2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷(二)(解析版)

2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试
题卷（二）
一、单选题
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，
则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为
1
2(24)2122
⨯+⨯⨯
=，故选B.
点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.
2．若集合{}|13A x x =-≤≤，{}|2B x x =>，则A B =I （ ）
A ．{}1|2x x -≤≤
B ．{}|12x x -≤<
C ．{}|23x x <≤
D ．{}|23x x ≤≤
【答案】C
【解析】根据集合的交集运算法则即可求解. 【详解】
由题：集合{}|13A x x =-≤≤，{}|2B x x =>， 则A B =I {}|23x x <≤. 故选：C 【点睛】
此题考查集合的运算，求两个集合的交集，关键在于根据题意准确求解，易错点在于端点没有考虑清楚. 3．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 【答案】D
【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；
∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上不单调，
故D 错误． 故选D.
4．如图所示的程序框图运行后输出结果为
1
2
，则输入的x 值为（ ）
A ．-1
B 2
C ．
12
D ．-12 【答案】D
【解析】根据程序框图的所表达的意思，将框图改写成分段函数即可得解. 【详解】
由题：框图的作用即函数：
1
221log ,04
1,42,0x x x y x x x ⎧
<<⎪⎪⎪=≥⎨⎪
⎪≤⎪⎩
，
当104x <<时，12log x 2>，不可能为12
，
当14x ≥
时，2
12x =得x =22
， 当0x ≤时，122x
=得1x =-，所以输入值为-1或
2
2
. 故选：D 【点睛】
此题考查根据程序框图的输出值求输入值，关键在于准确读懂程序框图，转化成分段函数根据函数值求自变量的取值.
5．已知()3,4a =v ，()2,1b =-v 且()()a xb a b +⊥-v v
v v ，则x 等于 （ ）
A ．23
B ．
232
C ．
233
D ．
234
【答案】C
【解析】()()()()3,4,2,1,32,4,1,5a b a xb x x a b ==-∴+=+--=v v v
v Q v v ，又()()()()
,0a xb a b a xb a b +⊥-∴+⋅-=v v v v
v v v v Q ，即322050x x ++-=，解得233
x =，
故选C. 6．已知12cos ,(0,)132παα=
∈，则cos()4
π
α+= （ ）
A ．
B C D 【答案】D
【解析】∵12cos ,0,132παα⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，∴5sin 13α==，
∴125cos cos cos sin sin 44413213226
πππααα⎛
⎫
-
=+=⨯+⨯= ⎪
⎝
⎭，故选D. 点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题；由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解. 7．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-， 则它的公差为 （ ） A ．2 B ．3
C ．2-
D ．3-
【答案】C
【解析】试题分析：由32n a n =-可得12321,3221a a =-==-⨯=-，所以公差
21112d a a =-=--=-．故C 正确．
【考点】等差数列的定义．
8．直线1y x =--的倾斜角为（ ）
A ．6
π B ．
4π C ．
2
π D ．
34
π 【答案】D
【解析】根据直线方程得出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可得到倾斜角. 【详解】
由题：直线1y x =--的斜率为-1，即倾斜角的正切值，
所以其倾斜角为34
π. 故选：D 【点睛】
此题考查根据直线方程求直线的倾斜角，关键在于准确识别斜率，根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.
9．函数()2log 1y x =+的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】函数()2log 1y x =+的图象是由函数2log y x =的图象向左平移了一个单位得到的，由此可得结论． 【详解】
函数()2log 1y x =+的图象是由函数2log y x =的的图象向左平移了一个单位得到的，
定义域为()-1+∞，
， 过定点()00，
，在()-1+∞，上是增函数， 故选C 【点睛】
本题主要考查对数函数的图象与性质，函数图象的平移变换，属于基础题 10．已知53cos(
)25πα+=，02
π
α-<<，则sin 2α的值是（ ）
A ．
2425
B ．
1225
C ．1225
-
D ．2425
-
【答案】D
【解析】由已知，sinα＝－
35，又02πα-<<，故cosα＝45
∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（－35）×4
5＝－
2425
【考点】三角函数恒等变形，诱导公式，同角关系式，二倍角公式
二、填空题
11．过点（1，2）且与直线2x ﹣y ﹣1=0平行的直线方程为 ． 【答案】2x ﹣y=0
【解析】解：设过点（1，2）且与直线2x ﹣y ﹣1=0平行的直线方程为2x ﹣y+c=0， 把点（1，2）代入，得2﹣2+c=0， 解得c=0．
∴所求直线方程为：2x ﹣y=0． 故答案为2x ﹣y=0．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
12．已知0a >，0b >，1a b +=，则ab 的最大值是______. 【答案】
14
【解析】根据基本不等式2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
即可求得最大值.
