考点跟踪突破3因式分解
2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—因式分解(含答案)
因式分解定义：把一个整式写成几个整式乘积的形式，称为因式分解。
在因式分解中，通常要求每个因式都是既约多项式（不可约多项式），这样的因式称为质因式。
因式分解常用的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，待定系数法等。
◆一、提公因式法：◆二、公式法①平方差公式：②完全平方和公式：③完全平方差公式：④立方和公式：⑤立方差公式：⑥完全立方和公式：⑦完全立方差公式：⑧三项平方和公式：⑨三项立方公式：◆三、分组分解法有一些整式（如：）既没有公因式可提，也不能运用公式直接分解，这样的式子需要采用分组分解法。
（一）分组后能直接提公因式)(c b a m mc mb ma ++=++))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-))((2233b ab a b a b a +-+=+))((2233b ab a b a b a ++-=-33223)(33b a b ab b a a +=+++33223)(33b a b ab b a a -=-+-2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++bn bm an am +++例1、分解因式：解：原式== =例2、分解因式：解：原式== =（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：解：原式== =例4、分解因式：解：原式== = 【举一反三】bnbm an am +++)()(bn bm an am +++)()(n m b n m a +++))((b a n m ++bxby ay ax -+-5102)5()102(bx by ay ax -+-)5()5(2y x b y x a ---)2)(5(b a y x --ayax y x ++-22)()(22ay ax y x ++-)())((y x a y x y x ++-+))((a y x y x +-+2222c b ab a -+-222)2(c b ab a -+-22)(c b a --))((c b a c b a --+-1、2、3、4、5、6、7、3223yxyyxx--+baaxbxbxax-+-+-22181696222-+-++aayxyxabbaba4912622-++-92234-+-aaaybxbyaxa222244+--222yyzxzxyx++--8、9、10、11、12、◆四、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。
2022~2023学年中考数学一轮复习专题03因式分解附解析
2022~2023学年中考数学一轮复习专题03因式分解附解析一、单选题1．（2022·济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2−x−1=x(x−1)−1B．x2−1=(x−1)2C．x2−x−6=(x−3)(x+2)D．x(x−1)=x2−x2．（2022八下·光明期末）下列由左边到右边的变形是因式分解的是（）A．(a+3)(a−3)=a2−9B．a2−b2+1=(a+b)(a−b)+1C．a2+b2=(a+b)2D．4a2−9=(2a+3)(2a−3) 3．（2020·柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A．a2﹣b2B．﹣a2﹣b2C．a2+b2D．a2+2ab+b2 4．（2022七下·合肥期末）下列分解因式正确的是()A．x2−3x+1=x(x−3)+1B．x2−2x+1=x(x−2+1x)C．(m+n)2=m2+2mn+n2D．−a3+a=−a(a+1)(a−l) 5．（2022·台湾）多项式39x2+5x−14可因式分解成(3x+a)(bx+c)，其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．-12B．-3C．3D．126．（2022七上·长沙开学考）已知多项式2x3−x2+m分解因式后有一个因式是x+1，则m的值为（）A．3B．-3C．1D．-17．（2022八下·长安期末）我们知道6−√2的小数部分b为2−√2，如果用a代表它的整数部分，那么ab2−a2b的值是（）A．8B．－8C．4D．－4二、填空题8．（2022·益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．9．（2022·绵阳）因式分解：3x3−12xy2=．10．（2022·内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝.11．（2022·赤峰）分解因式：2x3+4x2+2x=．12．（2022·绥化）因式分解：(m+n)2−6(m+n)+9=．13．（2022·怀化）因式分解：x2−x4=.14．（2022·乐山）已知m2+n2+10=6m−2n，则m−n=.三、综合题15．（2022八上·莱西期中）某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：小亮：m2−mn+2m−2n=(m2−mn)+(2m−2n)=m(m−n)+2(m−n)=(m−n)(m+2)小颖：4x2−y2−z2+2yz=4x2−(y2+z2−2yz)=2x2−(y−z)2=(2x+y−z)(2x−y+z)．请你在他们解法的启发下，解决下面问题；（1）因式分解a3−3a2−9a+27；（2）因式分解x2−4xy+4y2−16；（3）已知a，b，c是ΔABC的三边，且满足a2−ab+c2=2ac−bc，判断ΔABC的形状并说明理由．16．（2022·六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b=10，a−b=5，求A比B多出的使用面积．17．如图，将一张矩形纸板按照图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m>n，(以上长度单位：cm)（1）观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．18．（2022·西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a−3ab−4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=(2a−3ab)−(4−6b)=a(2−3b)−2(2−3b)=(2−3b)(a−2)解法二：原式=(2a−4)−(3ab−6b)=2(a−2)−3b(a−2)=(a−2)(2−3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）（1）【类比】请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；（2）【挑战】请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；（3）【应用】“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值．19．（2022八上·莱西期中）［阅读材料]下面是某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程．设x2−4x=y原式=(y+2)(y+6)+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=(y+4)2（第三步）=(x2−4x+4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否符合题意？若不符合题意，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(a2−2a)(a2−2a+2)+1进行因式分解．20．（2022八下·枣庄期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3（1）上述分解因式的方法是．（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+⋯+x(x+1)2021，则结果是．（3）依照上述方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+⋯+x(x+1)n（n为正整数）．21．（2022八上·永春期中）先阅读下面的内容，再解决问题．如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．如：①因为36=4×9，所以4和9是36的因数；因为x2−x−2=(x+1)(x−2)，所以x+1和x−2是x2−x−2的因式．②若x+1是x2+ax−2的因式，则求常数a的值的过程如下：解：∵x+1是x2+ax−2的因式，∴存在一个整式(mx+n)，使得x2+ax−2=(x+1)(mx+n)，∵当x=−1时，(x+1)(mx+n)=0，∴当x=−1时，x2+ax−2=0，∴1−a−2=0，∴a=−1．（1）若x+5是整式x2+mx−10的一个因式，则m=．（2）若整式x2−1是3x4−ax2+bx+1的因式，求√a+2017b的值．22．（2021八上·密山期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b223．如图1，有若干张边长为α的小正方形①，长为b、宽为α的长方形②以及边长为b的大正方形3的纸片.（1）已知小正方形1与大正方形3的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形2的面积；（2）如果现有小正方形①2张，大正方形31张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形(在图2虚线框内画出图形)，并运用面积之间的关系，将多项式2a2+3ab+b2分解因式.24．（2021八上·长春期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a>b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C、符合因式分解的形式，符合题意；D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故答案为：C．【分析】利用因式分解法的定义对每个选项一一判断即可。
陕西省中考数学 考点跟踪突破3 分式-人教版初中九年级全册数学试题
分式一、选择题1．要使分式x 2－9x －3有意义，则x 的取值X 围是( A ) A ．x ≠3 B ．x ≠－3C ．x ≠±3D ．无法确定2．(2016·创新题)要使分式x 2－x －2x －2的值为零，则x 的值为( B ) A ．0 B ．－1C ．2D ．13.(2015·某某)下列等式成立的是( C )A .1a ＋2b ＝3a ＋b B .22a ＋b ＝1a ＋b C .ab ab －b 2＝a a －b D .a －a ＋b ＝－a a ＋b4．如果把分式中x 和y 都扩大10倍，那么分式x ＋5y 2x的值( D ) A ．扩大10倍 B ．缩小10倍C ．扩大2倍D ．不变5.(2015·某某)化简a 2＋2ab ＋b 2a 2－b 2－b a －b 的结果是( A ) A .a a －b B .b a －b C .a a ＋b D .b a ＋b6．(2016·创新题)若a ＝2b≠0，则a 2－b 2a 2－ab的值为( C ) A ．－32B .12C .32D .34二、填空题7．(2015·某某)要使分式1x －1有意义，则字母x 的取值X 围是__x ≠1__． 8．请写出最简公分母是6a(a ＋1)的两个分式：__12a ，13（a ＋1）__．9．化简：(1＋1x －1)·1x ＝__1x －1__． 10．(2015·黄冈)计算b a 2－b 2÷(1－a a ＋b )的结果是__1a －b __. 三、解答题11.化简：(a 2＋3a)÷a 2－9a －3. 解：a12．(2016·创新题)已知：2x －6＝0，求(1x －1－1x ＋1)÷x ＋2x 2－1的值． 解：2513．(2015·某某)先化简，再求值：3a －3a ÷a 2－2a ＋1a 2－a a －1，其中a ＝2. 解：414．(2015·某某)先化简，再求值：x 2x 2＋4x ＋4÷x x ＋2－x －1x ＋2，其中x ＝2－1. 解：2－115．(2015·某某)先化简，再求值：x ＋22x 2－4x ÷(x－2＋8x x －2)，其中x ＝2－1. 解：1216．(2015·某某)先化简(2x ＋2＋x ＋5x 2＋4x ＋4)×x ＋2x 2＋3x，然后选择一个你喜欢的数代入求值．解：答案不唯一，当x＝1时，原式＝1。
专题03 因式分解-湖北省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)
专题03 因式分解一、填空题1．（2021·湖北中考真题）分解因式：4255x x -=________．【答案】25(1)(1)x x x +-【分析】先提取公因式25x ，再利用平方差公式进行因式分解即可得．【详解】解：原式225(1)x x -=，25(1)(1)x x x +=-，故答案为：25(1)(1)x x x +-．【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 2．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分解因式：2a ax -=__________．【答案】()()11a x x +-【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：()()()22111a ax a x a x x -=-=+-； 故答案为()()11a x x +-．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________．【答案】36【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∵2,33xy x y =-=，∵原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=，故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．4．（2021·湖北黄石市·中考真题）分解因式：322a a a -+=______．【答案】()21a a -．【分析】观察所给多项式有公因式a ，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式()221a a a =-+， ()21a a =-，故答案为：()21a a -．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止．5．（2020·湖北黄石市·中考真题）因式分解：33m n mn -=_______．【答案】()()mn m n m n +-【分析】根据因式分解的方法，分别使用提公因式法和公式法即可求解．【详解】根据因式分解的方法，先提取公因式得()22mn m n -，再利用公式法得()()mn m n m n +-． 故答案为：()()mn m n m n +-．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．6．（2020·湖北咸宁市·中考真题）因式分解：22mx mx m -+=__________．【答案】m （x -1）2【分析】先提取公因式m ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】22mx mx m -+()221m x x =-+()21m x =-故答案为：()21m x -．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键．7．（2020·湖北鄂州市·中考真题）因式分解：221218x x -+=___________________．【答案】22(3)x -【分析】先提取公因式2，再根据完全平方公式分解因式即可得到结果.【详解】原式22(69)x x =-+22(3)x =-．考点：本题考查的是因式分解点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±8．（2019·湖北鄂州市·中考真题）因式分解：244ax ax a -+=______．【答案】()221a x -【分析】原式提取a ，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式()()2244121a x x a x =-+=-， 故答案为()221a x -.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．（2019·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）因式分解：334-=a b ab ____.【答案】()()2121ab ab ab +-【分析】先提取公因式ab ，再利用平方差公式分解即可得答案.【详解】4a 3b 3-ab=ab(a 2b 2-1)=ab(ab+1)(ab -1)故答案为ab(ab+1)(ab -1)【点睛】本题考查了因式分解，因式分解的方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，根据题目的特点，灵活运用适当的方法是解题关键.10．（2019·湖北咸宁市·中考真题）若整式22x my +（m 为常数，且0m ≠）能在有理数范围内分解因式，则m 的值可以是_____（写一个即可）．【答案】-1【分析】令1m =-，使其能利用平方差公式分解即可．【详解】令1m =-，整式为22)x y x y x y +--（(=）．故答案为1-（答案不唯一）．【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11．（2019·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）分解因式：424x x -= ____．【答案】()()222xx x +-【解析】【分析】先提取公因式再利用平方差公式进行分解，即()()()422224422x x x x x x x -=-=+-；【详解】解：()()()422224422x x x x x x x -=-=+-； 故答案为()()2x22x x +-；【点睛】 本题考查因式分解；熟练运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．12．（2019·湖北黄石市·中考真题）分解因式：2224x y x -=_________________【答案】2(2)(2)x y y +-【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式=x 2（y 2-4）=x 2（y+2）（y -2），故答案为x 2（y+2）（y -2）【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（2019·湖北黄冈市·中考真题）分解因式3x 2﹣27y 2＝_____．【答案】()()333x y x y +-【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式()2239x y =-=()()333x y x y +-， 故答案为()()333x y x y +-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2019·湖北中考真题）分解因式：22a a +=_____．【答案】22(2)a a a a +=+【分析】直接提公因式法：观察原式22a a +，找到公因式a ，提出即可得出答案．【详解】22(2)a a a a +=+．【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．。
