x
结论：刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运
动．即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究
平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。
2.运动方程 平面图形上的任意直线运动可以代 表平面图形的运动，也就是刚体的平面运动.
y A
B

为了确定图形在任意瞬时的位置，只须 基点 确定图形内任一条直线的位置。
o
x
确定直线AB或平面图形在Oxy参考系中 运动模型-平面图形 的位置，需要 3 个独立变量 (xA , yA , )。其 中 xA , yA 确定点A在平面内的位置； 确定 直线AB在平面内的位置。 3个独立变量随时间变化的函数：
x A f1 ( t ) y A f 2 (t )
f3 (t )
三、刚体平面运动的分解
y A
y
B

x
当Ａ点不动时，则刚体作定轴转动
当 角不变时，则刚体作平动．
x
o
刚体的平面运动可以分解为随同基点的平移和绕基点的转动.
•绝对运动：刚体平面运动 •牵连运动：跟随平移系的平移 •相对运动：平面图形相对于平移系的转动
刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法：
选择基点(任意选择)； 在基点上建立平移系(特殊的动系)； 按照合成运动理论分解.
+
车轮的平面运动 随同O的平移运动 绕O1的转动
●平移和转动与基点之间的关系
设在Δt 时间间隔内，平面 Ⅱ 图形由位置Ⅰ运动到位置Ⅱ。 B ● 这一运动过程可视为图形 A Ⅰ A 先随基点 A 作平动。再绕基点 A’ A 作定轴转动，转过角度为Δ 。 ● 这一运动过程又可视为图 上述两种运动分解方式，得到相同 形先随基点B作平动。再绕基点 B’的结果。而实际上平动和转动是同 作定轴转动，转过角度为Δ’ 。 时进行的。
B
B
AA BB
v A vB
ω1 ω2
a A aB

1
d lim t 0 t t 0 t dt d dt 2
lim
基点速度与平面图形的角速度是描述刚体平面运动的特征量。
结论：平面图形的平面运动可取任意的基点分解为平动和转动， 其中平动的速度和加速度与基点的选择有关；而平面图形的角速 度和角加速度与基点的选择无关。 一点注意
所谓绕基点的转动，实际上是指相对于一个 坐标原点铰接于基点的平动参考系的转动，故 和α是相对角速度和相对角加速度。 当注意到动参考系作平动时，可见， 和 α又 是绝对角速度和绝对角加速度。这正是把 和α分 别称为平面图形的角速度和平面图形的角加速度 的原因。
例题1 已知：曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA以等角速度 绕 O轴转 动。求：1、连杆的平面运动方程；2、连杆上P点(AP=l1)的运动轨迹、速度 与加速度。 解：1、确定连杆平面运动 的3个独立变量 与时间的关系 连杆的平面运动方程为
x A r cos t y A r sin t r sin t arcsin( ) l 2、连杆上P点的运动方程
x P r cos t l1 yP r 1 ( sin t ) 2 l
y O
A
xP
yP
P
B
x
r ( l l1 ) sin t l
§6.2 平面图形内各点的速度分析
§6.2.1 基点法（合成法） 取A为基点, 将动系 固结于A点,动系作平动。 取B为动点, 则B点 的运动可视为牵连运动 为平动和相对运动为圆 周运动的合成。 vA
已知：A点的速度vA，求B点的速度vB
vBA
vB
ve
vBA
vB
ve v A ;
vr vBA ,
va vB
根据速度合成定理
va ve vr , 则B点速度为：
vB v A vBA
vBA 其中： vBA的大小为 AB,
平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕
基点转动的速度的矢量和．
这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．
它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
vBA
vB
[例1]
车轮的半径为R，沿直线作纯滚动，轮轴以速度vO前 进，求轮子的角速度和A、B和C各点的速度。 B 解（1）∵轮子纯滚动 取O为基点 vo C P ∴vP=0
A
O
v P vO v PO
∵ vP
0
B
ω A O vo C vP O P vo
vO v PO 0
vPO vO
由
且
vPO vO
vPO R
vO R
vAO vA A vo O
B ω vo C
（2）A点速度，取O为基点
v A vO v AO
v A O R v O
P
vO ( ) R
2
vA
vO v A O
2 2
2
vO v O
B vA
2vO
C 或取P为基点: v A v P v AP
v A v AP AP 2R
A
O P
2vO
B vBO vo ω A O vo C
（3）B点速度，取O为基点 vB
v B vO v BO
v B O R v O
P
v B v O v BO vO vO 2v O
vB 或取P为基点:
vO ( ) R
B vA
v B v P v BP
A
v B v BP BP 2R
O P
2vO
B ω A O P vo
（4）C点速度，取O为基点
vC vO vCO
C
vo
v C O R v O
vO ( ) R
2
vCO vC
v C vO v C O
2
2vO
B vA vB vo C vC 或取P为基点:
v C v P v CP
A
O P
v C v CP CP 2R
2vO
[例2] 曲柄连杆机构，OA=r，AB= 3 r，OA以匀角速度ω 转动，求B的速度和AB杆的角速度。 A ω=r · ω 解：vA= OA· ω 30° B vB= vA/cos30°
2 3 vB r 3
O
vA ω
O
A
vBA= vA· tan30° ωBA
vBA 3 r 3
vA vB
B vBA
vA ω O
A
ωBA vA vB B vBA ∴ AB
vBA
3 r 3
∵ v AB AB AB
3 r 1 vBA 3 AB 3 3r
§6.2.2 速度投影法 由于A, B点是任意的，因此 vB v A vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系．而且恒有 vBAAB ，因此将上式在AB 连线上投影，有
vB AB v A AB vBA AB
vBA AB (vBA ) AB 0
vB AB v A AB
即：平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相 等．这种求解速度的方法称为 速度投影法．
[例3] 曲柄连杆机构，OA=r，AB= 3 r，OA以匀角速度ω 转动，求B的速度。 A ω=r · ω 解：vA= OA· ω 30° B
vB AB v A AB
vB cos30° = vA
O
vA ω
O
A
B
vB= vA/cos30°
2 3 vB r 3
vB
[例4] OA=O1 B= r，OA以匀角速度ω转动，求B的速度， AB杆的角速度， O1 B 杆的角速度。 vB vBA ω=r · ω 解：⑴ vA= OA· B vA v v
B AB A AB
O ω 45°
ωAB
O1
vB = vA cos45°
vB 2 r 2
A
vA
⑵ vB A= vB
AB
⑶
2 r vB 2 2 O1 2 O1 B r
2 r v BA 2 AB ( 2r r ) 2 2
§6.2.3 瞬心法
一. 问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大 简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等 于零？如果存在的话，该点如何确定？ B vA vB vo C vC
v P v A v PA
取 AP vA /
A
O P
vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向 . 所以
vP 0

