初中数学应用性问题总复习要过好“三关”-2

初中数学“应用性问题”总复习要过好“三关”
初中数学新课程标准指出，学生要会应用所学知识解决实际问题,能适应社会日常生活和生产劳动的基本需要。

初中数学的学习目的之一,就是培养学生解决实际问题的能力,要求学生会分析和解决生产、生活中的数学问题,形成善于应用数学的意识和能力。

从各省市近几年的中考数学命题来看,也更关注学生灵活运用数学知识解决实际问题能力的考查,可以说培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本途径之一。

一、当前“应用性问题”教学存在的不足。

一些教师常常在应用题教学时，抱怨“应用题我都讲了千百遍，学生的应用意识一点也不见增强，遇到应用题总是一筹莫展”，“学生对应用题的阅读理解能力太差了”。

长期以来，由于受传统的教学模式影响，出现了学生重课本、轻生活，加上学生的生活阅历有限，对应用题的背景和情境不熟，另外，很多学生遇到文字比较长的应用题不知道怎样去分析，去寻找题中的数量关系，不知道怎样把实际问题化成一个数学问题，建立数学模型。

有教师曾做过一次调查，针对所教的初一两个班的学生，入学后的第一次期中考试应用题的得分情况进行统计分析，结果是这样的：
考试中遇到应用题，有信心，可以很快找到解题方法的只占21％；信心不足，但会尽力去想办法解决，争取多得分的占42.1％；没有信心，根本不知道应用题该如何下手的占36.9％。

我们在下校听课调研中也发现,越是到初中二年级以后,学生应用题解题能力越产生极大的两极分化。

由于一些学生觉得解应用题，要用到代数的计算，会很复杂，难于计算。

从上述的调查、调研结果看，大多数学生对解应用题存在畏难情绪，信心严重不足。

二、解决“应用性问题”要过好“三关”。

针对以上分析的教学现状和存在的不足,我们在进行初中数学“应用性问题”总复习时，要让学生过好如下“三关”。

（一）阅读理解关。

在应用题的阅读、审题、理解题意时，要注意“三读”。

一是“粗读”。

应用题实际上就是一篇说明文，文字较多，信息量较大，需要快速地浏览一遍，了解题目的大意，讲述的是什么事件，属哪一类问题（如利率问题、行程问题、工程问题等）。

条件是什么，要求是什么。

同时要求学生手脑结合在一起，一边读、一边记、一边画出相应的示意图。

便于查看，防止信息的遗漏。

二是“细读”。

在细读中抓住题目中的关键词和重要语句，将其画出来。

要求学生在粗读的基础上逐字、逐词、逐句进行细读，弄清含义及相互联系。

对一些字词在解题中往往起到关键作用，务必抓住、用准，比如“增加了”、“增加到”、“至多”、“至少”、“都是”、“都不是”等。

另外，还要注意到题目中提供的信息，弄清其内涵和外延。

三是“精读”。

阅读应用题重在领会，精读的关键就是把应用题的抽象内容转化为具体内容，把图像、符号转化为文字表述，把文字表述的关系转化为图表、符号，使大脑建立起灵活的转化机制。

例1：某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位。

（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元。

根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）。

请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金。

对于本题的“三读”可这样进行：
先“粗读”：把题目快速的浏览一遍，了解到题目的大意是：八年级的学生坐客车去参加社会实践活动。

条件是：①单独租用35座客车，刚好坐满，且每辆租金320元。

②单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，每辆租金400元。

③同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）。

要求的是：①八年级学生的人数。

②本次社会实践活动所需车辆的租金。

再“细读”：
①找关键词：“刚好坐满”、“少租一辆”、“空座位”、“不超过”、“坐不满”。

②重要语句：①若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位。

②租车资金不超过1500元的预算。

③两种客车共4辆（可以坐不满）
后“精读”：
①把文字表述转化为数学语言：
若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，转化为：用35座客车所载的学生数=用55座客车所载的学生数。

租车资金不超过1500元，转化为：租用35座客车所需的资金+租用55座客车所需的资金≤1500。

②把文字表述转化为图表：
（1）设租用35座客车x 辆，则租用55座客车（x-1）辆。

列表如下：
利用学生数不变列方程，即35x=55（x-1）-45 解得x=5
（2）设租用35座客车x 辆，则租用35座客车（4-x ）辆。

列表如下：
利用学生可以坐不满和不超过1500列出下列不等式：
35x+55（4-x ）≥175
320x+400（4-x ）≤1500
解得：45≤x ≤49，
又∵x 为整数，∴x=2 （二）建模能力关。

