海森堡不确定关系的证明
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2
x越窄， p 越宽，反之亦然。如果 p 很窄这意
味着它只是单一的平面波。
在此会证明稍微简化版本的定理，这个简化版本 也包含了基本要素。首先，一个变量里的不确定性 是什么意思？
△x
2021/5/8
13
该变量的分布已知，在
讨论它不确定性之前的第
x2
一件事是，我们总是可以
移动坐标轴使得x的平均值 为0。即<x>=0。
如果粒子具有负能量，那么真空不是稳定的了， 不稳定是说它会产生很多的正能量粒子和负能量粒 子。因为能量不能无中生有，所以粒子与反粒子对 中一个参与者有正能量而另一个参与者有负能量。 由能量守恒可知，必须同时制造两种粒子。相反， 如果只有正粒子呢？这也是不可能的，因为能量守 恒不允许这一点。
而且我们知道良好的稳定世界要求所有的粒子具 有相对真空为正的能量。
所以它覆盖全空间，而不是填满全空间。不是粒 子填满空间，仅仅是粒子可能出现在空间的任意地 方。原因是它的动量已知，所以这就是不确定原理 中原始版本，如果你知道粒子的位置，你就不可能 知道它的动量。
2021/5/8
12
我们将波函数看出X的函数，它的关系由傅立叶 变换表示：
x
dp ~ peipx
2021/5/8
8
所以狄拉克说：看我有一个十分简单的解。试想 一下，真空空间这个状态里负能量的粒子真的会同 时填满真空，但你不能放入更多的粒子，因为不允 许存在相同状态的粒子。假设绝对真空是绝对的最 低能的状态，那现在再来看看绝对真空，你会把它 看成普通真空吗？这是能量最低状态吗？
答案是NO，我们可以放入一个负能量的粒子来降 低能量，这样就有了更底状态了。不管是何状态我 们可以再放入一个负能量粒子，并降低其能量。
x2
对于一个给定的概率分布，首先x的平均值为0，那 么x
如果波函数已知，如何计算△x呢？很简单。
x2 x xx2dx
同理，动量不确定性定义方式本质上是相同的，你 可以用波函数的傅立叶变换来定义：
p2 ~ p p p2dp
p2 p2
dx
x
d
2 x
dx 2
的值为
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17
在这里我们要用到数学中的分部积分法，积分公
式为：
F
dG dx
dx
dF dx
Gdx
在这里我们可以将 x 看成是F，ddxx看成是G则
pˆ id dx
2021/5/8
pˆ 2
d2 dx 2
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由上述可知：
x 2 x2dx
x2 x2
p 2 p2
到了这里你或许=有-点d担x心 ，x这 d里2d有x2x一 个负号，为
什么p的不确定性会是负数呢？P具有负的不确定性
是什么意思？这里一个负号到底是什么意思？
很简单，因为积分 负。
2021/5/8
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而H=CP不是一良好稳定的世界， （因为P可正可负）那怎么办呢？
狄拉克知道怎么办。 但是只有在费米子的情况下
2021/5/8
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什么是费米子？
简单的来说，费米子就是不能处与相同状态的简 单粒子。符合泡利不相容原理的粒子就叫费米子。
什么是玻色子？
简单的来说，玻色子与费米子相反，玻色子可以 处于相同的状态的粒子，且不符合不相容原理。
P值可为正，可为负。 对于一个给定的P其波函 数为：
eipx
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负能量粒子和正能量粒子
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如果有能量为负的粒子，真空空 间会不会是最低能的状态？
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我们可以取一个真空，然后说它的能量为零。你 可以将负能量粒子放进去，负能量粒子会降低总能 量，因为万物都是趋向与低能态的。
x
不确定性是什么？由不 确定性的定义可知，就是x
平方的平均值。
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实际上原点是x2为0的唯一位置，所以x2的平均值 不可能为0。事实上波函数分布越广泛，x2的平均值 就越大，这是很明显的。所以x2是描述分布宽度的 良好指标，你可以称之为x的不确定性。事实上x不 确定性的定义就是x2的平均值，即：
他给出的狄拉克方程可以描述费米子的物理行为，并且预 测了反物质的存在。
1933年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式” （即量子力学的基本方程——薛定谔方程和狄拉克方程）， 狄拉克和埃尔温·薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
