(整理)傅立叶积分变换

第一章 傅里叶积分变换

所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：

()()ττF dt t f t k b

a

−−→

−⎰记为

),( 这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .

数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.

1．傅里叶级数的指数形式

在《高等数学》中有下列定理：

定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有

()()∑∞

=++=1

0sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)

其中()dt t f T a T

T T ⎰-=22

01

,

()() ,2,1cos 1

22==⎰-n tdt n t f T a T

T T n ω,

()() .2,1sin 1

22

==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,

在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于

()()2

0000-++t f t f T T .

又2cos φφφi i e e -+=,i

e e i i 2sin φ

φφ--=,.于是

()∑∞=--⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+++=10222n t in t in n

t in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭

⎫

⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =

2n n

n ib a c -=, 2

n n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞

-∞

==

n t

in n

T e

c t f ω

()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)

(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即

()() ,2,1,01

22

±±==--⎰n dt e t f T c t in T

T T n ω. (3)

2．傅里叶积分

任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即

()t f T T ∞

→=lim ()t f =.

由公式(2) 、(3)得

()()t in n T

T in T T e d e f T t f ωωτ

ττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=22

1,

可知

()()t in n T

T in T T e d e f T t f ωωτ

ττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=221lim , 令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T π

ω2=或n

T ωπ∆=2 .

于是

()()t i n T

T i T

T n n e d e f T t f ωτ

ωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞

-∞=--→∆22021lim , 令

()()t i i T

T T n T n n e d e f ωτωττπωφ][21

22

--⎰=,

故

()t f ()n

n n

T

n ωωφω∆=∑∞

-∞

=→∆0

lim

. (4)

注意到当,0→∆n ω即∞→T 时,

()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞

∞

-⎰=

→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：

()t f ()⎰+∞

∞

-=ωωφd ，

或者

()()ωττπ

ωωτd e d e f t f t i i ⎰

⎰

+∞

∞

-+∞

∞

--=

][21

. (5)

公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.

定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:

(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即

()dt t f ⎰

+∞

∞

-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处

应以

()()2

0000-++t f t f 来代替.

上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即

()()()()()()⎪⎩⎪

⎨⎧-++=-⎰⎰

∞+∞

+∞

-.,200,]cos [1

其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ

(6)

上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：

()()ωττπ

ωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰

+∞∞

-+∞

∞

--=

][21

.

从上式出发，设

()()dt e t f F t i ωω-+∞

∞

-⎰

= (1)

则

()t f ()ωωπ

ωd e F t i ⎰

+∞

∞

-=

21 (2)

称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞

∞

-⎰

=

为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为

()=ωF F ()}{t f .