初二【数学(人教版)】因式分解——公式法(第一课时)

初中数学
拓展提升
如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影， 最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方 形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个 图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100+99)(100-99)＋(98+97)(98-97)＋…＋(2+1)(2-1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)． 答：阴影部分的面积和为5050cm2
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课后作业
1.下列各式能否用平方差公式分解因式？为什么？
(1) x2 y2
(2) x2 y2
(3) x2 y2
(4) x2 y2
4 y
(2) 9a2 4b2 (4) a4 16
3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.
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例 分解因式：
(1) x4 y4
(2) a3b ab
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例 分解因式：
(1) x4 y4
此时，因式分 解彻底了吗？
解：原式 (x2 )2 ( y2 )2 (x2 y2 )( x2 y2 ) 还可以继续分解！
(x2 y2 )( x y)( x y)
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例 分解因式：
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练习 分解因式：
(3) (a b)3 4(a b)
(4)am1 am1
解：原式 (a b)[(a b)2 4]
解：原式 am1(a2 1)
可以继续分解 (a b)(a b 2)(a b 2)
am1(a 1)(a 1)
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例 利用因式分解计算： (1) 2020 2020 2 2021 2
练习 分解因式：
(1) 1 b2 a2 81
(2) (5a 2b)2 9a2
(3) (a b)3 4(a b) (4)am1 am1
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练习 分解因式：
(1) 1 b2 a2 81
解：原式 a2 1 b2 81
a2 (1 b)2 9
(a 1 b)(a 1 b)
解：S剩= a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) 把a=1.86，b=0.34带入: S剩=(1.86+2×0.34)×(1.86-2×0.34) =2.72×1 =2.72
答：剩余部分面积为2.72。
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想一想：我们今天 学习了哪些知识？
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归纳总结
1.利用平方差公式分解因式
：
a2 b2 (a b)(a b)
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同学们，再见！
(2) 3.14 512 3.14 492
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例 利用因式分解计算： (1) 2020 2020 2 2021 2 可用平方差公式分解
解：原式 2020 (2020 2021)(2020 2021) 2020 (2020 2021)(1)
2020 2020 2021 2021
C. a2 b2c2 (bc a)(a bc) D. 16a2 1 (4a 1)(4a 1)
分析：A：-0.01n2
+
4 9
m2
=
4 9
m2-0.01n2=
(
2 3
m)2-(0.1n)2
=
(
2 3
m+0.1n)
(
2 3
m-0.1n)
B：x3+x = x(x2+1)
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练习 下列因式分解错误的是（ D ）
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例 利用因式分解计算： (2) 3.14 512 3.14 492 先提取公因数
解：原式 3.14 (512 492 )
3.14 (51 49) (51 49)
3.141002 628
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例 如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各减去 一个边长为b的正方形，求剩余部分面积是多少？ 若a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积.
a2 b2 (a b)(a b)
公式左边：1.多项式有两项;
2.这两项异号; 3.两项是平方差.
公式右边：两个数的和与这两个数的差的乘积的形式.
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练习：判断下列各式能否用平方差公式因式分解：
(1) y2 49 (2) y2 2x2
(√) 原式=y2-72 (×)
(3) x2 4
1.多项式有两项; 2.这两项异号; 3.两项是平方差.
两个数的和与这两个数
的差的乘积.
注：公式中的字母a,b可以表示数、单项式或多项式.
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归纳总结
2.利用平方差公式分解因式步骤： (1)若多项式中有公因式，应先提取公因式， 再进一步分解因式； (2)剩余因式若有两项，异号，两项是平方差，则用平 方差公式继续分解因式.
(4) 1 ( p q)2 9 4
(5) m4 n4
(6) a2 (b)2
(×)
(√)
原式=[
1 2
(p+q)]2 -32
(×)
(×)
a2 b2
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例 分解因式：
(1) 4x2 9
(2) (x p)2 (x q)2
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例 分解因式：
(1) 4x2 9 解：原式 (2x)2 32
A.
0.01n2
4 9
m2
(0.1n
2 3
m)(2 3
m
0.1n√)
B. x3 x x(x2 √1)
C. a2 b2c2 (bc a)(a √bc) D. 16a2 1 (4a 1)(4a ×1)
分析：C：a2-b2c2 = a2-(bc)2 = (a+bc)(a-bc)
D：-16a2+1 = 1-16a2 = 12-(4a)2 = (1+4a)(1-4a)
(2) a3b ab 有公因式ab 解：原式 ab(a2 1)
ab(a 1)(a 1)
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因式分解的步骤： （1）若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进
一步分解因式； （2）剩余因式若有两项，异号，两项是平方差，则 用平方差公式继续分解因式.
注意：每个因式要分解到不能继续分解为止.
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9
9
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原式 1 (b2 81a2 ) 81
1 (b 9a)(b 9a) 81
练习 分解因式：
(2) (5a 2b)2 9a2 解：原式 (5a 2b 3a)(5a 2b 3a)
(8a 2b)(2a 2b) 2(4a b) 2(a b) 4(4a b)(a b)
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因式分解——公式法（第一课时）
年 级：八年级 主讲人：窦勃
学 科：数学（人教版） 学 校：北京市第八中学
复习引入
问题：什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这样的变形叫做因式分解.
问题： 我们已学习过什么因式分解的方法？
提公因式法.
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复习引入
问题：整式乘法中的平方差公式是什么？ 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2x 3)(2x 3)
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例 分解因式：
(2) (x p)2 (x q)2
设：x+p=m, x+q=n 即：(x+p)2-(x+q)2 = m2 - n2
= (m+n)(m-n)
=[(x+p)+(x+q)][(x+p)- (x+q)]
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例 分解因式：
(2) (x p)2 (x q)2
(a+b)(a-b) 整式乘法 a2-b2 a2-b2 因式分解 (a+b)(a-b)
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探究新知
这样我们就得到了a2-b2因式分解的方法： a2 b2 (a b)(a b)
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积。
利用平方差公 式法因式分解 时，多项式需 具备什么特点？
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解：原式 [(x p) (x q)][(x p) (x q)] (x p x q)(x p x q) (2x p q)(p q)
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练习 下列因式分解错误的是（ ）
A.
0.01n2
4 9
m2
(0.1n
2 3
m)(2 3
m
0.1n√)
B. x3 x x(x2 √1)