为了提高学生解应用题的能力，常见许多教师的做法是猜题、押题、抓题型，其结果是面面俱到，但最终却一无所获，这种灌输式的教学模式，可能对于纯而又纯的数学题型或许有用，但对问题情景开放的应用题的教学，真正的思想方法是数学建模。

所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型。

中学数学中常见的数学模型有：对现实生活中普遍存在的数量关系中抽象成的方程（组）的模型；对现实生活中普遍存在的不等关系中抽象成的不等式（组）的模型；对现实生活中普遍存在的变量关系中抽象成的函数模型；涉及图象的位置变化、性质特征的几何模型等。

1、建立方程（组）模型。

例2．某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
分析：在完成“三读”的基础上，写出等量关系式：
（1）（批发西红柿的数量）+（批发豆角的数量）=40
（2）（批发西红柿用的钱数）+（批发豆角用的钱数）=60
（3）赚的钱数=（零售收入的总钱数）—（批发用的总钱数）
用代数式表示相关量，建立数学模型：
设批发西红柿的数量为x千克，批发豆角数量为y千克，则批发西红柿的钱数为1 .2x，批发豆角的钱数，则可建立如下方程组模型：
x+y=40 解得x=10
1.2x+1.6y=60 y=30
赚的钱数××30-60=33
2、建立不等式（组）模型。

例3：某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示.现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶.设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为0元，B种饮料每瓶的成本为元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值时会使成本总额最低.
分析：本题没有明显的不等关系的条件，因此很容易误认为是利用二元一次方程组来解.由于题目中并没有交代两种材料必须全部用完，因此只要所用的原料甲、乙不要超过库存量即可，这就是本题条件所隐含的两个不等关系，列出不等式组，根据不等式组即可求出x 的取值范围.
解答：（1）设生产A 种饮料x 瓶，根据题意得：
⎩
⎨⎧≤-+≤-+2800)100(20402800)100(3020x x x x . 解这个不等式组，得20≤x ≤40.∵其中正整数解共有21个，
∴符合题意的生产方案有21种.
（2）根据题意，得yx （100－x ）.
整理，得y =－x +280.
∵k =－0.2<0，∴y 随x 的增大而减小.
∴当x =40时，成本总额最低.
复习此类问题时，要求学生既要读懂题意，更要看懂图表，获得正确的信息，确定问题中的不等关系，从而把实际问题转化为不等式组来解决，即通过构建不等式组模型来解决实际应用题.
3、建立函数模型。

例4．煤炭是萍乡市主要矿产资源之一，每天有大量的煤炭运往外地。

某煤矿现有100吨煤炭要运往外甲、乙两厂。

通过了解获得甲、乙两厂的有关信息如下表：（表中运费“元/t ·km ”表示每吨煤炭运送一千米所需人民币）
要把100吨煤全部运出，试写出总运费y （元）与运往甲厂x （吨）煤炭之间的函数关系
式；如果你是该矿的矿主，请设计出合理的运送方案，使所需的总运费最低，并求出最低的总运费。

分析：本题是函数解决策略类问题，可按下面的方法建立数学模型：
步骤一：在完成“三读”的基础上，写出等量关系式：
（1） （运往甲厂的煤）+（运往乙厂的煤）=100
（2） 总运费=（运往甲厂的煤的费用）+（运往乙厂的煤的费用）
（3） 隐含的条件：（运往甲厂的煤）≤60；（运往乙厂的煤）≤80
步骤二：导入数学符号或用题目给定的符号列代数式，建立函数模型：
运往甲厂的煤为x （吨），则由（1）得：运往乙厂的煤为（100－x ）吨，由（2）得：
y=150x+100（100－x ）×，化简得y=30x+12000，而由（3）得：x ≤60，100－x ≤80。

