2017-2018学年北京一零一中八年级(下)期中数学试卷含答案解析

2017-2018学年北京一零一中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列各曲线中表示y是x的函数的是（）
A．B．
C．D．
2．若点P（﹣1，3）在函数y＝kx的图象上，则k的值为（）
A．﹣3B．3C．D．
3．已知，一次函数y＝kx+b图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集为（）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x＞2D．x＜2
4．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
5．已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（）
A．3B．4C．5D．6
6．如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（）
A．1B．2C．D．
7．若m＜﹣1，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，BE＝1，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则EC的长为（）
A．B．2C．3D．2
9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB ＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（）
A．当x＝2时，y＝5B．矩形MNPQ的面积是20
C．当x＝6时，y＝10D．当y＝时，x＝10
二、填空题：共8小题．
11．函数中自变量x的取值范围是．
12．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实根，则m的取值范围是．
13．将函数y＝2x+1的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的解析式为．14．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则∠ADE＝度．
15．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．
16．根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的y值为．
17．已知点A（2，﹣4），直线y＝﹣x﹣2与y轴交于点B，在x轴上存在一点P，使得P A+PB 的值最小，则点P的坐标为．
18．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…
和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则点B3的坐标是；点B2018的坐标是．
三、解答题共8小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19．（20分）解一元二次方程：
（1）（2x+1）2＝9；
（2）x2+4x﹣2＝0；
（3）x2﹣6x+12＝0；
（4）3x（2x+1）＝4x+2．
20．（6分）已知，m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．
21．（6分）已知直线l1的函数解析式为y＝x+1，且l1与x轴交于点A，直线l2经过点B，D，直线l1，l2交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线l2的解析式；
（3）求S△ABC的面积．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E，F分别在AD及其延长线上，且CE∥BF，连接BE，CF．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若BD＝4，BE＝5，求四边形EBFC的面积．
23．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若x为方程的一个根，且满足0＜x＜3，求整数m的值．
24．（7分）某游乐场普通门票价格40元/张，为了促销，新推出两种办卡方式：
①白金卡售价200元/张，每次凭卡另收取20元；
②钻石卡售价1000元/张，每次凭卡不再收费．
促销期间普通门票正常出售，两种优惠卡不限次数，设去游乐场玩x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择白金卡、普通门票消费时，y与x之间的函数关系式．
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点B，C的坐标．
（3）请根据图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，下图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．
已知点A的坐标为（1，0），
（1）若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；
（2）点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（3）若点D的坐标为（4，2），将直线y＝2x+b平移，当它与点A，D的“相关矩形”
没有公共点时，求出b的取值范围．
26．（8分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P是边BC上一点（点P不与点B，点C 重合），点C关于直线AP的对称点为C'．
（1）如果C'落在线段AB的延长线上．
①在图①中补全图形；
②求线段BP的长度；
（2）如图②，设直线AP与CC'的交点为M，求证：BM⊥DM．
2017-2018学年北京一零一中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列各曲线中表示y是x的函数的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的意义求解即可求出答案．
解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D 正确．
故选：D．
【点评】主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
2．若点P（﹣1，3）在函数y＝kx的图象上，则k的值为（）
A．﹣3B．3C．D．
【分析】利用待定系数法即可解决问题．
解：∵点P（﹣1，3）在函数y＝kx的图象上，
∴3＝﹣k，
∴k＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
3．已知，一次函数y＝kx+b图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集为（）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x＞2D．x＜2
【分析】不等式kx+b＞0的解集为直线y＝kx+b落在x轴上方的部分对应的x的取值范围．解：从图象得知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，0），并且函数值y随x的增大而增大，因而则不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．4．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
