高中数学 第4章 指数函数与对数函数 章末复习教学案第一册数学教学案

第4章指数函数与对数函数

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1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．

2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点．

3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．

5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y ＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．

7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是

一条连续不断的曲线，且有f (a )f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的解．

注意：由f (a )f (b )<0可判定在(a ，b )内至少有一个变号零点c ，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f (a )f (b )>0，则f (x )在(a ，b )内可能有零点，也可能无零点．

8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．

9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：

学科思想培优

一、指数、对数函数的典型问题及求解策略

指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．

1．求定义域

[典例1] (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1－27的定义域是( ) A ．[－2，＋∞)

B ．[－1，＋∞)

C ．(－∞，－1]

D ．(－∞，－2] (2)函数f (x )＝1ln

x ＋1＋4－x 2

的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]

B ．(－1,0)∪(0,2]

C ．[－2,2]

D ．(－1,2]

解析

(1)由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1－27≥0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1≥27，即⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3，又指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为R 上的单调减函数，所以2x －1≤－3，解得x ≤－1.

(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，ln x ＋1≠0，

4－x 2≥0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－1，x ≠0，

－2≤x ≤2，得x ∈(－1,0)∪(0,2]．

答案 (1)C (2)B

2．比较大小问题

比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．

[典例2] 若0<x <y <1，则( )

A ．3y <3x

B ．log x 3<log y 3

C ．log 4x <log 4y

D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭

⎪⎫14y 解析 因为0<x <y <1，则

对于A ，函数y ＝3x 在R 上单调递增，故3x <3y ，错误．

对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，错误．

对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，正确．

对于D ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在R 上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭

⎪⎫14y ，错误． 答案 C

[典例3] 比较三个数0.32，log 20.3,20.3的大小．

解 解法一：∵0<0.32<12＝1，log 20.3<log 21＝0,20.3>20＝1，∴log 20.3<0.32<20.3.

解法二：作出函数y ＝x 2，y ＝log 2x ，y ＝2x 的大致图象，如图所示，画出直线x ＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log 20.3<0.32<20.3.

3．与指数、对数函数相关的单调性问题

[典例4] 是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上单调递增？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．

解 设g (x )＝ax 2－x ，假设符合条件的a 存在．

当a >1时，为使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上单调递增，只需g (x )＝ax 2－x 在区间[2,4]上单调递增，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧

12a ≤2，g 2＝4a －2>0，解得a >12，∴a >1. 当0<a <1时，为使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上单调递增，只需g (x )＝ax 2－x 在区间[2,4]上单调递减，故应满足