开学第一课：高中数学学法指导

高中数学学法指导
同学们，当你们踏进崇庆中学校门那一刻起，我想你们定会暗下决心：争取学好高中阶段的各门学科，考上理想的大学，回报父母亲人老师朋友。

因此你们时刻在努力学习，而在各学科中数学是最能体现一个人的思维能力，判断能力、反应敏捷能力和聪明程度的学科。

而且数学的分数易得也易失，相差很大，直接影响着是否考上理想的大学和自己的人生之路。

良好的数学修养将为人的一生可持续发展奠定基础。

和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，因此不少同学进入高中之后很不适应。

面对新的教材、新的教学要求,有些在初中时学得蛮不错的学生处理不当，出现听不懂、学不会的现象,导致成绩下滑，甚至出现不及格,栽在了数学上。

我想造成这一结果的主要原因是这些同学不了解高中数学的特点，学不得法，从而造成成绩滑波。

以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。

一、如何学好数学？
我们只有会学习才能学好。

要讲究科学的学习方法，提高学习效率，变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。

一个好的习惯真的可以改变一个人的命运。

良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

（1）制定计划明确学习目的。

计划要切合自己的实际，有长期目标也有短期目标，关键是落实。

（2）课前预习是取得较好学习效果的基础。

课前预习不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。

预习不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

（3）上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。

“学然后知不足”，上课更能专心听重点难点，把老师补充的内容记录下来，而不是全抄全录，顾此失彼。

（4）及时复习是提高效率学习的重要一环。

根据遗忘曲线，我们要想真正“会用”数学知识解决问题，必须复习。

复习分：当天复习和阶段性复习。

复习的方式很多，比如回忆式复习、新旧对比式复习、整理笔记式等等。

（5）独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。

有些同学做作业一上来就和别人讨论，这不是个好习惯，当各自的想法都成熟以后再和其他同学交流，由一种想法变成两种来拓宽你们的思路。

（6）解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。

解决疑难一定要有锲而不舍的精神。

做错的作业再做一遍。

对错误的地方没弄清楚要反复思考。

实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识由“熟”到“活”。

（7）系统小结小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。

经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。

（8）课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。

课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展我们的兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。

二、如何记笔记？
（1）记内容提纲老师讲课大多有提纲，并且讲课时老师会将一堂课的线索脉络、重点难点等,简明清晰地呈现在黑板上,同时,教师会使之富有条理性和直观性.记下这些内容提纲,便于课后复习回顾,整体把握知识框架,对所学知识做到胸有成竹,清晰完整
（2）记疑难问题将课堂上未听懂的问题及时记下来，便于课后请教同学或老师，把问题弄懂弄通。

教师在组织课堂教学时,受到时空的限制,不可能做到顾及每一位同学.相应的,一些问题对部分学生来说,是属于疑难问题,由于课堂上来不及思考成熟,记下疑难问题,可在课后继续加以思考和探究,加以理解和掌握,不致出现知识的断层、方法的缺陷.
（3）记思路方法对老师在课堂上介绍的解题方法和分析思路也应及时记下.课后加以消化,若有疑惑,先作独立分析,因为有可能是自己理解错误造成的，也有可能是老师讲课疏忽造成的，记下来后，便于课后及时与老师商榷和探讨。

勤记老师讲的解题技巧、思路及方法，这对于启迪思维，开阔视野，开发智力，培养能力，并对提高解题水平大有益处,在这基础上,若能主动钻研,另辟蹊径,则更难能可贵.
（4）记归纳总结注意记下老师的课后总结，这对于浓缩一堂课的内容，找出重点及各部分之间的联系，掌握基本概念、公式、定理，寻找规律，融会贯通课堂内容都很有作用。