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浅谈狄拉克方程
我们谈论的模型是能 量的哈密顿：
H CP
所以说通往绝对最低的能态的唯一途径就是简单的 用负能量粒子填满它。但是你只能针对具有某种特 性的粒子这么做，那些粒子不能处于同一个状态。
2021/5/8
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如果你可以将多于一个的粒子放入同一状 态，那么将会发生什么？
那么你就无法阻止负能量粒子不断的进入
真空，世界将不会是稳定的，所以这是一个 合理的理论。
H CP
eipx
P可为正，可为负。这就是狄拉克方程最简单 版本，这个理论可以用来描叙一维中微子。 但是不适用于光子，光子是玻色子，玻色子 的玩法根本不一样。
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10
海森堡
维尔纳·卡尔·海森堡（1901年12 月5日－1976年2月1日），德国 物理学家，量子力学的主要创
始人，哥本哈根学派的代表人 物，1932年诺贝尔物理学奖获 得者。量子力学是整个科学史 上最重要的成就之一，他的《
海森堡不确定性原理 证明
物理与科学技术学院：陈涛 2014.11.21
2021/5/8
1
狄拉克
保罗·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902年8月8日－ 1984年10月20日），英国理论物理学家，量子力学的奠基者 之一，并对量子电动力学早期的发展作出重要贡献。曾经主 持剑桥大学的卢卡斯数学教授席位，并在佛罗里达州立大学 度过他人生的最后十四个年头。
量子论的物理学基础》是量子 力学领域的一部经典著作。鉴 于他的重要影响，在《影响人 类历史进程的100名人排行榜》 ，海森堡名列第46位。
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不确定性原理
不确定性原理来自何方？它来自于一个事实， 即坐标X和P不对易。当两个坐标或两个观测值不对 易时，我们不可能同时测量两者。
特别是X的本征矢和P的本征矢完全不同，X的本 征矢是窄而尖高度局域化的。而动量的本征矢首先 是复数eipx，但它们的实部和虚部都在完全空间中振 动。
x越窄， p 越宽，反之亦然。如果 p 很窄这意
味着它只是单一的平面波。
在此会证明稍微简化版本的定理，这个简化版本 也包含了基本要素。首先，一个变量里的不确定性 是什么意思？
△x
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该变量的分布已知，在
讨论它不确定性之前的第
x2
一件事是，我们总是可以
移动坐标轴使得x的平均值 为0。即<x>=0。
如果粒子具有负能量，那么真空不是稳定的了， 不稳定是说它会产生很多的正能量粒子和负能量粒 子。因为能量不能无中生有，所以粒子与反粒子对 中一个参与者有正能量而另一个参与者有负能量。 由能量守恒可知，必须同时制造两种粒子。相反， 如果只有正粒子呢？这也是不可能的，因为能量守 恒不允许这一点。
而且我们知道良好的稳定世界要求所有的粒子具 有相对真空为正的能量。
所以它覆盖全空间，而不是填满全空间。不是粒 子填满空间，仅仅是粒子可能出现在空间的任意地 方。原因是它的动量已知，所以这就是不确定原理 中原始版本，如果你知道粒子的位置，你就不可能 知道它的动量。
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我们将波函数看出X的函数，它的关系由傅立叶 变换表示：
x
dp ~ peipx
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所以狄拉克说：看我有一个十分简单的解。试想 一下，真空空间这个状态里负能量的粒子真的会同 时填满真空，但你不能放入更多的粒子，因为不允 许存在相同状态的粒子。假设绝对真空是绝对的最 低能的状态，那现在再来看看绝对真空，你会把它 看成普通真空吗？这是能量最低状态吗？
答案是NO，我们可以放入一个负能量的粒子来降 低能量，这样就有了更底状态了。不管是何状态我 们可以再放入一个负能量粒子，并降低其能量。
x2
对于一个给定的概率分布，首先x的平均值为0，那 么x
如果波函数已知，如何计算△x呢？很简单。
x2 x xx2dx
同理，动量不确定性定义方式本质上是相同的，你 可以用波函数的傅立叶变换来定义：
p2 ~ p p p2dp
p2 p2
dx
x
d
2 x
dx 2
的值为
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在这里我们要用到数学中的分部积分法，积分公
式为：
F
dG dx
dx
dF dx
Gdx
在这里我们可以将 x 看成是F，ddxx看成是G则
pˆ id dx
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pˆ 2