故解不等式组得20≤x ≤60，因y=30x+12000中，y 随x 的增大而增大，故当x=20时运费最低，最低y=30×20+12000=12600元。

4、建立几何模型。

例5：（2005年泉州中考题）如图是某居民小区的一块直角三角形
空地ABC ，一直角边BC=60米，tanB=3
4。

现要利用这块空地建一个 矩形停车场DCFE ，使得D 点在BC 边上，E 、F 分别是AB 、AC 边的
中点。

（1） 求另一条直角边AC 的长度；
（2） 求停车场DCFE 的面积；
（3） 为了提高空地利用率，现要在剩余的△BDE 中，建一个半圆形的花坛，．．．．．．．
使它的圆 心在BE 边上，且使花坛的面积达到最大，请你在原图中画出花坛的草图，求出它的半径（不要求说明面积最大的理由），并求此时直角三角形空地ABC 的总利用率是百分之几（精确到1%）？
点评：本题以居民小区要建一个矩形停车场为背景，综合利用了几何图形：三角形、矩形、圆形的一
些基本知识和重要性质、定理，来构建几何模型进行解答。

答案：（1）60米，（2）1200米2（3）半径为7120
米，总利用率约69%
5、建立综合模型。

有些应用题，不是只单纯利用上面所介绍的某种一模型就能解决的，有时要综合利用多种模型和各种知识才能解决的。

例6：（2009南安·质检）我市2009年初中毕业生升学体育考试规定的考试项目，除必考项目外，考生可在以下项目中任选两项：a .立定跳远；b .一分钟跳绳；c .掷实心球；d .一分钟仰卧起坐（女）.
（1）请直接写出男生有哪几种选报方案（用序号c b a ,,表示）；
（2）某校初三年（1）班有50名同学，全部按规定报名参加体育考试，其中30%的男生和
50%的女生共19人选报相同的某一种方案.
①求该班男生、女生各有多少人？
②若全班选报a 项目的人数是选报d 项目人数的3倍，选报b 项目的人数是选报d 项目人数的4倍，选报c d 项目的人数.
分析：解答本题要结合“体育考试”的一些基本常识，并综合利用方程组模型和不等式模型才能解决。

考查了学生综合应用“基本常识”和“书本知识”的能力。

解答：(1)男生共有ab 、bc 、ac 三种选报方案.
(2) ①设该班有男生x 人、女生y 人，依题意得：
⎩
⎨⎧=+=+19%50%3050y x y x ，解得⎩⎨⎧==2030y x 答：该班有男生30人，女生20人.
②设选报d 项目的有m 人，则选报a 项目的有m 3人，选报b 项目的有m 4人，全班选报的各项目总数为)(100250人次=⨯.
依题意得: 3043100≤---m m m ，解得：75.8≥m . 由第①题可知，20个女生中至少有10人不选报d 项目，所以10≤m .
又∵m 是整数，∴m 取9或10 .
答：选报d 项目的人数为9或10.
（三）计算能力关。

在应用题教学中，许多老师讲题时，只完成一半，即讲到
建立方程（组）、不等式（组）、函数模型后，就直接写出答案，
忽略了计算求解过程的指导与方法提示。

殊不知，有些计算，学
生很容易出错，有的计算有多种解法，而许多学生没有采用最简
便
的方法，造成计算步骤繁杂、结果出错，失分严重。

例7（2009年泉州中考题27）．如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米.
(1)请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；
（2）若∠BAD=60°, 该花圃的面积为S 米2.
①求S 与x 之间的函数关系式（要指出自变量x 的取值范围），并求当S=393时x 的
值；
②如果墙长为24米，试问S 有最大值还是最小值？这个值是多少？
分析：在第（1）题中，答案BC=40-AB-CD=（40-2x ）米.
有些学生把402BC x =-错“化简”为：20BC x =-，不明不白、无根无据地除以2。

在(2)①题的后半题中，许多学生已能做到列出方程：32034
32+-x x=393，但不会解这个带有根号的方程，不懂得先把方程两边同除以3后，再求解，造成计算步骤繁杂、运算量大、结果出错，失分严重。

有一些学生解方程后漏掉检验，未能对得到的根进行取舍。

由此可见，在应用题教学中，教师要指导学生在求解、运算过程时，要注意：第一，计算、化简时每一步都要有依据，或根据概念，或根据公式，或根据法则，要养成思维严谨的好习惯。

第二，要掌握计算方法和技巧，运算方法要简捷，运算路径要短，运算步骤要少，运算时间要短。