2024年中考数学一轮复习考点突破课件：因式分解
思考辨析 下列分解因式正确的是( ) A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y) C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) 答案：C
易错纠偏 易混易错点 1 用提公因式法分解因式时易漏项 1．分解因式：12a2b－24ab2＋6ab. [错解] 12a2b－24ab2＋6ab＝6ab(2a－4b)＝12ab(a－2b). [错因剖析] 此题中的公因式为 6ab，提公因式后，漏掉了为 1 的项，注意 用整式的乘法进行检验，就可避免此类错误． [正解] 12a2b－24ab2＋6ab＝6ab(2a－4b＋1).
提分技法
因式分解在求代数式值中的应用 (1)因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求 代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分 解将式子变形，然后再整体代入求值． (2)用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代 数式，也可以是其中的一部分．
提分特训 6．(2023·滁州二模)已知 x＋y＝2，xy＝－3，则 x2y＋xy2＝________． 答案：－6
7．已知 a＋b＝2，ab＝2，求12 a3b＋a2b2＋12 ab3 的值． 解：12 a3b＋a2b2＋12 ab3＝12 ab(a2＋2ab＋b2) ＝12 ab(a＋b)2. 因为 a＋b＝2，ab＝2， 所以原式＝12 ×2×22＝4.
A．(x－5)(x－14)
B．(x－2)(x－7)
C．(x－2)(x＋7)
D．(x＋2)(x－7)
答案：D
2．(2023·宿州一模)下列各式中，可以在有理数范围内进行因式分解的是
() A．x2＋2x－1
B．x2－2x＋3
专题04 因式分解篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结
知识回顾专题04因式分解2023年中考数学必考考点总结考点一：因式分解1.因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。
2.因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。
若多项式首项是负的，则公因式为负。
用各项除以公因式得到另一个式子。
②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22。
完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±③十字相乘法：利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。
对于一个二次三项式c bx ax ++2，若满足21a a a ⋅=，21c c c ⋅=，且b c a c a =+1221，那么二次三项式c bx ax ++2可以分解为：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++。
当1=a 时，二次三项式是c bx x ++2，此时只需21c c c ⋅=，且b c c =+21，则c bx x ++2可分解为：()()212c x c x c bx x ++=++。
④分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。
（分组分解法一般针对四项及以上的多项式）3.因式分解的具体步骤：（1）先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。
（2）观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。
四项及以上则考虑分组分解。
（3）检查因式分解是否分解完全。
必须分解到不能分解位置。
再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。
微专题1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．2．（2022•永州）下列因式分解正确的是（）A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B．3．（2022•湘西州）因式分解：m2+3m＝．【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式＝m（m+3）．故答案为：m（m+3）．4．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．5．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝．【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案．【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．故答案为：xy（x+y）．6．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．故选：A．7．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．8．（2022•烟台）把x2﹣4因式分解为．【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故答案为：（x+2）（x﹣2）．9．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝．【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．故答案为：（m+n﹣3）2．10．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝．【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×6＝24．故答案为：24．11．（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．12．（2022•济南）因式分解：a2+4a+4＝．【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（a+2）2，故答案为：（a+2）2．13．（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．14．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．15．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故选：A．16．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．17．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）＝2（a+1）2．故答案为：2（a+1）2．18．（2022•辽宁）分解因式：3x2y﹣3y＝．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：3x2y﹣3y＝3y（x2﹣1）＝3y（x+1）（x﹣1），故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．19．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，故答案为：a（a﹣3）2．20．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）＝2022（x﹣1）2．故答案为：2022（x﹣1）2．21．（2022•常德）分解因式：x3﹣9xy2＝．【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：x3﹣9xy2＝x（x2﹣9y2）＝x（x+3y）（x﹣3y），故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．22．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．23．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．12【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，∴a+2c＝2+2×（﹣7）＝2+（﹣14）＝﹣12，故选：A．24．（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝．【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．25．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为．【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10＝a2﹣（b﹣1）2+10＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．又∵a+b＝1，∴原式＝10．26．（2022•黔西南州）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是．【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），∵ab＝2，a+b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．。
整式运算及因式分解(3大考点)(解析版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)
专题02整式运算及因式分解（解析版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01代数式及其应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02整式及其运算-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6三、考点03因式分解----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20考点01代数式及其应用一、考点01代数式及其应用1．（2024·四川广安·中考真题）代数式3x -的意义可以是（）A ．3-与x 的和B ．3-与x 的差C ．3-与x 的积D ．3-与x 的商【答案】C【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据3x -中的运算关系解答即可．【详解】解：代数式3x -的意义可以是3-与x 的积．故选C ．2．（2023·湖南常德·中考真题）若2340a a +-=，则2263a a +-=()A ．5B ．1C ．1-D ．0【答案】A【分析】把2340a a +-=变形后整体代入求值即可．【详解】∵2340a a +-=，∴234+=a a ∴()222632332435a a a a +-=+-=⨯-=，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键．3．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111nn na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．24．（2023·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（）A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】A【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c -=，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根∴240b c ∆=-=∴()2221242022b c b c -+=--=-=-，故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．5．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为a ，则它的体积是（用含a 的代数式表示）．【答案】3πa 【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积⨯圆柱的高，可得23ππV a a a == ．故答案为：3πa ．【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．6．（2023·江苏·中考真题）若210a b +-=，则36a b +的值是．【答案】3【分析】根据已知得到2=1a b +，再代值求解即可．【详解】解：∵210a b +-=，∴2=1a b +，∴()36323a b a b +=+=，故答案为：3.【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想求解是解答的关键．7．（2024·山东济宁·中考真题）已知2210a b -+=，则241ba +的值是．8．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m 满足()()22202320242025m m -+-=，则()()20232024m m --=．【答案】1012-【分析】根据完全平方公式得()()2222[(2023)(2024)][(2023)(2024)]20232024m m m m m m -=-+---+--，再代值计算即可．【详解】解： ()()22202320242025m m -+-=()()2222[(2023)(2024)][(2023)(2024)]20232024m m m m m m ∴=-+--+----12025=-2024=-()()220232021041m m ∴=---故答案为：1012-．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+及其变式是解题本题的关键．9．（2024·江苏苏州·中考真题）若2a b =+，则()2b a -=．【答案】4【分析】本题考查了求代数式的值，把2a b =+整体代入化简计算即可．【详解】解：∵2a b =+，∴()2b a -()22b b ⎡⎤=-+⎣⎦()22b b =--()22=-4=，故答案为：4．10．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 为实数，且()240m +=，则()2m n +的值为．11．（2024·广东广州·中考真题）若2250a a --=，则2241a a -+=．【答案】11【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键．由2250a a --=，得225a a -=，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案．【详解】解：2250a a --= ，225a a ∴-=，()2224122125111a a a a ∴-+=-+=⨯+=，故答案为：11．12．（2024·四川广安·中考真题）若2230x x --=，则2241x x -+=．【答案】7【分析】本题考查了求代数式的值．对已知等式变形得到2246x x -=，再整体代入计算求解即可．【详解】解：∵2230x x --=，∴223x x -=，∴2246x x -=，∴2241617x x -+=+=，故答案为：7．13．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：5a ，28a ，311a ，414a ，⋯．则按此规律排列的第n 个单项式为．（用含有n 的代数式表示）【答案】()32nn a+【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．【详解】解：5a 系数为3125⨯+=，次数为1；28a 系数为3228⨯+=，次数为2；311a 系数为33211⨯+=，次数为3；414a 系数为34214⨯+=，次数为4；∴第n 个单项式的系数可表示为：32n +，字母a 的次数可表示为：n ，∴第n 个单项式为：()32nn a +．【点睛】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．14．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对1n 这n 个自然数中，任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究．发现：当2n =时，只有{}1,2一种取法，即1k =；当3n =时，有{}1,3和{}2,3两种取法，即2k =；当4n =时，可得4k =；……．若6n =，则k 的值为；若24n =，则k 的值为．