第3节偏导数与全微分

则称函数y f ( x)在点x0可微,
并且称函数y f (x)的微分为 dy A x Adx , 实际上 A f ( x) ,
即 dy f ( x)dx .
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二元函数的可微性和全微分
定义 二元函数 z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处的全增量
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 如果可以表示为
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全微分的计算公式：
dz z dx z dy x y
二元函数的微分法则：
设 u( x, y), v( x, y) 可微，则 d(u v) du dv , d(uv) vdu udv ,
u vdu udv
d( ) v
v2
(v 0)
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例6 求 z x2 y y2 的全微分.
分, 则函数在该点连续.
证明 事实上, 若 z Ax By o( ) ,
则 lim z 0 , 即
0
lim
( x ,y )( 0,0 )
f
( x0

x,
y0

y)
lim[
0
f
( x0 ,
y0 )
z]
f ( x0 , y0 )，
故函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 处连续.
例1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数．
解
z 2x 3 y , x
z x
x1 8 ，
y2
z 3x 2 y , y
z
y
x1 7 .
y2
4
例2 设 z x y ( x 0, x 1)，
求证 x z 1 z 2z . y x ln x y
曲面被平面 y y0所截
得的曲线
z f ( x, y0 )，y y0 在点M0处的切线M0Tx 对 x 轴的斜率： f x ( x0 , y0 )
同理，偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面x x0 所 截得的曲线在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的斜率.
3
f x( x0 ,
y0 )
lim
x0
f ( x0
x,
y0 ) x
f ( x0 , y0 )
A x o(| x |)
lim
A,
x0
x
同理可得 B f y( x0 , y0 ) .
dz z dx z dy x y
可微 可偏导 12
注：可偏导不一定可微,见下面反例.
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)


x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
已经求得， f x (0,0) f y(0,0) 0 .
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在 连续.
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二、全微分
回顾：对一元函数 y f ( x), 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) 能表示成 y A x o(x) , (x 0)
即受压后圆柱体体积减少了
例10 求 (0.97)2.02 的近似值.
解 令 z f ( x, y) x y , ( x0 , y0 ) (1, 2) ,
x 0.03 , y 0.02 ,
f x(1, 2)
y x y1 (1,2)

2,
f y(1, 2) x y ln x (1,2) 0 ,
dz Ax By
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定理1 如果函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 可微分， 则函数在该点必有偏导数 f x( x0 , y0 ), f y( x0 , y0 ) ，且
A f x( x0 , y0 ), B f y( x0 , y0 )
证 z Ax By o()，令 y 0，则 | x | ,
xy
f
(
x,
y)


x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0,0) 处有 f x (0,0) f y(0,0) 0 ,
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
解 f (2, y) 2 y3 ， f y(2, y) 6 y2 ，
f y (2,1) 6 .
此题若先求出 f y( x, y) ,再代入,则麻烦.
7
求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.
例5
设
f (x, y)
xy

x2

y2
,
0,
x2 y2 0 ，
21
例9. 有一圆柱体受压后发生形变,半径由 20cm 增大
到 20.05cm,高度由100cm 减少到 99cm, 求此圆柱体
体积的近似改变量.
r
解: 已知
则
h
V 2 π rh r π r 2h
r 20, h 100,
r 0.05, h 1
V 2 π 20100 0.05 π 202 (1) 200π (cm3)
可微 连续
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定理3 如果函数z f ( x, y)的偏导数 z 、z 在点( x, y) x y
连续，则该函数在点( x, y)可微. 这个定理给出了二元函数在一点处可微的充分
条件，证明从略. 上述定理均不可逆.
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
函数可微 偏导数连续
f (1, 2) 1 , 所以
(0.97)2.02 f (1, 2) fx(1, 2) x f y(1, 2) y
1 2(0.03) 0 0.02 0.94 .
精确值 0.940326993
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z( x y)z1 1 (x y)2z
；
u y

z( x y)z1 1 (x y)2z
；
u z

( x y)z ln(x 1 (x y)2z
y)
.
6
例4
设
f (x, y)
xy3
( x 2)arctan
xy x2 y2
,
求 f y (2,1) .
证 z yx y1, z x y ln x,
x
y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z. 所以原结论成立．
5
例3 求 u arctan( x y)z 的偏导数.
解
u x

1
x x2
y2
dx

1
y x2
y2
dy
,
所以 dz x1 1 (dx dy) . y1 3
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对一般的 n 元函数 y f ( x1 , x2 , , xn ) ，可与 二元函数类似地定义全微分，并有类似的计算公式
dy

n i 1
f xi
dx i
.
例8 求三元函数 u xyz e xyz 的全微分.
解 u yz yze xyz yz(1 e xyz ) , x
u xz(1 e xyz ) , u xy(1 e xyz ) ,
y
z
所以 du (1 e xyz )( yz dx xz dy xy dz) .
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全微分在近似计算中的应用 若函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 可微分，即
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) x f y( x0 , y0 ) y o( ) ( 0) 当 | x |, | y | 充分小时，
z dz f x( x0 , y0 ) x f y( x0 , y0 ) y
z Ax By o( ) ( 0) 其中 A, B 与 x, y 无关, x2 y2 ,
则称 z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处可微分,而 Ax By 称为 z f (x, y) 在( x0 , y0 ) 处的全微分,记为dz ,即
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zy x x0 .
y y0
z z 偏导函数： , ,
x y
或
zx ，zy .
说明：1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.
2.偏导数的概念可以推广到二元以上函数.
2
偏导数的几何意义
设 M0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为 曲 面z f ( x, y) 上 一 点,
处对x的偏导数，记为
z ， 或 x x x0
zx
x x0 y y0
.
y y0
1
类似可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏
导数，为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
z
记为
，或
y x x0
y y0
lim
x0 yx
xy /
x2 y2
x
2

y
2

lim
x0
xx x2 x
2

1 2
0，
所以 z [ f x (0,0)x f y (0,0)y] o( ) ，
即 f (x, y) 在(0,0) 处不可微.
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定理2 如果函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 可微
第三节 偏导数与全微分
一、偏导数
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 ) 的某一 邻域内有定义，当 y 固定在 y0而 x 在 x0处有 增量x 时，如果极限
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )
x2 y2 0
求 f x (0,0), f y (0,0).
解
f x (0,0)
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim 0 0 0， x0 x
同理, f y (0,0) 0 .
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偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
解 z 2xy ， z x2 2 y ，
x
y
所以 dz 2 xydx ( x2 2 y)dy .
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例7 求 z ln 1 x 2 y 2 在(1, 1) 处的dz .
解 z 1 ln(1 x 2 y 2 ) , 2
dz z dx z dy x y