同时,很多有经验的老师在课后小结时,一方面是承上归纳所学内容,另一方面又是启下布置预习任务或点明后面所要学的内容,做好笔记可以把握学习的主动权,提前作准备,做到目标任务明确.
（5）记体会感受数学学习是智、情、意、行的综合.数学学习过程伴随着积极的情感体验、意志体验过程.记下自己学习过程的感受,可以用来更好地调控自己的学习行为.譬如,一道运算很繁杂的习题,依靠坚强的意志获得解题成功后,可在旁边写上“功夫不负有心人”等自勉的语句,用来激励自己. （6）记错误反思学习过程中不可避免地会犯这样或那样的错误,“聪明人不犯或少犯相同的错误”,记下自己所犯的错误,并用红笔醒目地加以标注,以警示自己,同时也应注明错误成因,正确思路及方法,在反思中成熟,在反思中提高.
俗话说“好记性不如烂笔头”.坚持做好数学笔记,对于学好数学将会大有裨益。

三、如何做作业？
（1）先复习再做作业——不打无准备之仗
部分同学做作业前没有复习的习惯，认为只要会做就行了。

这种认识有一定的片面性。

其实，做作业的目的一是巩固所学知识，二是应用所学知识解决新问题，培养创新能力。

作业前的复习不是把书浏览一遍，而是要抓住所学内容的重点和难点，深刻领会数学思想方法，对某些问题深入思考，以求透彻理解和灵活运用。

在此过程中，就能把定义、定理、公式在理解的基础上都记住，掌握基本思想方法和技能技巧，有时还会有自己的创新解法。

解题要一气呵成，不要在作业时一会由于思路不通翻书看书或看笔记(遇到较难问题时也未尝不可)，一会由于记不住公式翻书看公式。

应该特别指出的是，公式一定要在当天或作业后的一段时间内记住，否则等到学习后续知识就再也记不住了。

为此，有同学“发明”一种方法，把公式抄在特制的纸片或袖珍本子上，以便平时使用。

考试怎么办？又有一种既不要作弊又能用公式的“办法”：考前突击背，到考场时赶快把公式写到草稿纸上。

其实，这样记住的公式只会正向使用，需要逆向使用或需要变形时大多不熟练的，只能望公式兴叹了。

（2）摸着石头过河——有想法就写出来做作业难免要遇到问题，怎么克服对你是一个考验——不仅是智力的考验，还是毅力和方法的考验。

遇到一时解不出的问题，要边思考、边试探着做。

形象的说法就是“摸着石头过河，边走边试探”。

这也说明一个道理：当你遇到问题，在你没有尝试解决之前，你若把困难看得太大，看得太复杂，没有良好的心态，就失去解决困难的勇气，以致于被眼前的困难吓倒。

只有具备良好心态，树立必胜信念，敢于藐视困难，才能努力找出解决问题方法。

（3）书写简洁明了——过繁过简都不当有些同学只重结果不重过程，有时候即使答案是对的，但过程不完整，要扣分；另外有些同学则解答务求完整，但不得要领，书写主次不分，过于繁琐。

