高中数学复习：导数与函数的单调性

当x∈
1 2
5
,
时, f ‘(x)>0;
当x∈
1
2
5
,
时, f '(x)<0,
所以函数f(x)的单调递增区间为
0,
1 2
5
,
单调递减区间为
1
2
5
,
.
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方法技巧 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求f '(x); (3)解不等式f '(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f '(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f '(x)>0,则f(x)在这个区间内① 单调递增 ; (2)若f '(x)<0,则f(x)在这个区间内② 单调递减 ; (3)若f '(x)=0,则f(x)在这个区间内是③ 常数函数 .
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▶提醒 由f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)可得f ‘(x)≥0(≤0)在该区间 内恒成立,而不是f '(x)>0(<0)恒成立,“=”不能少,必要时还需对“=”进行 检验.
令f '(x)=xcos x>0,
则其在区间(-π,π)上的解集为
,
2
和
0,
2
,
即f(x)的单调递增区间为
,
2
和
0,
2
.
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利用导数解决含参数的函数的单调性的问题
典例2 设f(x)=ex(ax2+x+1)(a>0),试讨论f(x)的单调性.
解析 f '(x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1)
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f '(x)>0. ( ✕ ) (2)若函数f(x)在某个区间内恒有f '(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.
(√) (3)在(a,b)内f '(x)≤0,且f '(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.
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▶提醒 (1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极 易出错.如本例易忽视定义域为(0,+∞)而导致解题错误. (2)个别导数为0的点不影响函数在该区间上的单调性,如函数f(x)=x3, f '(x)=3x2≥0(x=0时, f '(x)=0),但f(x)=x3在R上是增函数.
(√) 答案 (1)✕ (2)√ (3)√
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2.函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是 (C )
A.在区间(-3,1)上f(x)是增函数 C.在区间(4,5)上f(x)是增函数
B.在区间(1,3)上f(x)是减函数 D.在区间(3,5)上f(x)是增函数
5.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值是
.
答案 3
解析 f '(x)=3x2-a,由题意知f '(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在[1, +∞)上恒成立,又x∈[1,+∞)时,3x2≥3,∴a≤3,即a的最大值是3.
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利用导数解决不含参数的函数的单调性的问题
答案 C 由图象可知,当x∈(4,5)时, f '(x)>0,故f(x)在(4,5)上是增函数.
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3.函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性是 ( D ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 答案 D ∵在(0,π)上, f '(x)=-sin x-1<0,∴f(x)在(0,π)上单调递减,故选 D.
=ex[ax2+(2a+1)x+2]
=ex(ax+1)(x+2)=aex
x
1 a
(x+2).
当a= 1时, f '(x)= 1 ex(x+2)2≥0恒成立,
2
2
∴函数f(x)在R上单调递增;当0<a< 1时,有1 >2,
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第二节 导数与函数的单调性
教 材 函数的导数与单调性的关系 研 读
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考
考点一 利用导数解决不含参数的函数的单调性 的问题
点 突
考点二 利用导数解决含参数的函数的单调性的问题
破 考点三 利用导数解决函数单调性的应用问题
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函数的导数与单调性的关系
典例1 (2019河北唐山质检)求函数f(x)=ln x- 1x2+x- 1 的单调区间.
22
解析 因为f(x)=ln x- 1 x2+x- 1 ,
22
且定义域为(0,+∞),
所以f
'(x)= 1-x+1=-
x
1 2
5
x
1 2
5Hale Waihona Puke Baidu
.
x
x
令f
'(x)=0,得x1=1
2
5
,x2=1
2
5 (舍去).
e
即函数的单调递增区间为
1 e
,
;
令f '(x)<0,解得0<x<1,
e
即函数的单调递减区间为
0,
1 e
,故选D.
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1-2 已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增
区间是
.
答案
,
2
和
0,
2
解析 f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.
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知识拓展 用充分、必要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1)f '(x)>0(<0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件. (2)f '(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件. (3)若f '(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于零,则f '(x)≥0(≤0)是 f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.
4.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( D ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 答案 D 由f(x)=(x-3)ex,得f '(x)=(x-2)ex, 令f '(x)>0,得x>2,故f(x)的单调递增区间是(2,+∞).
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1-1 已知函数f(x)=xln x,则f(x) ( D )
A.在(0,+∞)上单调递增 B.在(0,+∞)上单调递减
C.在
0,
1 e
上单调递增
D.在
0,
1 e
上单调递减
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答案 D 因为函数f(x)=xln x,
所以f '(x)=ln x+1(x>0),
令f '(x)>0,解得x>1,