安徽大学-离散数学期末试卷及答案

安徽大学
《离散数学》期末考试试卷（B 卷）
（时间120分钟）
开课院（系、部） 姓名 学号 .
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．设522:=⨯P ，:Q 雪是黑的，842:=⨯R ，:S 太阳从东方升起，下列命题中真值为T 的是（ ） A 、R Q P ∧→； B 、S P R ∧→；
C 、R Q S ∧→；
D 、)()(S Q R P ∧∨∧。

2．下列命题公式中，为重言式的是（ ）
A 、)(R Q P ∨→；
B 、)()(Q P R P →∧∨；
C 、)()(R Q Q P ∨↔∨；
D 、))()(())((R P Q P R Q P →→→→→→。

3．设x x L :)(是演员，x x J :)(是老师，x y x A :),(钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（ ）
A 、)),()((y x A x L x →∀；
B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀；
C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；
D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀。

4．设}{φ=A ， ))((A B ρρ=，以下各小题中不正确的有（ ）
A 、
B ∈}}{{φ； B 、B ∈}}}{{,{φφ ；
C 、B ⊆}}}{{,{φφ；
D 、B ⊆}}}{,{},{{φφφ。

5．设φ=A ， }}{,{φφ=B ，则A B -是（ ）。

A 、 }}{{φ； B 、}{φ ； C 、 }}{,{φφ； D 、 φ。

6．设},,{c b a A =，R ,S ,T 是集合)(A ρ上的二元关系。

其中，}|,{y x y x R ⊂><=，}|,{φ=><=y x y x S ，}|,{A y x y x T =><= 。

下列哪些命题为真？（ ） I.R 是反自反、反对称和传递的 II.S 是反自反和对称的 III.T 是反自反和对称的
A 、仅I ；
B 、仅II ；
C 、I 和II ；
D 、全真。

7．R 是二元关系且4
R R =，则一定是传递的是（ ）
A 、4R ；
B 、3R ；
C 、2
R ； D 、R 。

8．设1R 和2R 是非空集合A 上的等价关系，确定下列各式，哪些是A 上的等价关系（ ） A 、1R A A -⨯； B 、21R R -； C 、
21R R ； D 、21R R 。

9．I 是整数集合，函数f 定义为：I I →，x x x f 2)(-=，则f 是： （ ） A 、单射； B 、满射； C 、双射； D 、非单射也非满射。

10．下列集合中，哪个集合的基数与其他集合的基数不同（ ） A 、n
N （N 为自然数集，N n ∈）； B 、N
N （N 为自然数集）； C 、R R ⨯（R 为实数集）； D 、x 坐标轴上所有闭区间集合；
二、填空题（每小题2分，共32分）
1．设P :小王走路，Q :小王听音乐，在命题逻辑中，命题“小王边走路边听音乐”的符号化形式为：
________________________；设:)(x F x 是人，:),(y x H x 与y 一样高，在谓词逻辑中，命题“人都不一样高”的符号化形式为________________________________________________。

2．设x x x M ,121|{≤≤=被2整除，}Z x ∈， x x x N ,121|{≤≤=被3整除，}Z x ∈， 则=N M ________________________，=-N M ________________________。

3．在自然数集N 中，偶数集为1N ，奇数集为2N ，则21N N =________________________，
21N N =________________________。

4．设集合}4,3,2,1{=A 上的二元关系}3,1,3,3,4,2,2,1{><><><><=R ，则
)(R r =________________________________________________； )(R s =________________________________________________； )(R t =________________________________________________；
5．设}4,3,2,1{=A ，则A 上共有多少个二元关系________________；其中有多少个等价关系
________________；在等价关系中，商集为二元集（即有两个元素的集合）的有________________个。

6．设}1,0{=A ，N 为自然数集，⎩⎨
⎧=是偶数
是奇数
x x x f ,1,0)(。

若A A f →:，则f 是__________射的，若
A N f →:，则f 是__________射的。

7． 设函数A A f →:，A B ⊆为A 的子集。

则下列集合之间的关系是))((1
B f
f -____________B ，
))((1
B f f
-____________B 。

三、综合题（第2小题16分，其它各小题8分，共48分）
1．用等值演算方法，按要求求解。

（8分）
（1）求命题公式)()(p q q p ∨⌝→→⌝的主析取范式；（4分） （2）求命题公式r q q p ∧∧→⌝)(的主合取范式。

（4分）
2．用推理规则证明：（第1小题6分，第二小题10分，共16分） （1）)(Q P ⌝∧⌝，R Q ∨⌝，R ⌝永真蕴含P ⌝。

（6分）
（2）前提：))()(())()((y R y M y x S x F x →∀→∧∃，))()((y R y M y ⌝∧∃；
结论：))()((x S x F x ⌝→∀。

（10分）
3．设}5,4,3,2,1{=A ，A 上的篇序关系,5,3,3,4,2,4,1,4,2,3,2,1{><><><><><><=R
A I }5,4><。

（共8分）
（1）作出篇序关系R 的哈斯图；（2分）
（2）令}5,3,2,1{=B ，求B 的最大、最小、极大、极小元，上界，最小上界，下界，最大下界。

（6分）
4．设}9,...,3,2,1{=A ，在A A ⨯上定义关系R ：R d c b a >>∈<><<,,,当且仅当c b d a +=+，证明R 是A A ⨯上的等价关系，并求出R ]5,2[><。