这要求在学习时能区分重点，掌握主次，抓住要领即可。

解答题的书写要言简意赅，在得到正确答案的前提下，表达既要简明扼要又要步步有据。

（4）注重独立思考——行成于思毁于随做作业贵在独立思考。

不经过认真思考获得的知识是不扎实的，“懂得快，忘得也快”。

要认真思考，反复研究不会做的题目，可以变换角度去思考、尝试，设法沟通已知与未知的联系。

实在解不出要和同学讨论或问老师，直到把它彻底解决。

千万不要抄作业，这样一是自己把问题掩盖过去，二是给老师发出错误信息，认为同学们掌握了，就不评讲了。

对一时做
不出的题目，就空在那儿，老师就会评讲。

经过独立思考获得的知识在头脑中印象深刻，理解透彻，能形成长久记忆，长期这样坚持下去，就能打好基础，形成能力。

同时还培养了克服困难的勇气，学会在逆境中找出解决问题的方法，这是数学在育人方面的作用。

抄作业不仅在学业上没有长进，更重要的是助长了弄虚作假的歪风，千万使不得。

有些难度较大的作业不一定适合每一位同学，应该区别对待。

因为高中数学比较抽象，有些同学却善于形象思维，一刀切是不现实的，也是没有必要的，重要的是自己努力了，也得到相应的回报，一份耕耘一份收获足也。

四、试卷点评后要做什么？
一份测试题能探测我们对知识的掌握情况，但更重要的作用是我们从这张试卷上得到收益。

当老师把试卷评讲之后，我们如何去吸收试卷给我们的功效呢？
(1) 我们先对试卷各题进行分类
答对的题、会做但没得分的题、不会做的题。

对于“会做但没得分的题”要分析原因，是因为马虎,演算错误,或是书写格式不正确，要从中吸取教训（这个教训是惨重的，令人惋惜！）。

对于“不会做的题”也要分析原因，是因为知识点不懂而不会做,或是方法技巧不知而不会，通过老师评讲，使我们进一步巩固相关知识点或学会相关题型的解法与技巧。

(2)要做好笔记。

把本试卷中比较有特色的题目记下来，或反映一个知识点的特殊用法，或反映某种题型的解法，或反映一个绝妙的技巧。

记录的过程也是你对知识的消化与吸收过程。

也便于以后复习巩固。

(3)还要使我们的思维再上一个台阶——改编试题。

你对于试卷中比较得心应手的题目，可以试着改变它。

改编试题可有下列方法：
①把已知条件改变或减弱，看结论有什么变化，解法有什么变化；
②改变结论的问法。

如：把一个确定的结论改造成一个开放性或探索性的结论；
③把某个已知条件用另一种知识体系给出，从而增加不同知识间的综合程度；
④把结论做已知，求解某个已知条件。

即由“执因索果”改编成“执果索因”；
⑤把一个特殊的定性问题，推广到一般性问题。

五、如何看课外数学书籍？
学习数学，除了课堂上认真听讲之外，还应注意课外读书。

那么选了课外书籍后又怎样阅读呢？我认为应分如下四步进行：
（1）浏览先看扉页上的书名、作者，然后看内容提要、目录、或编者的话、结语等，以求对全书内容作大致的了解。

（2）精读至少要读两遍，第一遍是从头到尾逐字逐句地读，对全书内容形成一个完整的印象；第二遍，对书中特别精彩的部分反复阅读、理解，要懂得书中的基本概念，懂得每一章节的内涵，理解书中的名词、术语、重要公式、定理的概念；要搞清知识内容的来龙去脉及前后知识的逻辑联系，使之连贯一气，成为体系；还要对原书内容加以深化和再创造，使死的知识变为活的动力，当书本的主人，不当书本的奴隶，最好还能读出书中没有的东西，从明见暗，从是见非，从含蓄中见真情，从理解思索中找规律、找发现。

（3）摘抄注意将书中精彩的部分、有用的知识，摘抄在自己的读书笔记本上，这样做，一是积累知识、资料，对今后的学习以至研究大有益处；二可加深记忆，使读过的书不易记忆；三为使用方便，以后只要翻看读书笔记，就能清晰地回想起书中的主要精神实质。

（4）交流如果几个同学都读同一本书，建议读完后集中起来，畅所欲言，交流心得体会、意见、收获、思想认识，通过取长补短，互相促进。

交流认识，就等于又把书的内容重新温习了一遍，这对进
一步加深对书中重点内容的记忆、理解将大有裨益。

最后要强调的是兴趣和信心是学好数学的最好的老师。

这里说的兴趣没有将来去研究数学，做数学家的意思，而主要指的是不反感，不要当做负担。

伟大的动力产生于伟大的理想。

只要明白学习数学的重要，你就会有无穷的力量，并逐步对数学感到兴趣。

有了一定的兴趣，随之信心就会增强，也就不会因为某次考试的成绩不理想而泄气，在不断总结经验和教训的过程中，你的信心就会不断地增强，你也就会越来越认识到兴趣和信心是你学习中的最好的老师。

