2020考研数学(三)真题(含解析)

，
而 cos f '(x) cos f '(x) ，故 cos f '(x) 也为偶函数，故 cos f '(x) f (x) 为非奇非偶函数。


(4) 已知幂级数 nan (x 2)n 的收敛区间为(−2,6) ，则 an (x 1)2n 的收敛区间为
n1
n1
(A).(-2,6) (B).(-3,1) (C).(-5,3) (D).(-17,15)
（C） x k11 k23 k34
【答案】 C
（D） x k12 k23 k34
4
(5)设 4 阶矩阵 A (aij ) 不可逆， a12 的代数余子式 A12 0 ，1,2,3,4 是矩阵 A 的列向量组， A*为
A 的伴随矩阵，则 A* x 0 的通解为（
）
（A） x k11 k22 k33
（B） x k11 k22 k34
f ( x)a f ( x) a
ua u a
【解析二】由拉格朗日中值公式得 sin f (x) sin a ( f (x) a)cos ，其中 介于 a 与 f (x) 之间，
由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，故 lim a ，
）
xa x a
xa
xa
（A） bsin a （B） bcos a （A） bsin f (a) （A） bcos f (a)
【答案】B
【解析一】由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，
xa x a
xa
，则第二类间断点个数为（
）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】C
注：本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为：
1.找出无定义的点（无意义的点）； 2.求该点的左右极限； 3.按照间断点的定义判定。
【解析】 f (x) 可能的间断点为 1, 0,1, 2 ，
【答案】A
（B） xcos f (t) f '(t)dt 是偶函数 0
（D） xcos f '(t) f (t)dt 是偶函数 0
【解析】 f (x) 为奇函数，则 f '(x) 为偶函数，且 cos x 为偶函数，
则 cos f (x) cos f (x) cos f (x) ，故 cos f (x) 也为偶函数，
x2
x
1
2

e x1 ln |1 (ex 1)
x
|


，
x

2
为第二类间断点，共
3
个。
(3) 对奇函数 f (x) 在 (, ) 上有连续导数，则(
)
（A） xcos f (t) f '(t)dt 是奇函数 0
（C） xcos f '(t) f (t)dt 是奇函数 0
xa x a
xa
xa
xa
故 lim sin f (x) sin a lim ( f (x) a) cos lim f (x) a limcos bcos a 。
xa
xa
xa
xa
xa x a xa
1
(2)函数
f
(x)

e x1 ln |1 x | (ex 1)(x 2)
1
lim
x1
f
(x)

lim ln
x1
|1
x
|

(ex
e x1 1)(x

2)


，
x

1 为第二类间断点，11源自1limx0
f
(x)

lim
x0
e x1 ln |1 x | (ex 1)(x 2)

lim
x0
e x1 l x x(x 2)


1 2e
，
x

0
为第一类（可去）间断点，
lim
x1
f
(x)

1
lim e x1
x1

ln |1 x | (ex 1)(x 2)


， lim x1
f
(x)

lim
x1
1
1

ln |1 x | (ex 1)(x 2)

0
，
e1 x
x 1为第二类间断点，
1
lim
x2
f
(x)

lim
2020 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（三）试题
一、 选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
(1)设 lim f (x) a b ，则 lim sin f (x) sin a （
令 F(x) xcos f (t) f '(t)dt ，则 F '(x) cos f (x) f '(x) 为偶函数，且 F(0) 0 0
从而 F(x) 为奇函数。
对于（C,D）： Gx() ocsx()' f t() f tdt ('G) oxcs(') ()f x f x 0
n1
n1
从而 lim (n 1)an1 lim an1 1 ，
n nan
a n n
4
2
故 lim an1(x 1)2n2 lim an1 (x 1)2 (x 1)2 1，解得 3 x 1，选 B。
n an (x 1)2n
a n n
xa
则 lim sin f (x) sin a lim sin f (x) sin a f (x) a
xa
xa
xa f (x) a
xa
lim sin f (x) sin a lim f (x) a xa f ( x) a xa x a
b lim sin f (x) sin a blim sin u sin a bcos a 。
【答案】 B
【解析】由比值法可知，幂级数

an (x 1)2n
n1
收敛时， lim n
an1(x 1)2n2 an (x 1)2n
lim an1 (x 1)2 1 ， a n
n


由 nan (x 2)n 的收敛区间为(−2,6)，知 nanxn 的收敛区间为(−4,4)，