【详解】
由题：0a >，0b >，1a b +=，由基本不等式：2
124a b ab +⎛⎫≤=
⎪⎝⎭，
当1
2
a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值是1
4
.
故答案为：1
4
【点睛】
此题考查根据基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的应用，求最值需要考虑等号成立的条件.
13．求满足28
2144x x -⎛⎫> ⎪⎝⎭
的x 的取值集合是______.
【答案】()4,2-
【解析】将不等式化为2
8
244x x -+>，解2
82x x -+>即可得解.
【详解】 由题：28
2144x x -⎛⎫> ⎪
⎝⎭
即2
8
244x
x -+>，
所以282x x -+>，2280x x +-<， 所以()()420x x +-<解得：()4,2x ∈-. 故答案为：()4,2- 【点睛】
此题考查求解指数型不等式，关键在于根据指数函数单调性求解，转化为解一元二次不等式.
14．圆2222140x y x y +++-=上的点到直线3420x y --=的距离最大值是 . 【答案】
215
【解析】试题分析：由题可知圆的标准方程为()()2
2
1116x y +++=,即圆心为()1,1--,半径为4r =.那么圆心到直线3420x y --=的距离
1
45
d =
=
<,直线与圆相交,则圆上的点到直线3420x y --=的距离最大值是12155r +
=.故本题应填215
. 【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离；3.数形结合.
【思路解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离及数形结合的数学思想方法.本题的关键在于判断直线与圆的位置关系,判断直线与圆的位置关系一般有两种方法（1）几何法:利用圆心到到直线 的距离d 以及圆的半径r 的大小关系来判定,d r >相离,d r =相切,0d r <<相交；（2）代数法,将直线与圆的方程联立,利用得到的一元二次方程的V 判断.由于代数法运算较烦琐,一般使用几何法,如本题解析. 15．函数()3sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.
①图象C 关于直线1112
π
=
x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C . 【答案】①②③
【解析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】
由题：()3sin 23x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，令2,3
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，5,122
k x k Z ππ=
+∈， 当1k =时，1112
π
=
x 即函数的一条对称轴，所以①正确； 令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ
=+∈，当1k =时，23
x π=，
所以2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的一个对称中心，所以②正确； 当5,1212x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
内是增函数，所以
③正确；
3sin 2y x =的图象向右平移
3
π
个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭不相等，所以④错误.
故答案为：①②③ 【点睛】
此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.
三、解答题
16．已知数列{}n a ，()
*1,7
1,7
n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨
->⎩.
（1）判断数列{}n a 是否为等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和为n S .
【答案】（1）数列{}n a 不是等差数列.（2）见解析
【解析】（1）检验211a a -=，87781a a -=-=-，根据定义即可判定其不为等差数列；
（2）分段讨论求数列的前n 项和为n S . 【详解】
解：（1）因为211a a -=，87781a a -=-=-，所以数列{}n a 不是等差数列.
（2）①当7n ≤时，()21321222
n n n n n S n -=+⨯=+.
②当7n >时，()()()()7717635352
2
n n n n n S -+-⎡⎤-+⎣⎦
=+
=+
2142
n n
-=+.
所以当7n ≤时，2322n n n S =+，当7n >时，n S 2142
n n
-=+.
【点睛】
此题考查等差数列概念的辨析和数列求和，涉及分组求和，分段讨论，需要熟练掌握等差数列的求和公式.