【分析】先根据一次函数y＝2x+1中k＝2判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2进行解答即可．
解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0，
∴此函数是增函数，
∵﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题开查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
5．已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用一元二次方程解的定义，把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得12﹣2a＝0，然后解关于a的方程即可．
解：把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得3×4﹣2a＝0，解得a＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（）
A．1B．2C．D．
【分析】根据三角形的中位线定理，DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，得DE ＝，AD＝，AE＝而解得．
解：∵DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，
∴DE＝，AD＝，AE＝
∴△ADE的周长为．
故选：C．
【点评】根据三角形的中位线定理，得三角形ADE的边长是三角形ABC边长的．此题主要是根据三角形的中位线定理进行分析计算．
7．若m＜﹣1，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
解：当m＜﹣1时，m+1＜0，m﹣1＜2，
一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质：y＝kx+b，k＜0，b＜0时，图象经过二三四象限是解题关键．
8．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，BE＝1，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则EC的长为（）
A．B．2C．3D．2
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE＝2，再根据直角三角形两锐角互余求出∠AEB＝60°，根据翻折变换的性质可得∠AEB1＝∠AEB，根据两直线平行，内错角相等可得∠EAC1＝∠AEB1＝60°，然后判断出△AEC1是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC1＝AE，再根据翻折变换的性质可得EC＝BC1．解：∵矩形纸片ABCD，∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE＝2×1＝2，
∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB沿AE翻折点B落在EC1边上的B1处，
∴∠AEB1＝∠AEB＝60°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠EAC1＝∠AEB1＝60°，
∴△AEC1是等边三角形，
∴BC1＝AE＝2，
∵EC沿BF翻折点C落在AD边上的C1处，
∴EC＝BC1＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，熟记翻折前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．
9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB ＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE＝∠EAD＝60°推出△ABE是等边三角形，由于AB＝BC，得到AE＝BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD＝30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，根据AB＝BC，OB＝BD，且BD ＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE＝AB，于是得到OE＝BC，故④正确．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，
∵AB＝BC，OB＝BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE＝BE，CO＝OA，
∴OE＝AB，
∴OE＝BC，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，
平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
10．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（）
A．当x＝2时，y＝5B．矩形MNPQ的面积是20
C．当x＝6时，y＝10D．当y＝时，x＝10
【分析】根据图2可知：PN＝4，PQ＝5，然后根据三角形的面积公式求解即可．
解；由图2可知：PN＝4，PQ＝5．
A、当x＝2时，y＝＝＝5，故A正确，与要求不符；
B、矩形的面积＝MN•PN＝4×5＝20，故B正确，与要求不符；
C、当x＝6时，点R在QP上，y＝＝10，故C正确，与要求不符；
D、当y＝时，x＝3或x＝10，故错误，与要求相符．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据图2求矩形的长和宽是解题的关键．
二、填空题：共8小题．
11．函数中自变量x的取值范围是x≥﹣5．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：x+5≥0，解不等式求x的范围．
解：根据题意得：x+5≥0，
解得x≥﹣5．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实根，则m的取值范围是m＜﹣1．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0，
解得：m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．13．将函数y＝2x+1的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的解析式为y＝2x+3．【分析】根据一次函数图象平移时“上加、下减”的原则进行解答即可．
解：由“上加下减”的原则可知，
将函数y＝2x+1的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
14．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则∠ADE＝15度．
【分析】正方形ABCD中，BC＝CD，等边△BCE中，CE＝BC，即可得CD＝CE，然后依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．
解：正方形ABCD中，BC＝CD，
等边△BCE中，CE＝BC，
∴CD＝CE，