【答案】9144【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n 为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n 值所对应k 值，找到变化规律求解即可．【详解】解：当2n =时，只有{}1,2一种取法，则1k =；15．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．考点02整式及其运算二、考点02整式及其运算16．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：22(1)2a a a --=（）A ．aB ．a-C ．2aD ．2a-【答案】D【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：22(1)2a a a --22222a a a =--2a=-故选：D ．17．（2024·贵州·中考真题）计算23a a +的结果正确的是（）A ．5aB ．6aC ．25a D ．26a 【答案】A【分析】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变即可得．【详解】解：235a a a +=，故选：A ．18．（2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，3ab 的同类项是（）A ．33ab B ．232a b C ．22a b -D ．3a b【答案】A【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可．【详解】解：A ．是同类项，此选项符合题意；B ．字母a 的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；C ．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；D ．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意．故选：A ．19．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式23m x y -与单项式422n x y -的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(),m n 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出,m n 的值，再确定点(),m n 的位置即可【详解】解：∵单项式23m x y -与单项式422n x y -的和仍是一个单项式，∴单项式23m x y -与单项式422n x y -是同类项，∴24,23m n =-=，解得，2,1m n ==-，∴点(),m n 在第四象限，故选：D20．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +【答案】D【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n +，则20,5,2,mz nz ny nx a ====，即4=m n ，可确定1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，由题意可判断A 、B 选项，根据题意可得运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，故可判断C 、D 选项．【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n +如图：则由题意得：20,5,2,mz nz ny nx a ====，∴4mznz=，即4=m n ，∴当2,1n y ==时， 2.5z =不是正整数，不符合题意，故舍；当1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，如图：，A 、“20”左边的数是248⨯=，故本选项不符合题意；、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；a 上面的数应为4a ，如图：∴运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，∴D 选项符合题意，当2a =时，计算的结果大于6000，故C 选项不符合题意，故选：D ．21．（2024·云南·中考真题）下列计算正确的是（）A ．33456x x x +=B ．635x x x ÷=C ．()327a a =D ．()333ab a b =【答案】D【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则进行运算，并逐项判断即可．【详解】解：A 、33356x x x +=，选项计算错误，不符合题意；B 、633x x x ÷=，选项计算错误，不符合题意；C 、()326a a =，选项计算错误，不符合题意；D 、()333ab a b =，选项计算正确，符合题意；故选：D ．22．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（）A ．734a a a -=B ．222326a a a ⋅=C ．33(2)8a a -=-D ．44a a a÷=【答案】C【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．【详解】解：A ．7a ，4a 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B ．224326a a a ⋅=，故此选项不符合题意；C ．()3328a a -=-，故此选项符合题意；D ．441a a ÷=，故此选项不符合题意．故选：C ．23．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2510a a a ⋅=B ．824a a a ÷=C ．257a a a-+=D ．()5210a a =【答案】D【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、257a a a ⋅=，原式计算错误，不符合题意；B 、826a a a ÷=，原式计算错误，不符合题意；C 、253a a a -+=，原式计算错误，不符合题意；D 、()5210a a =，原式计算正确，符合题意；故选：D ．24．（2024·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2352a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．()325a a =D ．2(1)a a a a+=+【答案】D【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可．【详解】A ．3332a a a +=，故本选项原说法不符合题意；B ．235a a a ⋅=，故本选项原说法不合题意；C ．236()a a =，故本选项原说法不合题意；D ．2(1)a a a a +=+，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2024·青海·中考真题）计算1220x x -的结果是（）A ．8xB ．8x -C ．8-D ．2x 【答案】B【分析】此题考查了合并同类项．根据合并同类项法则计算即可．【详解】解：12208x x x -=-，故选：B ．26．（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可【详解】A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ．12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．27．（2022·山东德州·中考真题）已知2M a a =-，2N a =-（a 为任意实数），则M N -的值（）A ．小于0B ．等于0C ．大于0D ．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键．根据完全平方式利用配方法把M N -的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．【详解】M N -()22a a a -=--222a a =-+()211a =-+，∵()210a -≥，∴()2111a -+≥，∴M N -大于0，故选：C ．28．（2024·广东广州·中考真题）若0a ≠，则下列运算正确的是（）A ．235a a a+=B ．325a a a ⋅=C ．235a a a⋅=D ．321a a ÷=【答案】B【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分29．（2024·河北·中考真题）若a ，b 是正整数，且满足8282222222a ba a ab b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b +=B ．38a b=C ．83a b +=D ．38a b=+【答案】A【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：()8822a b ⨯=，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．【详解】解：由题意得：()8822a b ⨯=，∴38222a b ⨯=，∴38a b +=，故选：A ．30．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（）A ．642x x x ÷=B =C ．325()x x =D ．222()x y x y +=+31．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上234y xy +-，结果是2325xy y +-，则这个多项式为．【答案】21-y 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上234y xy +-，结果是2325xy y +-”，进行列出式子：()()2232534xy y y xy +--+-，再去括号合并同类项即可．【详解】解：依题意这个多项式为()()2232534xy yy xy +--+-2232534xy y y xy =+---+21y =-．故答案为：21-y 32．（2024·河南·中考真题）请写出2m 的一个同类项：．【答案】m （答案不唯一）【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．【详解】解：2m 的一个同类项为m ，故答案为：m33．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数M abcd =，若满足9a d b c +=+=，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵18279+=+=，∴1278是“友谊数”．若abcd 是一个“友谊数”，且1b a c b -=-=，则这个数为；若M abcd =是一个“友谊数”，设()9M F M =，且()13F M ab cd++是整数，则满足条件的M 的最大值是．34．（2023·江苏泰州·中考真题）若230a b -+=，则2(2)4a b b +-的值为．【答案】6-【分析】由230a b -+=，可得23a b -=-，根据()2(2)422a b b a b +-=-，计算求解即可．【详解】解：由230a b -+=，可得23a b -=-，∴()2(2)442442226a b b a b b a b a b +-=+-=-=-=-，故答案为：6-．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算．35．（2024·天津·中考真题）计算86x x ÷的结果为．【答案】2x 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键．【详解】解：862x x x ÷=，故答案为：2x ．36．（2024·上海·中考真题）计算：()324x =．【答案】664x 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可．【详解】解：()326464x x =，故答案为：664x ．37．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：32x x ⋅=．【答案】5x 【分析】利用同底数幂的乘法解题即可．【详解】解：32325x x x x +⋅==，故答案为：5x ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键．38．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：2(1)2(1)x x +-+，其中x =．【答案】21x -；1【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案．【详解】原式22122x x x =++--39．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：()()233(3)a b a b a b -++-，其中3,3a b =-=．40．（2024·北京·中考真题）已知10a b --=，求代数式222a ab b -+的值.41．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：()()22x y x x y ++-，其中1x =，=2y -．【答案】222x y +，6【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解．【详解】解：()()22x y x x y ++-22222x xy y x xy=+++-222x y =+；当1x =，=2y -时，原式()22212246=⨯+-=+=．42．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：()()()2233m m m m m --++-，其中52m =．43．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：()()()222233a a a a a -+-++，其中3a =-．345．（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A 是关于m 的多项式．请写出多项式A ，并将该例题的解答过程补充完整．例先去括号，再合并同类项：m （A ）6(1)m -+．解：m （A ）6(1)m -+2666m m m =+--=．【答案】6A m =+，解答过程补充完整为26m -【分析】利用26m m +除以m 可得A ，再根据合并同类项法则补充解答过程即可．【详解】解：观察第一步可知，()26A m m m =+÷，解得6A m =+，将该例题的解答过程补充完整如下：(6)6(1)m m m +-+2666m m m =+--26m =-，故答案为：26m -．【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．46．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值：(4)(2)(2)x y x x y x y -++-，其中12x =，2y =．47．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：()()()22222a b a b a b b ⎡⎤+-+-÷⎣⎦，其中2a =，1b =-．【答案】2a b +，3【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．【详解】解：()()()22222a b a b a b b ⎡⎤+-+-÷⎣⎦()()22224442a ab b a b b⎡⎤=++--÷⎣⎦()22224442a ab b a b b =++-+÷()2422ab b b=+÷2a b =+，当2a =，1b =-时，原式()2213=⨯+-=．考点03因式分解三、考点03因式分解48．（2024·云南·中考真题）分解因式：39a a -=（）A ．()()33a a a -+B ．()29a a +C ．()()33a a -+D ．()29a a -【答案】A【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．将39a a -先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．【详解】解：()()()329933a a a a a a a -=-=+-，故选：A ．49．（2024·广西·中考真题）如果3a b +=，1ab =，那么32232a b a b ab ++的值为（）A ．0B ．1C ．4D ．9【答案】D【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．【详解】解：∵3a b +=，1ab =，∴()32232222a b a b ab ab a ab b ++=++()2ab a b =+213=⨯9=；故选D ．50．（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A ．22(3)69+=++a a a B ．()24444a a a a -+=-+C ．()()22555ax ay a x y x y -=+-D ．()()22824a a a a --=-+【答案】C【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．【详解】解：A 、22(3)69+=++a a a ，属于整式的乘法，故不符合题意；B 、()24444a a a a -+=-+，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；C 、()()22555ax ay a x y x y -=+-，属于因式分解，故符合题意；D 、因为()()22242828a a a a a a -+=+-≠--，所以因式分解错误，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．51．（2023·河北·中考真题）若k 为任意整数，则22(23)4k k +-的值总能（）A ．被2整除B ．被3整除C ．被5整除D ．被7整除【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．