推荐一本书《怎样解题》作者波利亚另附波利亚的“怎样解题表”
波利亚的怎样解题表
１乔治·波利亚
乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．
作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200
多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．
作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》
(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．
２怎样解题表
波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．
“怎样解题”表的呈现
弄清问题
第一，你必须弄清问题
未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?
画张图，引入适当的符号．
把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?
拟定计划
第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．
你应该最终得出一个求解的计划
你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?
你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?
看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．
你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?
你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?
回到定义去．
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?
你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?
实现计划
第三，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤．
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
回顾
第四，验算所得到的解．你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子
看出它来?
你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?
下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生．“怎样解题”表的实践
例1给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)
第一，弄清问题．
问题1．你要求解的是什么?
要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1)．
问题2．你有些什么?
一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验．把已知的三个量添到图示处(图2)，就得到新添的三个点a、b、h；它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来．
第二，拟定计划．
问题3．怎样才能求得F?
由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积Ｆ＝Ｂ－Ａ．①
我们在图示上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间的联系(图3，即①式的几何图示)．这就把求F转化为求A、B．
图3
问题4．怎样才能求得A与B?
依据棱锥的体积公式(V＝1
3
Ｓｈ)，底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的
高．并且，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高也就求出，为ｘ＋ｈ．
我们在图示上引进一个新的点x，用斜线把A与x、ａ连结起来，表示A能由a、ｘ得出，A＝1
3
ａ
2ｘ；类似地，用斜线把B与b、ｈ、ｘ连结起来，表示B可由ｂ、ｈ、ｘ得出，Ｂ＝1
3
ｂ2（ｘ＋ｈ）
(图4)，这就把求A、B转化为求x．
图4
问题5．怎样才能求得x？
为了使未知数x与已知数a、ｂ、ｈ联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点(图5中，点Q)的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来(转化为平面几何问题)，由△ＶＰＯ1∽△ＶＱＯ2得
图5
x a x h b
=+ ② 这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解方程②，便可由a 、b 、h 表示x,在图示中便可用斜线将x 与ａ、ｂ、h 连结起来．至此，我们已在F 与已知数a 、b 、h 之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．
第三，实现计划．
作辅助线(过程略)如图5，由相似三角形的性质，得x a x h b =+，解得x=ah b a
-． 进而得两锥体的体积为Ａ＝13ａ2x ＝13·3a h b a
-， Ｂ＝13ｂ2（ｘ＋ｈ）＝13·3b h b a
-， 得棱台体积为
Ｆ＝Ｂ－Ａ＝13·33()b a h b a --＝13
（a 2＋ab ＋b 2）h ． ③ 第四，回顾．
(1)正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的．再作特殊性检验，令ａ→０，由③可得正四棱锥体的体积公式；令ａ→ｂ，由③可得正四棱柱体的体积公式．这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆．
(2)回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息(如图1所示，有棱台，a 、b 、h 、F 共5条信息)，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息)，并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合．这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)．由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式．
(3)在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件．为
了求F，我们只需求A、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知，化归)；为了求A、B，我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单，降维)；为了求x，我们只需建立关于x 的方程(由几何到代数的转化——数形结合)；最后，解方程求x，解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上(图1)，形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5)，书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述．这个过程显示了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”．
(4)在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用．首先是一般性解决(策略水平上的解决)，把F转化为A，B的求解（Ｆ＝Ａ－Ｂ），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决(方法水平的解决)，发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决(技能水平的解决)，比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成．
(5)在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1～图5)，……直到条件与结论之间的网络沟通．这种“扩散——激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释．
(6)在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用．首先把棱台补充(组合)为棱锥，然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥)，它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁．这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科．。