17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =.设AB 的中点D ，
11B C BC E =I .求证：
（1）DE P 平面11AAC C ； （2）11BC AB ⊥.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E 为中点，利用中位
线即可证明；（2）只需证明1BC ⊥平面1B AC 即可，显然可证111B C B C AC B C ⊥⊥，，因此原命题得证. 试题解析：
⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，
1CC Q ⊥平面111A B C ，且1BC CC = ∴矩形11BB C C 是正方形，
E ∴为1B C 的中点，
又D 为1AB 的中点， //DE AC ∴，
又DE Q ⊄平面11AA CC ， AC ⊂平面11AA CC ，
//DE ∴平面11AA CC
⑵在直三棱柱111ABC A B C -中，
1CC Q ⊥平面ABC , AC ⊂平面ABC ,1AC CC ∴⊥
又AC BC ⊥Q ， 1CC ⊂平面11BCC B ， BC ⊂平面11BCC B ， 1BC CC C ⋂=，
AC ∴⊥平面11BCC B ，
1BC Q ⊂平面11BCC B ， 1AC B C ∴⊥ Q 矩形11BCC B 是正方形， 11BC B C ∴⊥，
1,AC B C Q ⊂平面1B AC ， 1C C C A ⋂B =， 1BC ∴⊥平面1B AC
又1AB ⊂Q 平面1B AC ， 11BC AB ∴⊥.
点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.
18．某城市的甲区、乙区分别对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.
（1）根据茎叶图，分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值；
（2）规定85分以上（含85分）为优秀企业，若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取一个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率. 【答案】（1）88，87（2）
1
2
【解析】（1）根据平均数的公式求解平均数；
（2）列举出所有基本事件，得出基本事件总数和两个企业得分的差的绝对值不超过5分包含的基本事件个数即可得解. 【详解】 解：（1）x 甲798488899395
886
+++++=
=，
x 乙788384869596
876
+++++=
=. （2）甲区优秀企业得分为88，89，93，95，乙区优秀企业得分为86，95，96.从两个区选一个优秀企业，所有基本事件为()88,86，()88,95，()88,96，()89,86，()89,95，
()89,96，()93,86，()93,95，()93,96，()95,86，()95,95，()95,96，共12个.
其中得分的绝对值的差不超过5分的有()88,86，()89,86，()93,95，()93,96，
()95,95，()95,96，共6个.
故这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率61
122
P ==. 【点睛】
此题考查求平均数和古典概型，关键在于准确计算，准确写出基本事件，求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
19．设函数()()2
1f x x bx b R =-+∈，()()(),0
,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨->⎪⎩
.
（1）如果()10f =，求()F x 的解析式；
（2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）()2221,0
21,0x x x F x x x x ⎧-+>=⎨-+-<⎩
（2）(][),22,k ∈-∞-+∞U
【解析】（1）根据()10f =，代入可得2b =即可写出()F x 的解析式；
（2）根据函数的奇偶性求出0b =，()()g x f x kx =-有零点即方程210x kx +-=有实数根240k ∆=-≥即可得解. 【详解】
解：（1）因为()10f =，所以110b -+=，即2b =.
所以()22
21,0
21,0
x x x F x x x x ⎧-+>=⎨-+-<⎩. （2）因为()2
1f x x bx =-+为偶函数，所以0b =，即()2
1f x x =+.
因为()()g x f x kx =-有零点，所以方程210x kx +-=有实数根. 所以240k ∆=-≥， 所以(][),22,k ∈-∞-+∞U . 【点睛】
此题考查根据函数取值求参数的取值，根据函数的奇偶性求参数的取值，根据函数的零点求解参数的取值范围.
20．某小组共有A B C D E 、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2） 如下表所示：
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在
[)18.5,23.9中的概率.
【答案】(Ⅰ)
12(Ⅱ)3
10
【解析】试题分析：列举法求试验的基本事件个数．（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，共有6种不同的结果，而两人身高在1．78以下的有3种不同的结果，然后由古典概型的概率计算求解即可；（2）从该小组同学中任选2人共有10种不同的结果，
选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有有3种结果，由古典概型的概率计算得其概率为．
试题解析：（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），
（B，C），（B，D），（C，D），共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1．78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C），共3个，因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为；
从该小组同学中任选2人其一切可能的结果的基本事件：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的
选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有：（C，D），（C，E），（D，E）共3个．
因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的概率为．【考点】古典概型的概率计算．。