【详解】解：22(23)4k k +-(232)(232)k k k k =+++-3(43)k =+，3(43)k +能被3整除，∴22(23)4k k +-的值总能被3整除，故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为22()()a b a b a b -=-+通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．52．（2024·山东·中考真题）因式分解：22x y xy +=．【答案】()2xy x +【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式xy 即可．【详解】解：原式()2xy x =+，故答案为：()2xy x +．53．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式：4ab a +=．【答案】()4a b +【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a 即可解答．【详解】解：()44ab a a b +=+故答案为：()4a b +54．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：()()241x x +++=．【答案】()23x +【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：()()241x x +++24281x x x =++++269x x =++()23x =+故答案为：()23x +．55．（2024·浙江·中考真题）因式分解：27a a -=【答案】()7a a -【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式a 是解题的关键．【详解】解：()277a a a a -=-．故答案为：()7a a -．56．（2024·北京·中考真题）分解因式：325x x -=.【答案】()()55x x x +-【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．【详解】()()()32225555x x x x x x x -=-=+-．故答案为：()()55x x x +-．57．（2024·甘肃临夏·中考真题）因式分解：214x -=．58．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a ，b ，满足6a b +=，7ab =，则22a b ab +的值为．【答案】42【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．【详解】22a b ab +()ab a b =+76=⨯42=．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．59．（2024·福建·中考真题）已知实数,,,,a b c m n 满足3,b c m n mn a a+==．(1)求证：212b ac -为非负数；(2)若,,a b c 均为奇数，,m n 是否可以都为整数？说明你的理由．60．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为22x y -（x y ，均为自然数）”的问题．(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n 为正整数）：N 奇数4的倍数表示结果22110=-22420=-22321=-22831=-22532=-221242=-22743=-221653=-22954=-222064=-LL 一般结论()22211n n n -=--4n =______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（）2-（）2；（ⅱ）4n =______；(2)兴趣小组还猜测：像261014 ，，，，这些形如42n -（n 为正整数）的正整数N 不能表示为22x y -（x y ，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设2242n x y -=-，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m -=-=-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数，则()()22222121x y k m -=+-+=______为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y -为奇数．而42n -是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．【答案】(1)（ⅰ）7，5；（ⅱ）()()2211n n +--；(2)()224k m k m -+-【分析】（1）（ⅰ）根据规律即可求解；（ⅱ）根据规律即可求解；（2）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．【详解】（1）（ⅰ）由规律可得，222475=-，故答案为：7，5；（ⅱ）由规律可得，()()22411n n n =+--，故答案为：()()2211n n +--；（2）解：假设2242n x y -=-，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m -=-=-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数，则()()()22222221214x y k m k m k m -=+-+=-+-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y -为奇数．而42n -是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．故答案为：()224k m k m -+-．。
2021年九年级中考数学 三轮专题突破训练：整式与因式分解
2021中考数学 三轮专题突破训练：整式与因式分解一、选择题1. 运用乘法公式计算(a ＋3)(a －3)的结果是()A ．a 2－6a ＋9B ．a 2－3a ＋9C ．a 2－9D ．a 2－6a －92. 下列运算正确的是()A. a 2·a 3＝a 6B. (－a )4＝a 4C. a 2＋a 3＝a 5D. (a 2)3＝a 53. 当1＜a ＜2时，代数式|a －2|＋|1－a |的值是( ) A. －1 B. 1 C. 3 D. －34. 下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是()A ．(2a ＋b )(2b －a )B ．(－2a －b )(2a ＋b )C ．(2a －b )(b －2a )D ．(2a ＋b )(b －2a )5. 下列计算正确的是()A. a ＋b ＝abB. (－a 2)2＝－a 4C. (a －2)2＝a 2－4D. a ÷b ＝ab (a ≥0，b ＞0)6. (2020·绥化)下列计算正确的是()A ．b 2·b 3＝b 6B ．(a 2)3＝a 6C ．－a 2÷a ＝aD ．(a 3)2·a ＝a 67. （2020·苏州）下列运算正确的是（ ） A.236a a a ⋅= B.33a a a ÷=C.()325aa =D.()2242a b a b =8. （2020·常德）下列计算正确的是（）A ．222()a b a b +=+B ．246a a a +=C ．1052a a a ÷=D ．235a a a ⋅=二、填空题9. 分解因式：(2a ＋b )2－(a ＋2b )2＝________．10. （2020·武威）分解因式：a 2+a ＝ ．11. （2020·咸宁）因式分解：22mx mx m -+=__________．12. （2020·镇江）分解因式： ．13. （2020·安徽）分解因式：ab 2-a＝ ．14. 按如图所示的程序计算．若输入x 的值为3，则输出的值为________．15. （2020·昆明）分解因式：n n m 42-= .16. （2020·新疆）分解因式：22_____________am an -=．三、解答题17. 分解因式：34xy xy -；18. 因式分解：224(2)y z x --19. 先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12y =．20. （2020·毕节）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a ＋b ）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a 2＋2ab ＋b 2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式: （a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2．图（1）a b把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式:（2） 如图（3），R t △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，CH 是斜边AB 边上的高．用上述“面积法”求CH 的长:（3）如图（4），等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点O 为底边BC 上任意点，OM ⊥AB ， ON ⊥AC ， CH ⊥AB ，垂足分别为点M ，N ，H ，连接AO ，用上述“面积法”． 求证: OM ＋ON ＝CH ．2x图（2）图（3）图（4）21. 阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法: 设S=1+2+22+…+22017+22018，① 则2S=2+22+…+22018+22019，② ②-①得2S -S=S=22019-1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1. 请仿照小明的方法解决以下问题: (1)1+2+22+…+29= ;(2)3+32+…+310= ;(3)求1+a+a 2+…+a n 的和(a>0，n 是正整数，请写出计算过程).22. 分解因式：212146n m n m a b a b ++--(m、n 为大于1的自然数)23. 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.24. 已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋…＋a 1x ＋a 0，求下列各式的值：(1)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (2)a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5； (3)a 1＋a 3＋a 5.2021中考数学 三轮专题突破训练：整式与因式分解-答案一、选择题 1. 【答案】C2. 【答案】B 【解析】互为相反数的两个数的偶次幂相等．3. 【答案】B 【解析】由1＜a ＜2知a －2＜0，1－a ＜0，∴|a －2|＋|1－a |＝－(a －2)＋[－(1－a )]＝1.4. 【答案】D5. 【答案】D【解析】a 、b 不能进行合并，故选项A 错误；(－a 2)2＝(－1)2a 2×2＝a 4，故选项B 错误；(a －2)2＝a 2－4a ＋4，故选项C 错误；a ÷b ＝ab (a ≥0，b ＞0)．故选项D 正确．6. 【答案】B 【解析】选项A ，C ，D 计算的结果分别是b 5，－a ，a 7．只有选项B 中的计算是正确的，故选B ．7. 【答案】D 【解析】本题考查了同底数幂的相关运算，根据关运算法则进行运算235a a a ⋅=，32a a a ÷=，()326a a =，()2242a b a b =，因此本题选D ．8. 【答案】 D 【解析】A 、222()2a b a ab b +=++，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、2a 与4a 不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、1055a a a ÷=，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、235a a a ⋅=，原计算正确，故此选项符合题意；因此本题选D ．二、填空题9. 【答案】3(a ＋b )(a －b ) 【解析】(2a ＋b )2－(a ＋2b )2＝[(2a ＋b )＋(a ＋2b )][(2a ＋b )－(a ＋2b )]＝(3a ＋3b )(a －b )＝3(a ＋b )(a －b )．10. 【答案】a 2+a ＝a （a +1）．故答案为：a （a +1）．11. 【答案】m （x -1）2【解析】本题考查了因式分解，先提取公因式m ，再利用完全平方公式进行因式分解，22mx mx m -+()221m x x =-+()21m x =-，因此本题填m （x -1）2．12. 【答案】(3x ＋1)(3x －1)【解析】本题考查了因式分解，应用平方差公式即可．13. 【答案】a (b ＋1)(b －1)【解析】原式＝a (b 2－1)＝a (b ＋1)(b －1).14. 【答案】－3【解析】x ＝3时，输出的值为－x ＝－3.15. 【答案】n (m +2)(m -2)【解析】本题考查了因式分解.解答过程如下：n n m 42-)4(2-=m n ，=n (m +2)(m -2)．16. 【答案】a (m ＋n )(m －n )【解析】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，因为am 2－an 2＝a (m 2－n 2)＝a (m ＋n )(m －n )，所以本题答案为a (m ＋n )(m －n )．三、解答题17. 【答案】(2)(2)xy y y -+【解析】324(4)(2)(2)xy xy xy y xy y y -=-=-+18. 【答案】(22)(22)y z x y z x +--+【解析】224(2)(22)(22)y z x y z x y z x --=+--+19. 【答案】1-【解析】利用因式分解化简．()()()()()()()222y x y x y x y x x y y x y x x x y x x x y x xy +++--=++--=+-=+-=，把2x =-，12y =代入，得原式1=-.20. 【答案】解：（1）x 2＋5x ＋6＝(x ＋2)( x ＋3)（2）R t △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，AB ＝22AC BC +＝2234+＝5．由三角形的面积法得CH ＝AC BC AB ⋅＝345⨯＝125． （3）等腰△ABC 中， OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，CH ⊥AB ，△ABC 面积可表示为12AB ·CH ，也可表示为12AB ·OM ＋12AC ·ON ，所以12AB ·CH ＝12AB ·OM ＋12AC ·ON ，因为AB ＝AC ，所以OM ＋ON ＝CH ．21. 【答案】解:(1)210-1 [解析]设S=1+2+22+…+29①，则2S=2+22+…+210②， ②-①得2S -S=S=210-1，∴S=1+2+22+…+29=210-1. (2)[解析]设S=3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②-①得2S=311-3，∴S=，即3+32+33+34+ (310).(3)设S=1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n ①， 则aS=a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②， ②-①得:(a -1)S=a n +1-1， a=1时，S=n +1; a ≠1时，S=，即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n =.22. 【答案】2112(23)n m n a b a b +---【解析】(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-23. 【答案】 2()()n x y y z --【解析】n 是正整数时，2n 是偶数，22()()n n x y y x -=-；21n +是奇数，2121()()n n x y y x ++-=--.2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--[]2()()()2()n x y x y x z y z =----+-2()()n x y y z =--.24. 【答案】解：因为(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋…＋a 1x ＋a 0， 所以令x ＝0，得(－1)5＝a 0， 即a 0＝－1.① 令x ＝－1，得(－3)5＝－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0， 即－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243.② 令x ＝1，得15＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0， 即a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1.③(1)③－①，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1－(－1)＝2. (2)①－②，得a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝(－1)－(－243)＝242. (3)(③－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＝(1＋243)÷2＝122.。
人教版中考数学讲本 专项突破三 分段二次函数的实际应用 专项突破三 分段二次函数的实际应用
时间x/天
1
3
6
10
…
日销售量m/kg 142 138 132 124 …
（1）m关于x的函数解析m式＝为－2x＋144（1≤x≤40且x为整数） （2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1 kg商品就 捐赠n元（n＜4）给当地福利院，后来发现，在前20天中， 每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n 的取值范围.