∵∠DCE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CDE＝＝75°．
∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了等边三角形各内角为60°、各边长相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，本题中求CD＝CE是解题的关键．
15．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于2．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE＝∠BEA，证出AB＝BE＝3；求出AB+BC＝8，得出BC＝5，即可得出EC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵平行四边形ABCD的周长是16，
∴AB+BC＝8，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3，
∴BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2；
故答案为：2．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB＝BE是解决问题的关键．
16．根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的y值为．
【分析】根据x的值选择相应的函数关系式，计算即可得解．
解：x＝时，y＝﹣x+2＝﹣+2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数值，理解图表信息准确选择相应的函数关系式是解题的关键．17．已知点A（2，﹣4），直线y＝﹣x﹣2与y轴交于点B，在x轴上存在一点P，使得P A+PB 的值最小，则点P的坐标为．
【分析】作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，连接PB，此时P A+PB 的值最小．求出直线AB′的解析式即可解决问题；
解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，连接PB，此时P A+PB的值最小．
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，
把A（2，﹣4），B′（0，2）代入得到，
解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+2，
令y＝0，得到x＝，
∴P（，0），
故答案为（，0）．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
18．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…
和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则点B3的坐标是（7，4）；点B2018的坐标是（22018﹣1，22017）．
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
代入y＝kx+b得，
解得：．
则直线的解析式是：y＝x+1．
∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴点B3的坐标为（7，4），…，
∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．
B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）
∴B2018的坐标是（22018﹣1，22017）．
故答案为：（22018﹣1，22017）．
【点评】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
三、解答题共8小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19．（20分）解一元二次方程：
（1）（2x+1）2＝9；
（2）x2+4x﹣2＝0；
（3）x2﹣6x+12＝0；
（4）3x（2x+1）＝4x+2．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）根据判别式的意义判断方程没有实数解；
（4）先移项得到3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）2x+1＝±3，
所以x1＝1，x2＝﹣2；
（2）x2+4x＝2，
x2+4x+4＝6，
（x+2）2＝6，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（3）△＝（﹣6）2﹣4×1×12＜0，
所以方程没有实数解；
（4）3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
（2x+1）（3x﹣2）＝0，
2x+1＝0或3x﹣2＝0，
所以x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解方程．20．（6分）已知，m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．
【分析】根据一元二次方程解的定义得到m2﹣m﹣3＝0，则m2﹣2m＝3，把m2﹣m﹣3＝0两边都除以m得m﹣1﹣＝0，则m﹣＝1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，
∴m2﹣m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，m﹣1﹣＝0，即m﹣＝1，
∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝3×（1+1）＝6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21．（6分）已知直线l1的函数解析式为y＝x+1，且l1与x轴交于点A，直线l2经过点B，D，直线l1，l2交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线l2的解析式；
（3）求S△ABC的面积．
【分析】（1）在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，即可得到点A的坐标；
（2）利用待定系数法，即可得到直线l2的解析式；
（3）解方程组求得C（，），即可得到S△ABC的面积．
解：（1）在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）；
（2）设直线l2的解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴y＝﹣2x+6；
（3）解方程组，
可得，
∴C（，），
∴S△ABC＝×（3+1）×＝．
【点评】本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，要注意两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E，F分别在AD及其延长线上，且CE∥BF，连接BE，CF．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若BD＝4，BE＝5，求四边形EBFC的面积．
【分析】（1）由D是BC边的中点，CE∥BF，利用ASA易证得△BDF≌△CDE，即可得CE＝BF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFCE是平行四边形；