（8分）
5．设N N f →:，N N g →:均是函数，N 为自然数集，且
⎪⎩⎪⎨⎧≥==+=5403
,2,1,01)(x x x x x x f ，⎪⎩
⎪
⎨⎧=为奇数3为偶数2/)(x x x x g （共8分）
①求f g 。

（2分）
②f g 是单射，满射吗？（2分） ③设}2,1,0{=A ，求)(A f g 。

（2分）
④设}2,1,0{=B ，求)()(1
B f g - 。

（2分）
安徽大学《离散数学》期末考试试卷答案（B 卷）
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. A ；
2. D ；
3. B ；
4. B ；5 C ；6. D ；7. B ；8. D ；9. A ；10. A 。

二、填空题（每空2分，共32分）
1. Q P ∧，)),()()((y x H y F x F y x ⌝→∧∀∀；
2. }12,6{，}10,8,4,2{；
3. 2N ，φ；
4. }4,4,2,2,1,1,3,1,3,3,4,2,2,1{><><><><><><><，
}1,3,2,4,1,2,3,1,3,3,4,2,2,1{><><><><><><><， }3,3,4,2,4,1,3,1,2,1{><><><><><；
5. 162（65536），15，7；
6. 双射，满射；
7. ⊆，⊇；
三、综合题（第2小题16分，其它各小题8分，共48分） 1．（1）解：)()()()(p q q p p q q p ∨⌝∨∨⌝⇔∨⌝→→⌝
p q q p p q q p ∨⌝∨⌝∧⌝⇔∨⌝∨⌝∧⌝⇔)()()(（2分） )()()(q q p p p q q p ⌝∨∧∨⌝∨∧⌝∨⌝∧⌝⇔
)()()()()(q p q p p q p q q p ⌝∧∨∧∨⌝∧⌝∨∧⌝∨⌝∧⌝⇔ )()()(q p q p q p ⌝∧⌝∨⌝∧∨∧⇔（主析取范式）（4分）
（2）F F r p r q q p r q q p r q q p ⇔∧∧⇔∧∧⌝∧⇔∧∧∨⌝⌝⇔∧∧→⌝)()()( ∏⇔)7,6,5,4,3,2,1,0(
∧⌝∨⌝∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨∧∨∨⇔)()()()(r q p r q p r q p r q p
)()()()(r q p r q p r q p r q p ⌝∨⌝∨⌝∧∨⌝∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝（主合取范式）（4分）
2．（1）证明：
① )(Q P ⌝∧⌝ P
② Q P ∨⌝ T ,①,E （1分） ③ Q P → T ,②,E （2分） ④ R Q ∨⌝ P
⑤ R Q → T ,④,E （3分） ⑥ R P → T ,③, ⑤,I （4分） ⑦ R ⌝ P
⑧ P ⌝ T ,⑥, ⑦,I （6分） （2）证明：
(1) ))()((y R y M y ⌝∧∃ P
(2) )()(c R c M ⌝∧ ES ,(1) （1分）
(3) ))()((c R c M →⌝ T ,(2),E （2分） (4) ))()((y R y M y →⌝∃ EG ，(3) （3分） (5) )()((y R y M y →⌝∀ T ,(4),E （4分） (6) ))()(())()((y R y M y x S x F x →∀→∧∃ P
(7) ))()((x S x F x ∧⌝∃ T ,(5),(6),I （5分） (8) ))()((x S x F x ∧⌝∀ T , (7),I （6分） (9)))()((a S a F ∧⌝ US ,(8) （7分）
(10) )()(a S a F ⌝∨⌝ T ,(9),E （8分） (11) )()(a S a F ⌝→ T ,(10),E （9分） (12) ))()((x S x F x ⌝→∀ UG ,(11) （10分）
3．解：
（1）偏序关系R 的哈斯图为 2分）
（2）B 的最大元：无；最小元：无；（4分）极大元：2,5；极小元：1,3；（6分）下界：4；最大下界：4；上界：无；最小上界：无。

（8分）
4．证明：
1）A A b a ⨯>∈<∀,， a b b a +=+，∴R b a b a >>∈<><<,,,，即R 自反。

（2分）
2）R d c b a >>∈<><<∀,,,，则c b d a +=+，∴b c a d +=+，即a d b c +=+，从而R b a d c >>∈<><<,,,，即R 对称。

（4分） 3）R d c b a >>∈<><<∀,,,，R f e d c >>∈<><<∀,,,，则c b d a +=+，e d f c +=+，∴c e d f -+=，从而e b c e c b c e d a f a +=-++=-++=+， ∴R f e b a >>∈<><<,,,，即R 传递。

（6分） 综上得出，R 是等价关系。

且}25,,|,{]5,2[+=+⨯>∈<><=><b a A A b a b a R
=}3,,|,{-=⨯>∈<><b a A A b a b a
=}9,6,8,5,7,4,6,3,5,2,4,1{><><><><><>< （8分）
5．解（1）如下列出f g 的对应关系
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … )(x f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … ))((x f g 3 1 3 2 0 3 3 3 4 … 从而得到
N N f g →:
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥====40
62/3
21152,03
)(x x x x x x x x f g 为偶数且的奇数或大于等于 （2分） （2）f g 是满射的，但不是单射的。

（4分） （3）}3,1{})2,1,0({=f g 。

（6分）
（4）}4,3,1{})2,1,0({)(1
=-f g 。

（8分）。