（1）第15天的日销售3量0 为
件；
（2）当0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为 “火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
（3）当0＜x≤30时，y＝2x. 当2x≥48时，解得x≥24， ∴24≤x≤30； 当30＜x≤40时，y＝－6x＋240. 当－6x＋240≥48时，解得x≤32，∴30＜x≤32. 综上所述，当24≤x≤32时，日销售量不低于48件. ∵x为整数，∴x的整数值有9个， ∴“火热销售期”共有9天.
3.某公司销售一种成本为40元/件的产品.若月销售单价不高于 50元/件，一个月可售出5万件，且月销售单价每涨价1元， 月销售量就减少0.1万件，其中月销售单价不低于成本.设月 销（售1）单直价接为写x（出元y与/件x之）间，的月函销数售解量析为式y（，万并件写）出.自变量x的取值范 （2）当月销售单价是多少时，月销售利润最大，最大利润是多 （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每 销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的 月销售单价不高于70元/件，月销售利润最大是78万元，求 a的值.
考点跟踪突破3分式
考点跟踪突破3 分式一、选择题1．(2021·衡阳)如果分式3x －1有意义，那么x 的取值范围是( B ) A ．全体实数 B ．x ≠1C ．x ＝1D ．x ＞12.(2021·天水)分式〔x －1〕〔x ＋2〕x 2－1的值为0，那么x 的值是( B ) A ．－1 B ．－2C ．1D ．1或－23.以下分式运算，正确的选项是( D )A ．(2y 3x )2＝2y 23x 2 B.1x －y －1y －x＝0 C.13x ＋13y ＝13〔x ＋y 〕 D ．(x 2－y)3＝－x 6y 3 4．如果把分式中x 和y 都扩大10倍，那么分式x ＋5y 2x的值( D ) A ．扩大10倍 B ．缩小10倍C ．扩大2倍D ．不变5.(2021·河北)以下运算结果为x －1的是( B )A ．1－1x B.x 2－1x ·x x ＋1C.x ＋1x ÷1x －1D.x 2＋2x ＋1x ＋16．(导学号 30042133)假设a ＝2b ≠0，那么a 2－b 2a 2－ab的值为( C ) A ．－32 B.12C.32D.34二、填空题7．(2021·淮安)假设分式1x －5在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是__x ＞5__． 8.分式12x 2y ，16x 3〔x －y 〕的最简公分母是__6x 3y (x －y )__． 9.(2021·临沂)化简a 2a －1＋11－a＝__a ＋1__． 10．化简(1x －y ＋1x ＋y )÷2x x 2＋2xy ＋y 2的结果为__x ＋y x －y __. 三、解答题11．(2021·南京)计算：a a －1－3a －1a 2－1. 解：原式＝a 〔a ＋1〕〔a ＋1〕〔a －1〕－3a －1〔a ＋1〕〔a －1〕＝〔a －1〕2〔a ＋1〕〔a －1〕＝a －1a ＋112．(2021·舟山)先化简，再求值：(1＋1x －1)÷x 2，其中x ＝2021. 解：原式＝x －1＋1x －1×2x ＝x x －1×2x ＝2x －1，当x ＝2021时，原式＝22021－1＝2202113．(2021·抚顺)先化简，再求值：x x 2－1÷(1＋1x －1)，其中x ＝2－1. 解：原式＝x 〔x －1〕〔x ＋1〕÷(x －1x －1＋1x －1)＝x 〔x －1〕〔x ＋1〕÷x x －1＝x 〔x －1〕〔x ＋1〕×x －1x ＝1x ＋1，把x ＝2－1，代入原式＝1x ＋1＝12－1＋1＝12＝2214.(2021·黔东南州)先化简：x 2－1x 2－2x ＋1÷x ＋1x·(x －1x )，然后x 在－1，0，1，2四个数中选一个你认为适宜的数代入求值．解：原式＝〔x ＋1〕〔x －1〕〔x －1〕2·x x ＋1·x 2－1x ＝x x －1·〔x ＋1〕〔x －1〕x＝x ＋1.∵在－1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2，∴当x ＝2时，原式＝2＋1＝315.(2021·烟台)先化简，再求值：(x 2－y x －x －1)÷x 2－y 2x 2－2xy ＋y 2，其中x ＝2，y ＝ 6. 解：原式＝(x 2－y x －x 2x －x x )×〔x －y 〕2〔x ＋y 〕〔x －y 〕＝－y －x x ×x －y x ＋y ＝－x －y x，把x ＝2，y ＝6代入得，原式＝－2－62＝－1＋316．(导学号 30042134)(2021·齐齐哈尔)先化简，再求值：(1－2x )÷x 2－4x ＋4x 2－4－x ＋4x ＋2，其中x 2＋2x －15＝0.解：原式＝x －2x ·x ＋2x －2－x ＋4x ＋2＝x ＋2x －x ＋4x ＋2＝4x 2＋2x，∵x 2＋2x －15＝0，∴x 2＋2x ＝15，∴原式＝415。
2022年人教版中考数学考点跟踪突破3：因式分解
考点跟踪突破3 因式分解一、选择题1．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是( A )A ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2B ．ax －ay ＋a ＝a (x －y )＋aC ．x 3－x ＝x (x ＋1)(x －1)＋1D ．x 2－4＋3x ＝(x ＋2)(x －2)＋3x2．(2022·滨州)把多项式x 2＋ax ＋b 分解因式，得(x ＋1)(x －3)，则a ，b 的值分别是( A )A ．a ＝－2，b ＝－3B ．a ＝2，b ＝3 C.a ＝－2，b ＝3 D ．a ＝2，b ＝－33．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式(x －2)的是( B )A ．x 2－4B ．x 3－4x 2－12xC ．x 2－2xD ．(x －3)2＋2(x －3)＋14．若实数x ，y ，z 满足(x －z )2－4(x －y )(y －z )＝0，则下列式子一定成立的是( D )A ．x ＋y ＋z ＝0B ．x ＋y －2z ＝0C ．y ＋z －2x ＝0D ．z ＋x －2y ＝0 点拨：左边＝[(x －y )＋(y －z )]2－4(x －y )(y －z )＝(x －y )2－2(x －y )(y －z )＋(y －z )2＝[(x －y )－(y －z )]2，故(x －y )－(y －z )＝0，x －2y ＋z ＝05．已知：a ＝2022x ＋2022，b ＝2022x ＋2022，c ＝2022x ＋2022，则a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值是( D )A ．0B ．1C ．2D ．3点拨：∵a ＝2022x ＋2022，b ＝2022x ＋2022，c ＝2022x ＋2022，∴a －b ＝－1，b －c＝－1，a －c ＝－2，则原式＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]＝12×(1＋1＋4)＝3.故选D 二、填空题6．(2022·北京)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式__am ＋bm ＋cm ＝m (a ＋b ＋c )__．7．(2022·哈尔滨)把多项式4ax 2－9ay 2分解因式的结果是__a (2x ＋3y )(2x －3y )__．8．若x ＋y －1＝0，则12x 2＋xy ＋12y 2－2＝__－32.(2022·黔东南州)在实数范围内因式分解：x 5－4x ＝__x (x 2＋2)(x ＋2)(x －2)__．10．已知实数a ，b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b，则2022|a －b |＝__1__．点拨：∵a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，两式相减可得a 2－b 2＝1a －1b ，(a ＋b )(a －b )＝b －a ab，[ab (a ＋b )＋1](a －b )＝0，∴a －b ＝0，∴2 018|a －b|＝2 0180＝1三、解答题11．分解因式：(1)3x 2－27；解：原式＝3(x ＋3)(x －3)(2)4＋12(x －y )＋9(x －y )2；解：原式＝(3x －3y ＋2)2(3)8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy .解：原式＝(x ＋4y )(x －4y )12．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，判断△ABC 的形状． 解：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ，∴a －c ＋2ab －2bc ＝0，(a －c )＋2b (a －c )＝0，∴(1＋2b )(a －c )＝0.∵1＋2b ≠0，∴a －c ＝0，∴a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形13．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是__a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)__．解：或14．(2022·湘潭)由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋__2__)(x＋__4__)；(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，则x＋1＝0或x－4＝0，解得x＝－1或x＝415．(导学号：65244096)(2022·河北)发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证：(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．解：验证(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝15，15÷5＝3，即(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2，它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝5n2＋10，∵5n2＋10＝5(n2＋2)，又n是整数，∴n2＋2是整数，∴五个连续整数的平方和是5的倍数延伸：设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n－1，n＋1，它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝3n2＋2，∵n是整数，∴n2是整数，∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2。
考点跟踪突破3 因式分解
13．(8分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下 图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张 ，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个 长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说 明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是__
或
a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b) ．
(3)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy. 解：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy＝8x2－16y2－7x2－ xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)
12.(8分)若△ABC的三边长分别为a，b，c，且 a＋2ab＝c＋2bc，判断△ABC的形状． 解：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴a－c＋2ab－2bc＝0， (a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(1＋2b)(a－c)＝0. ∵1＋2b≠0，∴a－c＝0，a＝c，∴△ABC是等腰三角 形
3(a＋1)2
．
7．(2014·潍坊)分解因式：2x(x－3)－8＝
2(x－4)(x＋1)
．
8．(2014·呼和浩特)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分
解，最后结果为 －y(3x－y)2
．
9．(2014·连云港)若ab＝3，a－2b＝5，则a2b－2ab2 的值是___1_5．
10．(2012·宜宾)已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－ 2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，则y的值为___. 2
三、解答题(共40分) 11．(6分)分解因式： (1)(2013·达州)x3－9x； 解：a3－16a＝a(a2－16)＝a(a＋4)(a－4)
(2)(2012·南充)x2－4x－12； 解：x2－4x－12＝x2－4x＋4－16＝(x－2)2－16＝ (x－2＋4)(x－2－4)＝(x＋2)(x－6)
中考数学总复习因式分解考点跟踪突破03含13年中考真题试题