基点法
vB v A vBA
(v BA AB )
v BA vB
B
优点：既能求速度，也能求 。 缺点: 计算比较繁琐。

速度投影法
vA vA
vB AB v A AB
优点：计算简便，快捷。 缺点: 无法求出图形的角速度 。
S
A

A为基点
若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题的计算会大大 简化，同时也能求出图形的角速度。
二、速度瞬心的概念
定义 某一瞬时平面图形上速度等于零的点,称为图形
在该瞬时的瞬时速度中心,简称速度瞬心.
唯一性： 在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心. 瞬时性： 在不同瞬时，图形具有不同的速度瞬心.
定理 只要 0 ,任一瞬时平面图形上都唯一存 在一个速度等于零的点。 证明: （1）过点A作直线 选A为基点，则
L
。 LL v A

A v MA
M
vA vA
v M v A v MA
LL上任一点M的速度
S
L
P
且当点M在AL上时，其速度大小可表示为
v M v A v MA v A AM
因此，在AL上必唯一存在一点P ，其速度为零。
几种确定速度瞬心位置的方法 (1)已知图形上一点的速度v A 和图形角速度， 可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP
转90º 的方向一侧．
vA
, AP v A ,且Ｐ在v A 顺转向绕A点
(2)已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬 心．
(3)已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 v A ,vB 的方向，且 v A 不平行 v B ，则过A , B两 点分别作速度 v A ,v B 的垂线,交点P即为该瞬 时的速度瞬心.
(4)已知某瞬时图形上A ,B两点速度 v A , vB 大小,且 vAAB, vB AB
AB v v (b) v A 与vB 反向, A B AB
(a) v A 与vB 同向,
v A vB
(a)
(b)
(5)已知某瞬时图形上A、B两点的速度方向平行且同向，AB连 线不垂直A、B的速度．则 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速 度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动. (各点的 加速度不相等) 另：对(4)种(a)的情况，若vA＝vB， 则是瞬时平动．
三、平面图形上各点的速度
选取速度瞬心P为基点，则平面 图形上任一点B的速度 等于该点随图
形绕速度瞬心转动的速度。
B
vB
C
vB v P vBP v BP
大小：
vA
v B BP
S P
A
vC
方向： BP, 指向与 转向相一致。 由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位臵和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。