d2 dx 2
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由上述可知：
x 2 x2dx
x2 x2
p 2 p2
到了这里你或许=有-点d担x心 ，x这 d里2d有x2x一 个负号，为
什么p的不确定性会是负数呢？P具有负的不确定性
是什么意思？这里一个负号到底是什么意思？
很简单，因为积分 负。
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而H=CP不是一良好稳定的世界， （因为P可正可负）那怎么办呢？
狄拉克知道怎么办。 但是只有在费米子的情况下
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什么是费米子？
简单的来说，费米子就是不能处与相同状态的简 单粒子。符合泡利不相容原理的粒子就叫费米子。
什么是玻色子？
简单的来说，玻色子与费米子相反，玻色子可以 处于相同的状态的粒子，且不符合不相容原理。
P值可为正，可为负。 对于一个给定的P其波函 数为：
eipx
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负能量粒子和正能量粒子
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如果有能量为负的粒子，真空空 间会不会是最低能的状态？
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我们可以取一个真空，然后说它的能量为零。你 可以将负能量粒子放进去，负能量粒子会降低总能 量，因为万物都是趋向与低能态的。
x
不确定性是什么？由不 确定性的定义可知，就是x
平方的平均值。
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实际上原点是x2为0的唯一位置，所以x2的平均值 不可能为0。事实上波函数分布越广泛，x2的平均值 就越大，这是很明显的。所以x2是描述分布宽度的 良好指标，你可以称之为x的不确定性。事实上x不 确定性的定义就是x2的平均值，即：
他给出的狄拉克方程可以描述费米子的物理行为，并且预 测了反物质的存在。
1933年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式” （即量子力学的基本方程——薛定谔方程和狄拉克方程）， 狄拉克和埃尔温·薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
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浅谈狄拉克方程
我们谈论的模型是能 量的哈密顿：
H CP
所以说通往绝对最低的能态的唯一途径就是简单的 用负能量粒子填满它。但是你只能针对具有某种特 性的粒子这么做，那些粒子不能处于同一个状态。
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如果你可以将多于一个的粒子放入同一状 态，那么将会发生什么？
那么你就无法阻止负能量粒子不断的进入
真空，世界将不会是稳定的，所以这是一个 合理的理论。
H CP
eipx
P可为正，可为负。这就是狄拉克方程最简单 版本，这个理论可以用来描叙一维中微子。 但是不适用于光子，光子是玻色子，玻色子 的玩法根本不一样。
2021/5/8
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海森堡
维尔纳·卡尔·海森堡（1901年12 月5日－1976年2月1日），德国 物理学家，量子力学的主要创
始人，哥本哈根学派的代表人 物，1932年诺贝尔物理学奖获 得者。量子力学是整个科学史 上最重要的成就之一，他的《
海森堡不确定性原理 证明
物理与科学技术学院：陈涛 2014.11.21
2021/5/8
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狄拉克
保罗·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902年8月8日－ 1984年10月20日），英国理论物理学家，量子力学的奠基者 之一，并对量子电动力学早期的发展作出重要贡献。曾经主 持剑桥大学的卢卡斯数学教授席位，并在佛罗里达州立大学 度过他人生的最后十四个年头。
量子论的物理学基础》是量子 力学领域的一部经典著作。鉴 于他的重要影响，在《影响人 类历史进程的100名人排行榜》 ，海森堡名列第46位。
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不确定性原理
不确定性原理来自何方？它来自于一个事实， 即坐标X和P不对易。当两个坐标或两个观测值不对 易时，我们不可能同时测量两者。
特别是X的本征矢和P的本征矢完全不同，X的本 征矢是窄而尖高度局域化的。而动量的本征矢首先 是复数eipx，但它们的实部和虚部都在完全空间中振 动。