考点跟踪打破3 因式分解一、选择题〔每一小题6分，一共30分〕1.〔2021·〕以下各式分解因式正确的选项是〔 〕 A.2a ＋2b ＝()2b a + B.xy ＋xz ＋x ＝x 〔y ＋z 〕 C.2x ＋3x ＝3x 〔x 1＋1〕 D.2a －2ab ＋2b ＝()2b a -2.〔2021·〕分解因式3a －a 的结果是〔 〕A.a 〔2a －1〕 B.a ()21-a C.a 〔a ＋1〕〔a －1〕D.〔2a ＋a 〕〔a －1〕3.〔2021·HY 〕以下四个选项里面，哪一个为多项式82x －10x ＋2的因式〔 〕 A.2x －2 B.2x ＋2 C.4x ＋1 D.4x ＋24.假设实数x ，y ，z 满足()2z x -－4〔x －y 〕〔y －z 〕＝0，那么以下式子一定成立的是〔 A.x ＋y ＋z ＝0 B.x ＋y －2z ＝0C.y＋z－2x＝0D.z＋x－2y＝0x+＋q的形式为〔〕5.〔2021·〕将代数式2x＋6x＋2代成()2pA.()23-x＋11B.()23+x－7C.()23+x－11D.()22+x＋4二、填空题〔每一小题6分，一共30分〕6.〔2021·〕分解因式：22a－82b＝ .7.〔2021·〕分解因式：a2b－4ab＋4a＝ .8.〔2021·〕分解因式：2x＋x－2＝ .9.〔2021·〕a＋b＝2，ab＝1，那么2a b＋a2b＝ .10.〔2021·〕P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，那么y的值是 .三、解答题〔一共40分〕11.〔6分〕分解因式：〔1〕〔2021·〕3x－9x；〔2〕〔2021·〕2x－4x－12；〔3〕8〔2x－22y〕－x〔7x＋y〕＋xy.12.〔8分〕假设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，判断△ABC 的形状.13.〔8分〕有足够多的长方形和正方形的卡片，如以下图.假如选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形〔不重叠无缝隙〕.请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.这个长方形的代数意义是 . 14.〔8分〕设a ＝21m ＋1，b ＝21m ＋2，c ＝212a ＋2ab ＋2b －2ac －2bc ＋2c 的值.15.〔10分〕假如多项式23x ＋2x －26x ＋k 有一个因式是2x ＋1，求k 的值.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
福建省福州九年级数学 考点跟踪训练 因式分解(无答案) 新人教版
一、选择题(每小题6分，共30分)1．下列分解因式正确的是( )A．－a＋a3＝－a(1＋a2) B．2a－4b＋2＝2(a－2b) C．a2－4＝(a－2)2 D．a2－2a＋1＝(a－1)22．a4b－6a3b＋9a2b分解因式的正确结果为( )A．a2b(a2－6a＋9) B．a2b(a－3)(a＋3) C．b(a2－3)2 D．a2b(a－3)23．下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式？( )A. 2x－2B. 2x＋2C. 4x＋1D. 4x＋24．已知x、y满足等式2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy，那么x＋y的值为( )A．－1 B．0 C．2 D．15．将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( )A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4二、填空题(每小题6分，共30分)6．分解因式：2x2－10x＝________．7．写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：__ ______．8．分解因式：x3y－2x2y2＋xy3＝________． 9．分解因式：x2＋x－2＝________．10．已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，则y的值为________．三、解答题(每小题10分，共40分)11．分解因式： (1) x3－6x2＋9x (2) x2－4x－12 (3) 8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy 12．若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断△ABC的形状．13．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图. 如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．____________________________________________________________这个长方形的代数意义是________________．。
南充市中考数学一轮基础复习：专题三 因式分解
南充市中考数学一轮基础复习：专题三因式分解姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（）A . x2+1B . x2+2x-1C . x2+x+1D . x2+4x+42. （2分）若3x﹣6=0，则5x2﹣6x+1的值为（）A . 1B . 3C . 6D . 93. （2分） (2017八上·丹江口期中) △ABC的三边长分别a，b，c，且a+2ab=c+2bc，则△ABC是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形4. （2分） 257﹣512能被下列四个数①12；②15；③24；④60整除的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分）下列因式分解中，正确的是（）A . x2-4y2=(x-4y)(x+4y)B . ax+ay+a=a(x+y)C . a(x-y)+b(y-x)=(x-y)(a-b)D . 4x2+9=(2x+3)26. （2分） (2020八上·德城期末) 已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（）A . 大于零B . 等于零C . 小于零D . 不能确定7. （2分）下列多项式应提取公因式5a2b的是（）A . 15a2b﹣20a2b2B . 30a2b3﹣15ab4﹣10a3b2C . 10a2b﹣20a2b3+50a4bD . 5a2b4﹣10a3b3+15a4b28. （2分）多项式（x﹣y）2﹣（y﹣x）分解因式正确的是（）A . （y﹣x）（x﹣y）B . （x﹣y）（x﹣y﹣1）C . （y﹣x）（y﹣x+1）D . （y﹣x）（y﹣x﹣1）9. （2分） (2017七下·射阳期末) 下列由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A .B .C .D .10. （2分）（﹣8）2014+（﹣8）2013能被下列数整除的是（）A . 3B . 5C . 7D . 811. （2分） (2015七下·茶陵期中) 分解因式x4﹣1的结果为（）A . （x2﹣1）（x2+1）B . （x+1）2（x﹣1）2C . （x﹣1）（x+1）（x2+1）D . （x﹣1）（x+1）312. （2分）已知x2＋3x＋☆分解因式得 (x＋1)(x＋◇)，则☆的值为（）A . 2B . 3C . －2D . －313. （2分）下列因式分解正确的是（）A . x2﹣y2=（x﹣y）2B . a2+a+1=（a+1）2C . xy﹣x=x（y﹣1）D . 2x+y=2（x+y）14. （2分） (2017七下·钦南期末) 把代数式xy2﹣9x分解因式，结果正确的是（）A . x（y2﹣9）B . x（y+3）2C . x（y+3）（y﹣3）D . x（y+9）（y﹣9）15. （2分） (2020七下·温州期中) 如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 M N∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，连结AC，记△ABC的面积为，图中阴影部分的面积为．若，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）在实数范围内分解因式：2x4﹣18=________．17. （1分）(2019·哈尔滨模拟) 把多项式分解因式的结果是________.18. （1分）若a﹣b=3，ab=2，则a2b﹣ab2= ________．19. （1分） (2016九下·崇仁期中) 分解因式：4a﹣ab2=________．20. （1分）若对x恒成立，则n=________三、计算题 (共2题；共15分)21. （5分） (2017七下·惠山期中) 若已知x+y=3，xy=1，试求（1）（x﹣y）2的值（2） x3y+xy3的值．22. （10分） (2017八上·宁都期末) 数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：2962=（300﹣4）2=3002﹣2×300×（﹣4）+42=90000+2400+16=92416老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．四、综合题 (共3题；共20分)23. （5分）已知|a-b+2|+（a-2b）2=0，求a2b-2ab2的值．24. （10分） (2019七下·港南期末) 为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。
2021年九年级中考数学 三轮专题突破：整式与因式分解(含答案)
2021中考数学 三轮专题突破：整式与因式分解一、选择题1. 下列单项式中，与a 2b 是同类项的是( )A. 2a 2bB. a 2b 2C. ab 2D. 3ab2. 已知a 2＋3a ＝1，则代数式2a 2＋6a －1的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 33. 如果3ab 2m －1与9ab 是同类项，那么m 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．04. （2020·哈尔滨）下列运算一定正确的是（） A ．422a a a =+B ．842a a a =⋅C ．()842a a =D ．()222b a b a +=+5. （2020·黑龙江龙东）下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．a 2+2a 2＝3a 4B ．x 8﹣x 2＝x 6C ．（x ﹣y ）2＝x 2﹣xy +y 2D ．（﹣3x 2）3＝﹣27x 66. 化简(－2x －3)(3－2x )的结果是( )A ．4x 2－9B ．9－4x 2C ．－4x 2－9D ．4x 2－6x ＋97. （2020·遵义）下列计算正确的是（ ）A ．x 2＋x ＝x 3B ．(－3x ) 2＝6x 2C ．8x 4÷2x 2＝4x 2D ．(x －2y ) (x ＋2 y )＝x 2－2y 28. 用棋子摆出如图所示的一组图形：图4－ZT －2 按照这种规律摆下去，第( )A ．3nB ．6nC ．3n ＋6D ．3n ＋3二、填空题9. 计算：3a －(2a －1)＝________．10. 解因式：ab 4－4ab 3＋4ab 2＝________．11. (2020·潍坊)因式分解：x2y﹣9y＝_____．12. （2020·凉山州）因式分解：a3－ab2＝．13. (2020·成都)已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为．14. （2020·营口）(＝．15. 化简：(7a－5b)－(4a－3b)＝________．16. （2020·绵阳）因式分解：x3y﹣4xy3＝．三、解答题17. 运用完全平方公式计算：(1)(2a＋3b)2；(2)(12m＋4)2；(3)(－x－14)2；(4)(－13＋3b)2.18. 化简4a(a＋b)－(2a＋b)(2a－b)出现了错误，解答过程如下：原式＝4a2＋4ab－(4a2－b2)(第一步)＝4a2＋4ab－4a2－b2(第二步)＝4ab－b2.(第三步)(1)该同学的解答过程从第________步开始出错，错误的原因是__________________；(2)写出此题正确的解答过程．19. 阅读材料后解决问题.小明遇到一个问题:计算(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1).经过观察，小明发现将原式进行适当的变形后，可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下:(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)＝(2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)＝(22－1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)＝(24－1)×(24＋1)×(28＋1)＝(28－1)×(28＋1)＝216－1.请你根据小明解决问题的方法，试着解决下列问题:(1)计算:(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×(216＋1);(2)计算:(3＋1)×(32＋1)×(34＋1)×(38＋1)×(316＋1);(3)化简:(m ＋n )(m 2＋n 2)(m 4＋n 4)(m 8＋n 8)(m 16＋n 16).20. 分解因式：()()4(1)x y x y y +-+-21. 认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应地，我们可以计算出多项式的展开式，如：(a ＋b )1＝a ＋b ，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，…. 下面我们依次对(a ＋b )n 展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时可以单独列成如图所示的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”．仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)(a ＋b )n 展开式中共有多少项？(2)请写出多项式(a ＋b )5的展开式．2021中考数学 三轮专题突破：整式与因式分解-答案一、选择题1. 【答案】A 【解析】根据所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的项称为同类项，进行解答便可．A.符合同类项的定义，正确；B.b 的指数不相同，错误；C.a 、b 的指数不相同，错误；D.a 的指数不相同，错误．故选A.2. 【答案】B 【解析】∵a 2＋3a ＝1，∴2a 2＋6a －1＝2(a 2＋3a )－1＝2×1－1＝1.3. 【答案】B4. 【答案】C 【解析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，整式乘法等，2222a a a =+，A 错误；a 2•a 4＝a 6，B 错误；()2222b ab a b a ++=+，D 错误，，因此本题选C ．5. 【答案】 D 【解析】本题考查了整式的运算，解：A 、结果是3a 2，故本选项不符合题意；B 、x 8和﹣x 2不能合并，故本选项不符合题意；C 、结果是x 2﹣2xy +y 2，故本选项不符合题意；D 、结果是﹣27x 6，故本选项符合题意；故选：D ．6. 【答案】A [解析] 原式＝(－2x －3)(－2x ＋3)＝(－2x)2－32＝4x 2－9.7. 【答案】C【解析】本题考查合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，掌握相关公式和法则是解题的关键．x 2与x 不是同类项不能合并，故选项A 错误；由积的乘方，得 (－3x ) 2＝9x 2，故选项B 错误；由单项式的除法法则，得8x 4÷2x 2＝4x 2，故选项C 正确；由平方差公式，得(x －2y ) (x ＋2 y )＝x 2－4y 2，故选项D 错误；故选C.8. 【答案】D [解析] 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”的增加，后一个图形与前一个图形相比，在数量上如何变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．因为第①个图形中棋子的个数为3＋3＝6；第②个图形中棋子的个数为3×2＋3＝9；第③个图形中棋子的个数为3×3＋3＝12；…所以第○n个图形中棋子的个数为3n＋3.故选D.二、填空题9. 【答案】a＋1【解析】原式＝3a－2a＋1＝a＋1.10. 【答案】ab2(b－2)2【解析】原式＝ab2(b2－4b＋4)＝ab2(b－2)2.11. 【答案】y(x-3)(x+3)【解析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．12. 【答案】a(a＋b)(a－b)．13. 【答案】49【解析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．解：∵a＝7﹣3b，∴a+3b＝7，∴a2+6ab+9b2＝（a+3b）2＝72＝49，故答案为：49．14. 【答案】12【解析】(＝2－2=18－6=12．15. 【答案】3a－2b[解析] 原式去括号、合并同类项即可得到结果，原式＝7a －5b－4a＋3b＝3a－2b.故答案为3a－2b.16. 【答案】xy(x+2y)(x﹣2y)【解析】通过观察，多项式的每一项都有相同的字母xy，所以先提取公因式xy，提公因式后剩下的两项符合平方差公式．因此本题答案为：原式＝xy(x2﹣4y2)＝xy(x+2y)(x﹣2y)．三、解答题17. 【答案】解：(1)原式＝4a2＋12ab＋9b2.(2)原式＝14m2＋4m＋16.(3)原式＝x 2＋12x ＋116.(4)原式＝19－2b ＋9b 2.18. 【答案】解：(1)二 去括号时没有变号(2)原式＝4a 2＋4ab －(4a 2－b 2)＝4a 2＋4ab －4a 2＋b 2＝4ab ＋b 2.19. 【答案】解:(1)原式＝(2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×(216＋1)＝232－1.(2)原式＝×(3－1)×(3＋1)×(32＋1)×(34＋1)×(38＋1)×(316＋1)＝. (3)若m ≠n ，则原式＝(m －n )(m ＋n )(m 2＋n 2)(m 4＋n 4)(m 8＋n 8)(m 16＋n 16)＝;若m ＝n ，则原式＝2m ·2m 2·……·2m 16＝32m 31.20. 【答案】(2)(2)x y x y -++- 【解析】22222244(44)(2)(2)(2)x y y x y y x y x y x y =-+-=--+=--=-++-21. 【答案】解：(1)由已知可得：(a ＋b)1展开式中共有2项，(a ＋b)2展开式中共有3项，(a ＋b)3展开式中共有4项，……则(a ＋b)n 展开式中共有(n ＋1)项．(2)(a ＋b)1＝a ＋b ，(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，…则(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5.。
专题22因式分解章末重难点突破(举一反三)(学生版)
专题4.1 因式分解章末重难点突破【考点1 因式分解的意义】【例1】（2021秋•钢城区期末）多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝．【变式1-1】（2021春•龙口市月考）若关于x的二次三项式x2﹣3x+k有一个因式是（x﹣2），则k的值是．【变式1-2】（2021•杭州模拟）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是．【变式1-3】（2021春•永嘉县校级期末）若多项式x2+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m ﹣n的值为．【考点2 用常规方法进行因式分解】【例2】（2021春•滕州市校级月考）分解因式：（1）﹣2x3+12x2﹣18x；（2）（a2+4）2﹣16a2；（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）；（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2．【变式2-1】（2021秋•桐柏县月考）分解因式：（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；（2）3m2n﹣12mn+12n；（3）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）；（4）（x2+9）2﹣36x2．【变式2-2】（2021秋•陵城区月考）把下列各式分解因式：（1）6ab3﹣24a3b；（2）x4﹣8x2+16；（3）a2（x+y）﹣b2（y+x）；（4）4m2n2﹣（m2+n2）2．【变式2-3】（2022春•槐荫区校级月考）把下列各多项式因式分解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；（6）16x4﹣72x2y2+81y4．【考点3 用分组分解法进行因式分解】【例3】（2021秋•永吉县期末）阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．（1）利用分组分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（直接写出结果）．【变式3-1】（2021春•盐湖区校级期末）先阅读下面材料，再完成后面的问题：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，再把它的后两项分成组，并提出b，从而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程）＝．（2）m2﹣mn+mx﹣nx．（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．【变式3-2】分解因式（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8；（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3．【变式3-3】因式分解：2ax+2ay﹣3bx+4cy+4cx﹣3by．【考点4 用十字相乘法进行因式分解】【例4】（2021秋•微山县期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．【方法探究】对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p 与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如，分解因式：x2+5x+6．它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：（1）x2﹣5x+6；（2）10x2+x﹣21；（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．【变式4-1】（2021秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．【变式4-2】（2021秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．运用结论：（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．【变式4-3】（2021春•奉化区校级期末）【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解呢？我们已经知道，（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）．我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c 就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子x2﹣x﹣6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项﹣6也分解为两个因数的积，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次项的系数﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解为（x+2）（x﹣3）．请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x﹣6＝．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2x2+5x﹣7；（2）6x2﹣7xy+2y2＝．【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k），请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝．（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，请写出一组符合题意的x，y的值．【考点5 用整体思想进行因式分解】【例45】（2021秋•濮阳期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．【变式5-1】（2021秋•开封期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式分解因式时，如果能满足q＝mn，且p＝m+n，则可以把x2+px+q分解因式成（x+m）（x+n）．例如：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；②x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．材料2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1．解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝m，则原式＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．再将“m”还原，得原式＝（2x+2y+1）2．上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．（1）根据材料1，分解因式：x2﹣7x+12．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：x（x+2）（x2+2x﹣2）﹣3．【变式5-2】（2021春•南山区校级期中）先阅读材料：分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．解：令a+b＝M，则（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝．（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．【变式5-3】（2021春•驿城区校级月考）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4进行因式分解的过程．解：设x2+2x＝y．原式＝（y+3）（y﹣1）+4（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．差的完全平方公式D．和的完全平方公式（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4进行因式分解．【考点6 用拆项法进行因式分解】【例6】（2021秋•隆昌市校级月考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．