由AB＝AC，D是BC边的中点，即可得AD⊥BC，又由四边形BFCE是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得四边形BFCE是菱形．
（2）求出BC、EF即可解决问题；
（1）证明：∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CE∥BF，
∴∠DBF＝∠ECD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（ASA），
∴CE＝BF，
又∵CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵四边形BFCE是平行四边形，
∴四边形BFCE是菱形．
（2）解：在Rt△BDE中，BE＝5，BD＝4，
∴DE＝＝3，
∵四边形BECF是菱形，
∴EF＝2DE＝6，BC＝2BD＝8，
∴菱形BECF的面积＝×6×8＝24．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若x为方程的一个根，且满足0＜x＜3，求整数m的值．
【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；
（2）利用因式分解法求得x1＝﹣1、x2＝﹣m，利用0＜x＜3得出0＜﹣m＜3，据此求得m的取值范围，从而得出答案．
解：（1）∵△＝（m+1）2﹣4×1×m
＝m2+2m+1﹣4m
＝m2﹣2m+1
＝（m﹣1）2≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）∵（x+1）（x+m）＝0，
∴x+1＝0或x+m＝0，
即x1＝﹣1、x2＝﹣m，
∵0＜x＜3，
∴0＜﹣m＜3，
解得：﹣3＜m＜0，
则整数m的值为﹣2、﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
24．（7分）某游乐场普通门票价格40元/张，为了促销，新推出两种办卡方式：
①白金卡售价200元/张，每次凭卡另收取20元；
②钻石卡售价1000元/张，每次凭卡不再收费．
促销期间普通门票正常出售，两种优惠卡不限次数，设去游乐场玩x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择白金卡、普通门票消费时，y与x之间的函数关系式．
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点B，C的坐标．
（3）请根据图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
【分析】（1）根据白金卡售价200元/张，每次凭卡另收取20元，普通门票正常出售，设消费x次时，分别得出所需总费用为y与x之间的关系式即可；
（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；
（3）根据图象解答即可．
解：（1）根据题意可得：白金卡：y＝20x+200．
门票：y＝40x
（2）将y＝40x代入y＝200+20x，得40x＝200+20x，
解得x＝10，
把x＝10代入y＝40x，得y＝400，
所以B（10，400），
把y＝1000代入y＝200+20x，得1000＝200+20x，
解得x＝40，
所以C（40，1000）；
（3）当0＜x＜10时，选普通门票；当x＝10时，选普通门票和白金卡；
当10＜x＜40时，选白金卡；
当x＝40时，选白金卡和钻石卡；
当x＞40时，选钻石卡
【点评】本题考查了一次函数的应用，两函数交点坐标的求法．进行分类讨论是解题的关键．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，下图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．
已知点A的坐标为（1，0），
（1）若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；
（2）点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（3）若点D的坐标为（4，2），将直线y＝2x+b平移，当它与点A，D的“相关矩形”
没有公共点时，求出b的取值范围．
【分析】（1）由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；
（2）由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC 的解析式为；y＝kx+b，由此可知k＝±1，再（1，0）代入y＝kx+b，即可求出b的值；
（3）分别把点A、D点的坐标代入y＝2x+b±2，求得b的数值即可．
解：（1）∵A（1，0），B（3，1）
由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，
∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1＝2；
（2）由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的“相关矩形”为正方形
∴直线AC与x轴的夹角为45°，
设直线AC的解析为：y＝x+m或y＝﹣x+n
把（1，0）分别y＝x+m，
∴m＝﹣1，
∴直线AC的解析为：y＝x﹣1，
把（1，0）代入y＝﹣x+n，
∴n＝1，
∴y＝﹣x+1，
综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1；
（3）把A（1，0），D（4，2）分别代入y＝2x+b±2，
得出b＝0，或b＝﹣8，
∴b＞0或b＜﹣8
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，新定义的理解和应用，矩形的面积公式，找出分界点是解本题的关键．
26．（8分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P是边BC上一点（点P不与点B，点C 重合），点C关于直线AP的对称点为C'．
（1）如果C'落在线段AB的延长线上．
①在图①中补全图形；
②求线段BP的长度；
（2）如图②，设直线AP与CC'的交点为M，求证：BM⊥DM．
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②连接AC，作PH⊥AC于H．则△APB≌△APH，同侧AB＝AH＝1，PB＝PH，设PB
＝PH＝x，利用勾股定理构建方程即可；
（2）如图②中，连接AC、BD交于点O．连接OM．只要证明A、B、M、C、D五点共圆，即可解决问题；
解：（1）①如图①所示：
②连接AC，作PH⊥AC于H．则△APB≌△APH，∴AB＝AH＝1，PB＝PH，设PB＝PH＝x，
∵AC＝＝，
∴CH＝﹣1，
在Rt△PCH中，x2+（﹣1）2＝（2﹣x）2，
解得x＝，
∴PB＝．
（2）如图②中，连接AC、BD交于点O．连接OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠AMC＝90°，
∴OM＝OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、M、C、D五点共圆，
∵BD是直径，
∴∠BMD＝90°，
∴BM⊥DM．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，矩形的性质，五点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．。