【变式6-1】（2021春•南京月考）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；（2）分解因式：a4+a2b2+b4．【变式6-2】（2020秋•沂南县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．【变式6-3】（2020秋•微山县月考）【阅读材料】对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）．我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．【应用材料】（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．【考点7 由因式分解求值】【例7】（2021秋•铁西区期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．9【变式7-1】（2021秋•思明区校级期中）已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），则m3+2mn﹣n3＝（）A．0B．1C．2D．﹣2【变式7-2】（2021秋•东兴区校级期中）若a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．【变式7-3】（2021秋•源汇区校级期中）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝．【考点8 因式分解的应用】【例8】（2021秋•松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为；（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为；②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．【变式8-1】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a ＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．【变式8-2】（2021春•镇江期中）【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．例如，由图2，我们可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．【问题解决】（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的；（2）尝试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内；（3）将2b2﹣3ab+a2分解因式：（直接写出结果，不需要画图）．【变式8-3】（2021春•沭阳县期中）如图，正方形纸片A类，B类和长方形纸片C类若干张，（1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，画出拼好后的图形；②观察拼图共用张A类纸片，张B类纸片，张C类纸片．通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）＝．（2）①请你用这三类卡片拼出面积为3a2+4ab+b2的长方形，画出拼好后的图形．②观察拼图共用张A类纸片，张B类纸片，张C类纸片．通过面积计算可以发现3a2+4ab+b2＝．③利用拼图，把下列多项式因式分解a2+3ab+2b2＝；3a2+5ab+2b2＝．。
人教版 八年级数学上册14.3 因式分解 突破训练(含答案)
人教版八年级数学14.3 因式分解突破训练（含答案）一、选择题1.模拟计算1252－50×125＋252的结果是()A．100 B．150 C．10000 D．225002. 若a＋b＝3，a－b＝7，则b2－a2的值为()A．－21 B．21 C．－10 D．103. 计算552－152的结果是()A．40 B．1600 C．2400 D．28004. 2019·唐山滦州期末若关于x的二次三项式x2－ax＋36是完全平方式则a的值是()A．－6 B．±6 C．12 D．±125. 将3a2m－6amn＋3a分解因式，下面是四位同学分解的结果：①3am(a－2n＋1)；②3a(am＋2mn－1)；③3a(am－2mn)；④3a(am－2mn＋1)．其中正确的是()A．①B．②C．③D．④6. 计算(－2)2020＋(－2)2019所得的正确结果是()A．22019B．－22019C．1 D．27. 如图，长、宽分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为()A．15 B．30 C．60 D．788. 计算(a －1)2－(a ＋1)2的结果是( )A ．－2B ．－4C ．－4aD ．2a 2＋2 9. 若，则的值等于( )A. B. C. D.10. 若，，是三角形三边的长，则代数式的值( )．A.大于零B.小于零 C 大于或等于零D ．小于或等于零二、填空题11. 因式分解：m 2n －6mn ＋9n ＝________．12. 分解因式：(2a ＋b )2－(a ＋2b )2＝________．13. 观察下列从左到右的变形：⑴； ⑵⑶；⑷ 其中是因式分解的有 （填括号）14. 分解因式(x ＋2)2－3(x ＋2)的结果是____________．15. 分解因式：x 2－4＝________．16. 2019·张家港期末 已知x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ＝9，x ＋2y ＝6，则x 2－y 2＝________．三、解答题17. 分解因式：(a －b )2－2(a －b )＋1.设M ＝a －b 则原式＝M 2－2M ＋1＝(M －1)2.将M ＝a －b 代入还原得原式＝(a －b －1)2.上述解题中用到的是“整体思想”它是数学中常用的一种思想请你用整体思想解决下列问题：(1)分解因式：(x ＋y )(x ＋y －4)＋4；(2)若a 为正整数则(a －1)(a －2)(a －3)(a －4)＋1为整数的平方试说明理由．18. 分解因式：19. 分解因式：20. 分解因式：人教版八年级数学14.3 因式分解突破训练（含答案）-答案一、选择题1. 【答案】C[解析] 1252－50×125＋252＝(125－25)2＝10000.2. 【答案】A3. 【答案】D[解析] 552－152＝(55＋15)×(55－15)＝70×40＝2800.4. 【答案】D[解析] 依题意得ax＝±2×6x解得a＝±12.5. 【答案】D6. 【答案】A[解析] (－2)2020＋(－2)2019＝－2×(－2)2019＋(－2)2019＝(－2)2019×(－2＋1)＝22019.7. 【答案】B[解析] 根据题意，得a＋b＝5，ab＝6，则a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝30.8. 【答案】C[解析] (a－1)2－(a＋1)2＝(a－1＋a＋1)(a－1－a－1)＝2a·(－2)＝－4a.9. 【答案】【解析】10. 【答案】B【解析】又因为，，是三角形三边的长，所以，即，，，二、填空题11. 【答案】n(m－3)2【解析】m2n－6mn＋9n＝n(m2－6m＋9)＝n(m－3)2.12. 【答案】3(a＋b)(a－b) 【解析】(2a＋b)2－(a＋2b)2＝[(2a＋b)＋(a＋2b)][(2a＋b)－(a＋2b)]＝(3a＋3b)(a －b)＝3(a＋b)(a－b)．13. 【答案】其中⑴是单项式变形，⑷是多项式的乘法运算，⑵中并没有写成几个整式的乘积的形式，只有⑶是因式分解14. 【答案】(x＋2)(x－1)[解析] (x＋2)2－3(x＋2)＝(x＋2)(x＋2－3)＝(x＋2)(x－1)．15. 【答案】(x＋2)(x－2)16. 【答案】15[解析] 由已知可得3x＋3y＝15，则x＋y＝5，x－y＝3，故x2－y 2＝(x＋y)(x－y)＝15.三、解答题17. 【答案】解：(1)设M＝x＋y则原式＝M(M－4)＋4＝M2－4M＋4＝(M－2)2.将M＝x＋y代入还原得原式＝(x＋y－2)2.(2)原式＝(a－1)(a－4)(a－2)(a－3)＋1＝(a2－5a＋4)(a2－5a＋6)＋1.令N＝a2－5a＋4.因为a为正整数所以N＝a2－5a＋4也是整数则原式＝N(N＋2)＋1＝N2＋2N＋1＝(N＋1)2.因为N为整数所以原式＝(N＋1)2为整数的平方．18. 【答案】【解析】原式19. 【答案】【解析】20. 【答案】【解析】。
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考点跟踪突破3因式分解
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2014·衡阳)下列因式分解中正确的个数为( C )
①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；
②x2＋4x＋4＝(x＋2)2；
③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)．
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．(2014·广东)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D )
A．x(x2－9) B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2D．x(x＋3)(x－3)
3．(2012·台湾)下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式( A )
A．2x－2 B．2x＋2
C．4x＋1 D．4x＋2
解析：8x2－10x＋2＝2(4x2－5x＋1)＝2(x－1)(4x－1)，有因式2(x－1)，即2x－2
4．若实数x，y，z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是( D )
A．x＋y＋z＝0 B．x＋y－2z＝0
C．y＋z－2x＝0 D．z＋x－2y＝0
解析：左边＝[(x－y)＋(y－z)]2－4(x－y)(y－z)＝(x－y)2－2(x－y)(y－z)＋(y－z)2＝[(x －y)－(y－z)]2，故(x－y)－(y－z)＝0，x－2y＋z＝0
5．(2012·宜宾)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( B )
A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7
C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2014·泸州)分解因式：3a2＋6a＋3＝__3(a＋1)2__．
7．(2014·潍坊)分解因式：2x(x－3)－8＝__2(x－4)(x＋1)__．
8．(2014·呼和浩特)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分解，最后结果为__－y(3x－y)2__．9．(2014·连云港)若ab＝3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是__15__．
10．(2012·宜宾)已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，则y的值为__2__．
三、解答题(共40分)
11．(6分)分解因式：
(1)(2013·达州)x3－9x；
解：a3－16a＝a(a2－16)＝a(a＋4)(a－4)
(2)(2012·南充)x2－4x－12；
解：x2－4x－12＝x2－4x＋4－16＝(x－2)2－16＝(x－2＋4)(x－2－4)＝(x＋2)(x－6)
(3)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.
解：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)
12.(8分)若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，判断△ABC 的形状． 解：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ，∴a －c ＋2ab －2bc ＝0，(a －c)＋2b(a －c)＝0，∴(1＋2b)(a －c)＝0.∵1＋2b ≠0，∴a －c ＝0，a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形
13．(8分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无
缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
或
这个长方形的代数意义是__a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋b)(a ＋2b)__．
14．(8分)设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12
m ＋3.求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值．
解：原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc)＋c 2＝(a ＋b)2－2(a ＋b)c ＋c 2＝(a ＋b －c)2＝[(12
m ＋1)＋(12m ＋2)－(12m ＋3)]2＝(12m)2＝14
m 2
15．(10分)如果多项式2x 3＋x 2－26x ＋k 有一个因式是2x ＋1，求k 的值．
解：∵2x ＋1是2x 3＋x 2－26x ＋k 的因式，∴可设2x 3＋x 2－26x ＋k ＝(2x ＋1)·R.令2x ＋1
＝0，x ＝－12，得2×(－12)3＋(－12)2－26×(－12)＋k ＝0，－14＋14
＋13＋k ＝0，k ＝－13。